Einsteinを読む一般相対性理論の基礎１

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はじめに

Mathlogにアカウントを作ったので何か面白いことをやろうと思いました。そこでEinsteinの論文を読んでいくことにします。元論文の日本語約を抜粋して(論文の文章は四角で囲みます)，解説していく感じにします。どっかから注意されたらやめます。Einsteinの天才をお楽しみください。僕の解説はむしろ無粋かもしれません。完成には相当な時間がかかると思います。

A．相対性の要請についての原理的考察

１．特殊相対性理論に関する注意

特殊相対論では基礎として次のことが要請されている。この要請はニュートン力学でも満たされている。すなわち，一つの座標系 $K$ が物理法則が最も単純な形になるように選ばれたとする。このとき $K$ に対して一定の速度で運動する任意の座標系 $K^{'}$ に対しても同じ法則が成り立つべしとする要請である。この要請を”特殊相対性原理”と呼ぶことにする。ここで”特殊”というのは次の意味である。すなわち，この原理は $K$ に対して一定の速度で運動している座標系 $K^{'}$ に対してのみ成立するということである。しかし， $K^{'}$ が $K$ に対して等速運動でない場合の $K$ と $K^{'}$ の同等性については何も触れていない。

上述のことから分かるように，特殊相対論がニュートン力学と違ったものになっているのは，特殊相対性原理の要請によるものではなくて，むしろ真空中の光速が一定であるという要請が原因である。この光速不変の要請と特殊相対性原理が一緒になって，”同時刻の相対性”とかローレンツ変換が出てくる。また，これに関連して運動する物体や時計の振る舞いに関する法則が導出される。

特に解説すべきことは無いと思います。この部分が何を言っているのかわからない方はニュートン力学と特殊相対論の基礎的な部分を復習するのが良いと思います。最後の「運動する物体や時計の振る舞いに関する法則」はローレンツ収縮や時計の遅れのことでしょう。

特殊相対論のために，時間・空間についての理論は深い修正を余儀なくされたが，一つの重要な点はそのままである。すなわち，特殊相対論の考え方に従っても，幾何学の法則は静止した剛体の相対的位置についての法則として解釈されなけらばならないものである。また，もっと一般に運動学の法則は物差しや時計の振る舞いを記述する法則として解釈されなけらばならないものである。静止している剛体上に任意に2点を決めれば、これらには常にある定まった長さが対応する。しかも、この長さは物差しとして使われる剛体の位置や方向、また測定を行う時刻に無関係である。同様に、（正当な）座標系に対して静止している時計の針の位置を２回指定すれば、それに応じて常にある決まった大きさの時間間隔が決められる。しかも、この時間の大きさは時計の置かれた位置や、測定の時刻には無関係である。空間及び時間のこのような物理的解釈は一般相対論においては成り立たないことがまもなく示されるであろう。

ここは何やらだらだら述べていますが、結局、特殊相対論の舞台はミンコフスキー時空 $E^{(1, 3)} = (R^{4}, η)$ であり、この後展開される一般相対論では違うと言ってるだけです。あと特殊相対論では物理的な剛体の存在を認めません（超光速で物体が動くことが起きてしまうためです）が、Einsteinは座標の網目を作る直線（または曲線）のことをしばしば剛体と表現しています。

ここでは関連事項として特殊相対論の幾何学的性質を復習してみましょう。知ってる方は飛ばして次へ進んでください。慣性的観測者とは，時間的単位ベクトル $v$ と $p \in E^{(1, 3)}$ に対して， $c (τ) = p + v τ, τ \in R$ と表される曲線（直線）のことで， $v$ に(ミンコフスキー計量 $η$ の意味で)直交する $E^{(1, 3)}$ の部分空間を $S (v)$ とすると，アフィン部分空間 $c (τ_{0}) + S (v)$ がこの観測者にとっての時刻 $τ = τ_{0}$ の時間一定面となります。また $S (v)$ は３次元ユークリッド空間となっています。このときこの慣性的観測者に依存するミンコフスキー時空の時間-空間の分解 $E^{(1, 3)} = R ⟨ v ⟩ \oplus S (v)$ があり、任意の慣性的観測者はこの分解に従って世界を認識するとしているわけです。なので各慣性的観測者にとっての空間的な幾何学は３次元ユークリッド幾何です。
運動している質点の4次元的な軌道（世界線）の４次元的な長さがその質点が体感する時間、”固有時”です。これは曲線の長さなのでどんな座標系で計算しても同じ値です。また慣性的観測者に対して運動する剛体はローレンツ収縮を受けて長さが縮んで見えます（この述べ方はやや正確さを欠いている）。

古典力学には認識論的な欠陥がある。この事情は特殊相対論においても同様である。たぶんこの欠陥をはじめて指摘したのはマッハ（E.Mach)だろう。我々はこのことを次の例で説明しよう。いま、2個の同じ大きさで同じ種類の流体の塊が、互いに相手から十分に離れて空間の中に自由にただよっているとする。またこれら２個の塊は他の全ての物体からも十分に離れているとする。従って、２個のそれぞれの塊の各素片がが互いに作用しあう重力だけを考えればよい。塊同士の間の距離は一定とする。それぞれの塊の中の素片同士の相対運動はないものとする。しかしそれぞれの塊はー相手の塊に対して静止している観測者から見てー両方の塊を結ぶ直線を軸としてそのまわりに一定の角速度で回転しているものとする。これは確認することが可能な相対運動の一つである。いま、互いに相対的に静止している２個の物差しを使って両方の塊（ $S_{1}$ と $S_{2}$ ）の表面の大きさを測定したとする。その結果、 $S_{1}$ の表面は球で $S_{2}$ のそれは回転楕円体であったとする。

そこで、次のような質問をしよう。すなわち、どのような理由から、塊 $S_{1}$ と $S_{2}$ は上述のようなことなった形になったのか？　この質問に対する答えの根拠として与えた事実が観測可能な経験的事実であるときに限ってその答えは認識論的に満足なものとして承認される。なぜなら因果律が経験的世界について述べることが意味のあるものとなるのは、次のような場合に限られるからである。すなわち、原因や結果としてそこに登場する事柄は、最終的に観測可能な事実だけであるという場合である。

問題設定もおもしろいですが、どのように答えられるべきかという思想には完全に同意します。Einsteinの他の論文にも割と見受けられることですが、彼は結構哲学的な話をすることがあります。しかし彼は形而上的な結論ではなく、きちんと物理的に意味のある結論をもたらします。一般相対論はその典型例でしょう。このあたりの物理哲学的センスとでもいうべきものがEinsteinが高く評価される部分の一つであると思われます。

少し余談ですが、最近ブラックホールの観測に関する研究がかなり増えてきて話もよく聞くようになりました。そしてこの手の話において、そう少なくない数の研究者（プロさえも）が物理を語る時にイベントホライズンという単語を使用していることが珍しくありません。これは上のEinsteinの推奨する物理を語る時の態度には矛盾しています。詳しくは述べませんが、ブラックホールの外にいる観測者にとってイベントホライズンは、定義より、常に未来にあります。従ってイベントホライズンに関する任意の物理的言及は観測可能な事実ではありません。

ニュートン力学は上の質問に対して何ら満足な解答を与えない。すなわちその答えは次のようなものである。塊 $S_{1}$ が静止している空間 $R_{1}$ に対しては力学の法則は成立するが、 $S_{2}$ が静止している空間 $R_{2}$ に対しては力学の法則は成り立たない。