ぬるのぬめもめも

1:総和

2021-08-31のメモ

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{n}k!=(-1{)}^{n+1}\mathrm{\Gamma }(n+2)!(-n-2)+!(-2)(!n=n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}) \\ \sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}=\frac{e\mathrm{\Gamma }(n+1,1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)}-1 \\ \sum _{k=1}^{n}k\sin k=\frac{1}{4}cs{c}^2(\frac{1}{2})((n+1)\sin n-n\sin (n+1)) \\ \sum _{k=1}^{n}k\cos k=\frac{1}{4}cs{c}^2(\frac{1}{2})((n+1)\cos n-n\cos (n+1)-1) \end{gathered}$$

2:グラハム数の新たな表記と拡張

2022-06-30のメモ

$$\begin{gathered} \underset{k=1}{\stackrel{n}{H^1}}{a}_k:=\sum _{i=1}^n{a}_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n \\ \underset{k=1}{\stackrel{n}{H^2}}{a}_k:=\prod _{i=1}^n{a}_k=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n \\ \underset{k=1}{\stackrel{n}{H^3}}{a}_k:=a_1^{a_2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \end{gathered}$$
のように総和・総乗を一般化して
$$\mathfrak{H}(a_k,m,n)=\underset{k=2}{\stackrel{n}{H^m}}{a}_k$$
とし、さらに

$$\mathfrak{H}(a_k,m,n)=\underset{k=2}{\stackrel{n}{H^m}}{a}_k$$

の$(a_k,m,n)$を$(a_k,\mathfrak{H}(a_k,m,n),n)$に置き換える操作を$a$回行ったとき
それを${\mathfrak{H}}_G(a_k,m,n,a)$と書くことにすると、
(ただし一度も置き換えていないときに$a=0$)

グラハム数$G$は
$$\begin{gathered} G(1)=3\uparrow 3=\underset{k=2}{\stackrel{3}{H^3}}3=\mathfrak{H}(3,3,3)=3^3=27 \\ G(2)=3\uparrow \uparrow 3=\underset{k=2}{\stackrel{3}{H^4}}3=\mathfrak{H}(3,4,3){=}^{3}3=3^{27} \\ G(3)=3\uparrow \uparrow \uparrow 3=\underset{k=2}{\stackrel{3}{H^5}}3=\mathfrak{H}(3,5,3) \\ G(4)=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=\underset{k=2}{\stackrel{3}{H^6}}3=\mathfrak{H}(3,6,3) \\ {G}^2(4)=G(G(4))=3\underset{G(4)本}{\underbrace{\uparrow \cdots \uparrow }}3=\underset{k=2}{\stackrel{3}{H^{G(4)}}}3=\mathfrak{H}(3,\mathfrak{H}(3,6,3),3)={\mathfrak{H}}_G(3,6,3,1) \end{gathered}$$

以下同様にして、

$$G=G^{64}(4)={\mathfrak{H}}_G(3,6,3,63)$$
と表せる。