xの整数、有理数乗の微分の証明(テスト)
この記事では微分の定義からxの正数、負数、有理数乗の単項式の微分の公式を導出する。
なお、微分の定義は
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $
とする。
今回証明するもの
- xの指数が正数の時の微分
- xの指数が負数の時の微分
- xの指数が有理数の時の微分
1. xの指数が正数の時の微分
$ f(x):=x^n (n \in \mathbb{N} , n\notin 0 )$
$ f'(x) = n x^ {n -1} $
$ f'(x) $
$=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ (x^{n}+ _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h^{}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^{2}+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2}h^{n-2}+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{}h^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_{n} h^{n} ) -x^n }{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h^{}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^{2}+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2}h^{n-2}+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{}h^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_{n} h^{n} }{h} $
$=\lim_{h \to 0} ( _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^{}+ _n \mathrm{ C }_3 x^{n-3}h^{2}+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2}h^{n-3}+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{}h^{n-2}+ _n \mathrm{ C }_{n} h^{n-1} ) $
$= _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2} \cdot 0+ _n \mathrm{ C }_3 x^{n-3} \cdot 0+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2} \cdot 0+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{} \cdot 0+ _n \mathrm{ C }_{n} \cdot 0 $
$= _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1} $
$= n x^{n-1} \qquad \square $
2. xの指数が正数の時の微分
$ f(x):=x^{-n} (n \in \mathbb{N} , n\notin 0 )$
$ f'(x) = -n x^ {-n -1} $
$ f'(x) $
$=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{-n}-x^{-n}}{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{(x+h)^{n}}- \frac{1}{x^{n}} }{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x^{n}-(x+h)^{n}}{(x+h)^{n}x^{n}} }{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{x^n- (x^{n}+ _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h^{}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^{2}+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2}h^{n-2}+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{}h^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_{n} h^{n} ) }{h(x+h)^{n}x^{n}} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{- (_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h^{}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^{2}+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2}h^{n-2}+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{}h^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_{n} h^{n} ) }{h(x+h)^{n}x^{n}} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{- ( _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^{}+ _n \mathrm{ C }_3 x^{n-3}h^{2}+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2}h^{n-3}+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{}h^{n-2}+ _n \mathrm{ C }_{n} h^{n-1} ) }{(x+h)^{n}x^{n}} $
$= \frac{- ( _n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}+ _n \mathrm{ C }_2 x^{n-2} \cdot 0+ _n \mathrm{ C }_3 x^{n-3} \cdot 0+ \cdots _n \mathrm{ C }_{n-2} x^{2} \cdot 0+ _n \mathrm{ C }_{n-1} x^{} \cdot 0+ _n \mathrm{ C }_{n} \cdot 0 ) }{(x+0)^{n}x^{n}} $
$= \frac{-nx^{n-1} }{x^{n}x^{n}} $
$= -n \frac{x^{n-1} }{x^{2n}} $
$= -n x^{n-1-2n} $
$= -n x^{-n-1} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \square $
3. xの指数が有理数の時の微分
$ f(x):=x^ \frac{n}{m} (n \in \mathbb{Z},m \in \mathbb{N} ,m\neq0)$
$ f'(x) = \frac{n}{m} x^ { \frac{n}{m} -1} $
これを証明するために $a^n - b^n$ の展開公式を使う
$$ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1}) $$
定理4を使い定理3を証明する
$ f'(x) $
$=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ (x+h)^ \frac{n}{m} - x^ \frac{n}{m}} {h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt[m]{(x+h)^n } - \sqrt[m]{x^n} }{ h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ ( \sqrt[m]{(x+h) } - \sqrt[m]{x} ) ( \sqrt[m]{(x+h)^{n-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } ) }{h} $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ ( \sqrt[m]{(x+h) } - \sqrt[m]{x} ) ( \sqrt[m]{(x+h)^{m-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } ) ( \sqrt[m]{(x+h)^{n-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } ) } {h (\sqrt[m]{(x+h)^{m-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } ) } $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ ( \sqrt[m]{(x+h)^m } - \sqrt[m]{x^m} ) ( \sqrt[m]{(x+h)^{n-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } ) } {h (\sqrt[m]{(x+h)^{m-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } ) } $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ ( x+h - x ) ( \sqrt[m]{(x+h)^{n-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } ) } {h (\sqrt[m]{(x+h)^{m-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } ) } $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ h ( \sqrt[m]{(x+h)^{n-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } ) } {h (\sqrt[m]{(x+h)^{m-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } ) } $
$=\lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt[m]{(x+h)^{n-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } } { \sqrt[m]{(x+h)^{m-1} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+h)^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } } $
$=\frac{ \sqrt[m]{(x+0)^{n-1} } + \sqrt[m]{(x+0)^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+0)^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } } { \sqrt[m]{(x+0)^{m-1} } + \sqrt[m]{(x+0)^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{(x+0)^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } } $
$=\frac{ \sqrt[m]{x^{n-1} } + \sqrt[m]{x^{n-2}x^{} } + \sqrt[m]{x^{n-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } } { \sqrt[m]{x^{m-1} } + \sqrt[m]{x^{m-2}x^{} } + \sqrt[m]{x^{m-3}x^{2}} + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } } $
$=\frac{ \sqrt[m]{x^{n-1} } + \sqrt[m]{x^{n-1} } + \sqrt[m]{x^{n-1} } + \cdots + \sqrt[m]{x^{n-1} } } { \sqrt[m]{x^{m-1} } + \sqrt[m]{x^{m-1} } + \sqrt[m]{x^{m-1} } + \cdots + \sqrt[m]{x^{m-1} } } $
$=\frac{ n\sqrt[m]{x^{n-1} } } { m\sqrt[m]{x^{m-1} } } $
$=\frac{n}{m} \frac{ \sqrt[m]{x^{n-1} } } { \sqrt[m]{x^{m-1} } } $
$=\frac{n}{m} (\frac{x^{n-1}} {x^{m-1}} )^\frac{1}{m} $
$=\frac{n}{m} (x^{n-1} \cdot x^{-(m-1)} )^\frac{1}{m} $
$=\frac{n}{m} (x^{n-1-(m-1)} )^\frac{1}{m} $
$=\frac{n}{m} (x^{n-1-m+1} )^\frac{1}{m} $
$=\frac{n}{m} (x^{n-m} )^\frac{1}{m} $
$=\frac{n}{m} x^{\frac{n}{m}-\frac{m}{m}} $
$=\frac{n}{m} x^{\frac{n}{m}-1} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \square $