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大学数学基礎議論
文献あり

質問 epi-sumを使った証明が正しいか確認して頂けないでしょうか?

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$$$$
共役関数

$H$をHilbert空間とし、関数$f:H\rightarrow (-\infty,\infty]$を真であるとする。このとき、$H$上の$f^*$

$$ f^*(x^*)=\sup_{x\in H}\{\langle x,x^*\rangle-f(x)\} $$

で定義する。$f^*$$f$の共役関数といわれる。

epi-sum, inf-convolution

$E$を線形空間とし、$f,g:E\rightarrow (-\infty,\infty]$をsublinearとする。

$$ (f \boxplus g)(x)=\inf_{x\in E}\{f(x)+g(x-z)\}, \ \forall x \in E $$

で定義される$(f \boxplus g)$$f$$g$によるepi-sumまたはinf-convolutionという。

$E$を線形区間とし、$f,g:E\rightarrow (-\infty,\infty]$をproperな凸関数とする。また、

$$ (f \boxplus g)(x)=\inf_{x\in E}\{f(x)+g(x-z)\}>-\infty, \ \forall x \in E $$

とする。

このとき、$(f\boxplus g)(x):E\rightarrow(-\infty,\infty]$
はproperな凸関数となる。さらに、$(f\boxplus)^*=f^*+g^*$である。

凸解析と不動点近似のp156 定理4.4.2を参照してください。

$-l_k+\chi_\Xi$$l_k$はproperで、凸で、下半連続である。
$l_k$$-\infty$ではない。

$$ [ -l_k+\chi_{\Xi}]^{*}(z_{ik}) = \inf_{v_{ik}} \left( [-l_k]^*(z_{ik}-v_{ik})+[\chi_{\Xi}]^*(v_{ik}) \right) $$

$$ \left( \inf_{v_{ik}} \left( [-l_k]^*(z_{ik}-v_{ik})+[\chi_{\Xi}]^*(v_{ik}) \right) \right)^*\\ = \left( [\chi^*_{\Xi}\boxplus(-l^*_k)](z_{ik}) \right)^*\\ = \left(\chi^*_{\Xi}(z_{ik})\right)^*+\left(-l^*_k(z_{ik})\right)^*\\ = \chi_{\Xi}(z_{ik})-l_k(z_{ik})\\ = -l_k(z_{ik})+\chi_{\Xi}(z_{ik})\\ = (-l_k+\chi_{\Xi})(z_{ik}) (ここの行は正しいかわからないです、ごめんなさい) $$

参考文献

[1]
高橋渉, 凸解析と不動点近似
投稿日:2022829
OptHub AI Competition

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hdk105
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