質問 epi-sumを使った証明が正しいか確認して頂けないでしょうか？
$H$をHilbert空間とし、関数$f:H\rightarrow (-\infty,\infty]$を真であるとする。このとき、$H$上の$f^*$を
$$ f^*(x^*)=\sup_{x\in H}\{\langle x,x^*\rangle-f(x)\} $$
で定義する。$f^*$は$f$の共役関数といわれる。
$E$を線形空間とし、$f,g:E\rightarrow (-\infty,\infty]$をsublinearとする。
$$ (f \boxplus g)(x)=\inf_{x\in E}\{f(x)+g(x-z)\}, \ \forall x \in E $$
で定義される$(f \boxplus g)$を$f$と$g$によるepi-sumまたはinf-convolutionという。
$E$を線形区間とし、$f,g:E\rightarrow (-\infty,\infty]$をproperな凸関数とする。また、
$$ (f \boxplus g)(x)=\inf_{x\in E}\{f(x)+g(x-z)\}>-\infty, \ \forall x \in E $$
とする。
このとき、$(f\boxplus g)(x):E\rightarrow(-\infty,\infty]$
はproperな凸関数となる。さらに、$(f\boxplus)^*=f^*+g^*$である。
凸解析と不動点近似のp156 定理4.4.2を参照してください。
$-l_k+\chi_\Xi$と$l_k$はproperで、凸で、下半連続である。
$l_k$は$-\infty$ではない。
$$ [ -l_k+\chi_{\Xi}]^{*}(z_{ik}) = \inf_{v_{ik}} \left( [-l_k]^*(z_{ik}-v_{ik})+[\chi_{\Xi}]^*(v_{ik}) \right) $$
$$ \left( \inf_{v_{ik}} \left( [-l_k]^*(z_{ik}-v_{ik})+[\chi_{\Xi}]^*(v_{ik}) \right) \right)^*\\ = \left( [\chi^*_{\Xi}\boxplus(-l^*_k)](z_{ik}) \right)^*\\ = \left(\chi^*_{\Xi}(z_{ik})\right)^*+\left(-l^*_k(z_{ik})\right)^*\\ = \chi_{\Xi}(z_{ik})-l_k(z_{ik})\\ = -l_k(z_{ik})+\chi_{\Xi}(z_{ik})\\ = (-l_k+\chi_{\Xi})(z_{ik}) (ここの行は正しいかわからないです、ごめんなさい) $$