この記事では微分の定義からxの正数、負数、有理数乗の単項式の微分の公式を導出する。なお、微分の定義は
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
とする。
f(x):=xn(n∈N,n∉0)f′(x)=nxn−1
f′(x)
=limh→0f(x+h)−f(x)h
=limh→0(x+h)n−xnh
=limh→0(xn+nC1xn−1h+nC2xn−2h2+⋯nCn−2x2hn−2+nCn−1xhn−1+nCnhn)−xnh
=limh→0nC1xn−1h+nC2xn−2h2+⋯nCn−2x2hn−2+nCn−1xhn−1+nCnhnh
=limh→0(nC1xn−1+nC2xn−2h+nC3xn−3h2+⋯nCn−2x2hn−3+nCn−1xhn−2+nCnhn−1)
=nC1xn−1+nC2xn−2⋅0+nC3xn−3⋅0+⋯nCn−2x2⋅0+nCn−1x⋅0+nCn⋅0
=nC1xn−1
=nxn−1◻
f(x):=x−n(n∈N,n∉0)f′(x)=−nx−n−1
=limh→0(x+h)−n−x−nh
=limh→01(x+h)n−1xnh
=limh→0xn−(x+h)n(x+h)nxnh
=limh→0xn−(xn+nC1xn−1h+nC2xn−2h2+⋯nCn−2x2hn−2+nCn−1xhn−1+nCnhn)h(x+h)nxn
=limh→0−(nC1xn−1h+nC2xn−2h2+⋯nCn−2x2hn−2+nCn−1xhn−1+nCnhn)h(x+h)nxn
=limh→0−(nC1xn−1+nC2xn−2h+nC3xn−3h2+⋯nCn−2x2hn−3+nCn−1xhn−2+nCnhn−1)(x+h)nxn
=−(nC1xn−1+nC2xn−2⋅0+nC3xn−3⋅0+⋯nCn−2x2⋅0+nCn−1x⋅0+nCn⋅0)(x+0)nxn
=−nxn−1xnxn
=−nxn−1x2n
=−nxn−1−2n
=−nx−n−1◻
f(x):=xnm(n∈Z,m∈N,m≠0)f′(x)=nmxnm−1
これを証明するために an−bn の展開公式を使う
an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+bn−1)
定理4を使い定理3を証明する
=limh→0(x+h)nm−xnmh
=limh→0((x+h)m−xm)((x+h)n−1m+(x+h)n−2xm+(x+h)n−3x2m+⋯+xn−1m)h
=limh→0((x+h)m−xm)((x+h)m−1m+(x+h)m−2xm+(x+h)m−3x2m+⋯+xm−1m)((x+h)n−1m+(x+h)n−2xm+(x+h)n−3x2m+⋯+xn−1m)h((x+h)m−1m+(x+h)m−2xm+(x+h)m−3x2m+⋯+xm−1m)
=limh→0((x+h)mm−xmm)((x+h)n−1m+(x+h)n−2xm+(x+h)n−3x2m+⋯+xn−1m)h((x+h)m−1m+(x+h)m−2xm+(x+h)m−3x2m+⋯+xm−1m)
=limh→0(x+h−x)((x+h)n−1m+(x+h)n−2xm+(x+h)n−3x2m+⋯+xn−1m)h((x+h)m−1m+(x+h)m−2xm+(x+h)m−3x2m+⋯+xm−1m)
=limh→0h((x+h)n−1m+(x+h)n−2xm+(x+h)n−3x2m+⋯+xn−1m)h((x+h)m−1m+(x+h)m−2xm+(x+h)m−3x2m+⋯+xm−1m)
=limh→0(x+h)n−1m+(x+h)n−2xm+(x+h)n−3x2m+⋯+xn−1m(x+h)m−1m+(x+h)m−2xm+(x+h)m−3x2m+⋯+xm−1m
=(x+0)n−1m+(x+0)n−2xm+(x+0)n−3x2m+⋯+xn−1m(x+0)m−1m+(x+0)m−2xm+(x+0)m−3x2m+⋯+xm−1m
=xn−1m+xn−2xm+xn−3x2m+⋯+xn−1mxm−1m+xm−2xm+xm−3x2m+⋯+xm−1m
=xn−1m+xn−1m+xn−1m+⋯+xn−1mxm−1m+xm−1m+xm−1m+⋯+xm−1m
=nxn−1mmxm−1m
=nmxn−1mxm−1m
=nm(xn−1xm−1)1m
=nm(xn−1⋅x−(m−1))1m
=nm(xn−1−(m−1))1m
=nm(xn−1−m+1)1m
=nm(xn−m)1m
=nmxnm−mm
=nmxnm−1◻
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