2進立方体と区間の個数の関係について

はじめに

猪狩先生の実解析入門のp97. 4.2 Hardy-Littlewoodの極大定理の証明個所で躓いたのでメモしておく。

行間埋め

$k\in\mathbb{Z}を固定し、$x$を固定して考える。 $辺長$2^{-k}$の2進立方体を考える。

ただし、$r>0$は固定し、$k$の範囲は$2^{-k-1}\leq r<2^{-k}$である。

ある区間$Q\in\mathcal{Q}_k$に存在する$x$について、$B(x,r)$を含む区間の個数について考える。

ある区間の具体例として$x\in[0\times2^{-k},1\times2^{-k})$について考える。このとき、$B(x,r)$は、以下の3つの区間の中から組み合わせで包含することができる。

• $[-1\times2^{-k},0\times2^{-k})$
• $[0\times2^{-k},1\times2^{-k})$
• $[1\times2^{-k},2\times2^{-k})$

つまり、$d=1$のときは、ある区間$Q$に存在する$x$について、$B(x,r)$は最大で$3^1$個の区間で包含することができる。以上から、$Q\cap B(x,r)\neq\phi$のときは、$Q\in\mathcal{Q}_k$は高々$3^1$個である。

同様にして、$d$のときは、ある区間$Q$に存在する$x$の$B(x,r)$は、最大で$3^d$個の区間で包含することができる。$Q\cap B(x,r)\neq\phi$のときは、$Q\in\mathcal{Q}_k$は高々$3^d$個である。

2進立方体と区間の個数の関係について