質問　epi-sumを使った証明が正しいか確認して頂けないでしょうか？

関数解析,数理最適化,凸解析

共役関数

$H$ をHilbert空間とし、関数 $f : H \to (- \infty, \infty]$ を真であるとする。このとき、 $H$ 上の $f^{*}$ を

$f^{*} (x^{*}) = sup_{x \in H} {⟨ x, x^{*} ⟩ - f (x)}$

で定義する。 $f^{*}$ は $f$ の共役関数といわれる。

epi-sum, inf-convolution

$E$ を線形空間とし、 $f, g : E \to (- \infty, \infty]$ をsublinearとする。

$(f ⊞ g) (x) = inf_{x \in E} {f (x) + g (x - z)}, \forall x \in E$

で定義される $(f ⊞ g)$ を $f$ と $g$ によるepi-sumまたはinf-convolutionという。

$E$ を線形区間とし、 $f, g : E \to (- \infty, \infty]$ をproperな凸関数とする。また、

$(f ⊞ g) (x) = inf_{x \in E} {f (x) + g (x - z)} > - \infty, \forall x \in E$

とする。

このとき、 $(f ⊞ g) (x) : E \to (- \infty, \infty]$
はproperな凸関数となる。さらに、 $(f ⊞)^{*} = f^{*} + g^{*}$ である。

凸解析と不動点近似のp156 定理4.4.2を参照してください。

$- l_{k} + χ_{Ξ}$ と $l_{k}$ はproperで、凸で、下半連続である。
$l_{k}$ は $- \infty$ ではない。

$[- l_{k} + χ_{Ξ}]^{*} (z_{i k}) = inf_{v_{i k}} ([- l_{k}]^{*} (z_{i k} - v_{i k}) + [χ_{Ξ}]^{*} (v_{i k}))$

${(inf_{v_{i k}} ([- l_{k}]^{*} (z_{i k} - v_{i k}) + [χ_{Ξ}]^{*} (v_{i k})))}^{*} = {([χ_{Ξ}^{*} ⊞ (- l_{k}^{*})] (z_{i k}))}^{*} = {(χ_{Ξ}^{*} (z_{i k}))}^{*} + {(- l_{k}^{*} (z_{i k}))}^{*} = χ_{Ξ} (z_{i k}) - l_{k} (z_{i k}) = - l_{k} (z_{i k}) + χ_{Ξ} (z_{i k}) = (- l_{k} + χ_{Ξ}) (z_{i k}) (ここの行は正しいかわからないです、ごめんなさい)$