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x^(2k)/coshx、x^(2k+1)/sinhxの0から∞までの積分

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どーも、こんにちは。タイトルの通り積分を計算したいと思うんですが、こんなきれいな積分、絶対すでに誰かが記事にしてらっしゃると思うんですよね。でも記事を全部確認するのは無理だったので、何番煎じでもいいから書こうと思います。ではまず、結果から言うとこうなります。

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\cosh{x}}dx\ =\ (-1)^kE_{2k}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k+1} $$
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\sinh{x}}dx\ =\ \frac{(-1)^k\left(2^{2k+2}-1\right)B_{2k+2}\pi^{2k+2}}{2k+2}\\(E_kはオイラー数、B_kはベルヌーイ数) $$

まあ、ディリクレベータ関数の奇数値とゼータ関数の偶数値が関係しているということですね。で、どう計算するかといえば

$$\begin{split} \int_{0}^{\infty} \frac{ x^{2k} }{ \cosh x} dx &= \int_{0}^{\infty} 2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2k} e^{-(2n+1)x}dx\\&=2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\int_{0}^{\infty}x^{2k}e^{-(2n+1)x}dx\end{split} $$
ここで、$ x=\frac{t}{2n+1} $と置換して
$$\begin{split} \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\cosh{x}}dx&=2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2k+1}}\int_0^{\infty}t^{2k}e^{-t}dt\\&=2 \beta(2k+1) \varGamma(2k+1) \end{split}$$
ここで、$ \beta(2k+1)=\frac{(-1)^kE_{2k}\pi^{2k+1}}{2^{2k+2}(2k)!},\ \varGamma(2k+1)=(2k)! $から
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\cosh{x}}dx\ =\ (-1)^kE_{2k}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k+1} $$
と求まりました。もう一つの式についても同様に
$$\begin{split} \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\sinh{x}}dx&=\int_{0}^{\infty}2\sum_{n=0}^{\infty}x^{2k+1}e^{-(2n+1)x}dx\\&=2\sum_{n=0}^\infty\int_{0}^{\infty}x^{2k+1}e^{-(2n+1)x}dx\\&=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2k+2}}\int_{0}^{\infty}t^{2k+1}e^{-t}dt\\&=2(1-2^{-2k-2})\zeta(2k+2)\varGamma(2k+2)\\&=\frac{(-1)^k(2^{2k+2}-1)B_{2k+2}\pi^{2k+2}}{2k+2} \end{split}$$
となります。

おわりに

言い忘れていましたが$ k $は非負整数です。よく見たら$ 2^{2k+2}-1 $のところがメルセンヌ数の形になってますね。だからどーした。この記事はライディーンを聴きながら書きました。これがいわゆるメリン変換というやつなんでしょうか。読んでいただきありがとうございました。

投稿日:202294

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furumichi
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数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。

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