x^(2k)/coshx、x^(2k+1)/sinhxの0から∞までの積分

どーも、こんにちは。タイトルの通り積分を計算したいと思うんですが、こんなきれいな積分、絶対すでに誰かが記事にしてらっしゃると思うんですよね。でも記事を全部確認するのは無理だったので、何番煎じでもいいから書こうと思います。ではまず、結果から言うとこうなります。

まあ、ディリクレベータ関数の奇数値とゼータ関数の偶数値が関係しているということですね。で、どう計算するかといえば

$$\begin{split} \int_{0}^{\infty} \frac{ x^{2k} }{ \cosh x} dx &= \int_{0}^{\infty} 2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2k} e^{-(2n+1)x}dx\\&=2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\int_{0}^{\infty}x^{2k}e^{-(2n+1)x}dx\end{split} $$
ここで、$ x=\frac{t}{2n+1} $と置換して
$$\begin{split} \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\cosh{x}}dx&=2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2k+1}}\int_0^{\infty}t^{2k}e^{-t}dt\\&=2 \beta(2k+1) \varGamma(2k+1) \end{split}$$
ここで、$ \beta(2k+1)=\frac{(-1)^kE_{2k}\pi^{2k+1}}{2^{2k+2}(2k)!},\ \varGamma(2k+1)=(2k)! $から
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\cosh{x}}dx\ =\ (-1)^kE_{2k}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k+1} $$
と求まりました。もう一つの式についても同様に
$$\begin{split} \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\sinh{x}}dx&=\int_{0}^{\infty}2\sum_{n=0}^{\infty}x^{2k+1}e^{-(2n+1)x}dx\\&=2\sum_{n=0}^\infty\int_{0}^{\infty}x^{2k+1}e^{-(2n+1)x}dx\\&=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2k+2}}\int_{0}^{\infty}t^{2k+1}e^{-t}dt\\&=2(1-2^{-2k-2})\zeta(2k+2)\varGamma(2k+2)\\&=\frac{(-1)^k(2^{2k+2}-1)B_{2k+2}\pi^{2k+2}}{2k+2} \end{split}$$
となります。

おわりに

言い忘れていましたが$ k $は非負整数です。よく見たら$ 2^{2k+2}-1 $のところがメルセンヌ数の形になってますね。だからどーした。この記事はライディーンを聴きながら書きました。これがいわゆるメリン変換というやつなんでしょうか。読んでいただきありがとうございました。