円周率の逆数に収束する級数といえばラマヌジャンの複雑かつ高速な式が有名ですが、ここではもっと単純(その代わりに収束も遅いけど)な式を紹介したいと思います。
4π=∑n=0∞1n+1{(2n−1)!!(2n)!!}2=1+12(12)2+13(1⋅32⋅4)2+⋯
11−x=∑n=0∞(2n−1)!!(2n)!!xn両辺を0からxまで積分して、2(1−1−x)=∑n=0∞(2n−1)!!(n+1)(2n)!!xn+1両辺をxで割って2⋅1−1−xx=∑n=0∞(2n−1)!!(n+1)(2n)!!xnxにsin2θ(0<θ≦π2)を突っ込んで2⋅1−cosθsin2θ=∑n=0∞(2n−1)!!(n+1)(2n)!!sin2nθここで両辺を0からπ2まで積分するのですが、∫0π21−cosθsin2θ=[−1tanθ+1sinθ]0π2=[1−cosθsinθ]0π2=[sinθ1+cosθ]0π2=1であり、またウォリス積分∫0π2sin2nθ=(2n−1)!!(2n)!!⋅π2から2=π2∑n=0∞1n+1{(2n−1)!!(2n)!!}2よって4π=∑n=0∞1n+1{(2n−1)!!(2n)!!}2を得ました。
多分これも楕円に関係してるんでしょーね。楕円関数をマトモに勉強したことがないので知りませんけど。そもそも今までマトモに勉強したものってあったっけ…。関係ないですけどアイゼンシュタイン級数が面白いです。
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