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xの整数、有理数乗の微分の証明(テスト)

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この記事では微分の定義からxの正数、負数、有理数乗の単項式の微分の公式を導出する。
なお、微分の定義は

微分の定義

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

とする。

今回証明するもの

  1. xの指数が正数の時の微分
  2. xの指数が負数の時の微分
  3. xの指数が有理数の時の微分

1. xの指数が正数の時の微分

f(x):=xn(nN,n0)
f(x)=nxn1

f(x)

=limh0f(x+h)f(x)h

=limh0(x+h)nxnh

=limh0(xn+nC1xn1h+nC2xn2h2+nCn2x2hn2+nCn1xhn1+nCnhn)xnh

=limh0nC1xn1h+nC2xn2h2+nCn2x2hn2+nCn1xhn1+nCnhnh

=limh0(nC1xn1+nC2xn2h+nC3xn3h2+nCn2x2hn3+nCn1xhn2+nCnhn1)

=nC1xn1+nC2xn20+nC3xn30+nCn2x20+nCn1x0+nCn0

=nC1xn1

=nxn1

2. xの指数が正数の時の微分

f(x):=xn(nN,n0)
f(x)=nxn1

f(x)

=limh0f(x+h)f(x)h

=limh0(x+h)nxnh

=limh01(x+h)n1xnh

=limh0xn(x+h)n(x+h)nxnh

=limh0xn(xn+nC1xn1h+nC2xn2h2+nCn2x2hn2+nCn1xhn1+nCnhn)h(x+h)nxn

=limh0(nC1xn1h+nC2xn2h2+nCn2x2hn2+nCn1xhn1+nCnhn)h(x+h)nxn

=limh0(nC1xn1+nC2xn2h+nC3xn3h2+nCn2x2hn3+nCn1xhn2+nCnhn1)(x+h)nxn

=(nC1xn1+nC2xn20+nC3xn30+nCn2x20+nCn1x0+nCn0)(x+0)nxn

=nxn1xnxn

=nxn1x2n

=nxn12n

=nxn1

3. xの指数が有理数の時の微分

f(x):=xnm(nZ,mN,m0)
f(x)=nmxnm1

これを証明するために anbn の展開公式を使う

anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2++bn1)

定理4を使い定理3を証明する

f(x)

=limh0f(x+h)f(x)h

=limh0(x+h)nmxnmh

=limh0(x+h)nmxnmh

=limh0((x+h)mxm)((x+h)n1m+(x+h)n2xm+(x+h)n3x2m++xn1m)h

=limh0((x+h)mxm)((x+h)m1m+(x+h)m2xm+(x+h)m3x2m++xm1m)((x+h)n1m+(x+h)n2xm+(x+h)n3x2m++xn1m)h((x+h)m1m+(x+h)m2xm+(x+h)m3x2m++xm1m)

=limh0((x+h)mmxmm)((x+h)n1m+(x+h)n2xm+(x+h)n3x2m++xn1m)h((x+h)m1m+(x+h)m2xm+(x+h)m3x2m++xm1m)

=limh0(x+hx)((x+h)n1m+(x+h)n2xm+(x+h)n3x2m++xn1m)h((x+h)m1m+(x+h)m2xm+(x+h)m3x2m++xm1m)

=limh0h((x+h)n1m+(x+h)n2xm+(x+h)n3x2m++xn1m)h((x+h)m1m+(x+h)m2xm+(x+h)m3x2m++xm1m)

=limh0(x+h)n1m+(x+h)n2xm+(x+h)n3x2m++xn1m(x+h)m1m+(x+h)m2xm+(x+h)m3x2m++xm1m

=(x+0)n1m+(x+0)n2xm+(x+0)n3x2m++xn1m(x+0)m1m+(x+0)m2xm+(x+0)m3x2m++xm1m

=xn1m+xn2xm+xn3x2m++xn1mxm1m+xm2xm+xm3x2m++xm1m

=xn1m+xn1m+xn1m++xn1mxm1m+xm1m+xm1m++xm1m

=nxn1mmxm1m

=nmxn1mxm1m

=nm(xn1xm1)1m

=nm(xn1x(m1))1m

=nm(xn1(m1))1m

=nm(xn1m+1)1m

=nm(xnm)1m

=nmxnmmm

=nmxnm1

投稿日:2020118
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  1. 今回証明するもの
  2. 1. xの指数が正数の時の微分
  3. 2. xの指数が正数の時の微分
  4. 3. xの指数が有理数の時の微分