x^(2k)/coshx、x^(2k+1)/sinhxの0から∞までの積分

どーも、こんにちは。タイトルの通り積分を計算したいと思うんですが、こんなきれいな積分、絶対すでに誰かが記事にしてらっしゃると思うんですよね。でも記事を全部確認するのは無理だったので、何番煎じでもいいから書こうと思います。ではまず、結果から言うとこうなります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{\cosh x} d x = (- 1)^{k} E_{2 k} {(\frac{π}{2})}^{2 k + 1}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{\sinh x} d x = \frac{(- 1)^{k} (2^{2 k + 2} - 1) B_{2 k + 2} π^{2 k + 2}}{2 k + 2} (E_{k} はオイラー数、 B_{k} はベルヌーイ数)$

まあ、ディリクレベータ関数の奇数値とゼータ関数の偶数値が関係しているということですね。で、どう計算するかといえば

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{\cosh x} d x & = \int_{0}^{\infty} 2 \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{2 k} e^{- (2 n + 1) x} d x \\ = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \int_{0}^{\infty} x^{2 k} e^{- (2 n + 1) x} d x \end{aligned}$
ここで、 $x = \frac{t}{2 n + 1}$ と置換して
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{\cosh x} d x & = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{2 k + 1}} \int_{0}^{\infty} t^{2 k} e^{- t} d t \\ = 2 β (2 k + 1) Γ (2 k + 1) \end{aligned}$
ここで、 $β (2 k + 1) = \frac{(- 1)^{k} E_{2 k} π^{2 k + 1}}{2^{2 k + 2} (2 k)!}, Γ (2 k + 1) = (2 k)!$ から
$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{\cosh x} d x = (- 1)^{k} E_{2 k} {(\frac{π}{2})}^{2 k + 1}$
と求まりました。もう一つの式についても同様に
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{\sinh x} d x & = \int_{0}^{\infty} 2 \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 k + 1} e^{- (2 n + 1) x} d x \\ = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{2 k + 1} e^{- (2 n + 1) x} d x \\ = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)^{2 k + 2}} \int_{0}^{\infty} t^{2 k + 1} e^{- t} d t \\ = 2 (1 - 2^{- 2 k - 2}) ζ (2 k + 2) Γ (2 k + 2) \\ = \frac{(- 1)^{k} (2^{2 k + 2} - 1) B_{2 k + 2} π^{2 k + 2}}{2 k + 2} \end{aligned}$
となります。