2進立方体と区間の個数の関係について

ルベーグ積分,実解析

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はじめに

猪狩先生の実解析入門のp97. 4.2 Hardy-Littlewoodの極大定理の証明個所で躓いたのでメモしておく。

$2^{- k - 1} \leq r < 2^{- k}$ であるとき、 $Q \cap B (x, r) \neq ϕ$ を満たす $Q \in Q_{k}$ は高々 $3^{d}$ 個である。

行間埋め

$k \in Z を固定し、$ x $を固定して考える。$ 辺長 $2^{- k}$ の2進立方体を考える。

ただし、 $r > 0$ は固定し、 $k$ の範囲は $2^{- k - 1} \leq r < 2^{- k}$ である。

ある区間 $Q \in Q_{k}$ に存在する $x$ について、 $B (x, r)$ を含む区間の個数について考える。

ある区間の具体例として $x \in [0 \times 2^{- k}, 1 \times 2^{- k})$ について考える。このとき、 $B (x, r)$ は、以下の3つの区間の中から組み合わせで包含することができる。

$[- 1 \times 2^{- k}, 0 \times 2^{- k})$
$[0 \times 2^{- k}, 1 \times 2^{- k})$
$[1 \times 2^{- k}, 2 \times 2^{- k})$

つまり、 $d = 1$ のときは、ある区間 $Q$ に存在する $x$ について、 $B (x, r)$ は最大で $3^{1}$ 個の区間で包含することができる。以上から、 $Q \cap B (x, r) \neq ϕ$ のときは、 $Q \in Q_{k}$ は高々 $3^{1}$ 個である。