ぬるのぬめもめも
1:総和
2021-08-31のメモ
$$ \\\sum_{k=1}^{n} k!=(-1)^{n+1}\Gamma(n+2)!(-n-2)+!(-2)\qquad\Bigl(!n=n!\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!} \Bigr) \\\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}= \frac{e\Gamma(n+1,1)}{\Gamma(n+1)}-1 \\\sum_{k=1}^{n} k\sin k = \frac{1}{4}csc^{2}\Bigl( \frac{1}{2}\Bigr)((n+1)\sin n-n\sin (n+1)) \\\sum_{k=1}^{n} k\cos k = \frac{1}{4}csc^{2}\Bigl( \frac{1}{2}\Bigr)((n+1)\cos n-n\cos(n+1)-1) $$
2:グラハム数の新たな表記と拡張
2022-06-30のメモ
$$
\underset{k=1}{\overset{n}{\;\;\,\huge H^{\small 1}}} a_k:= \sum_{i=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n
\\\underset{k=1}{\overset{n}{\;\;\,\huge H^{\small 2}}} a_k:= \prod_{i=1}^{n}a_k=a_1\cdot a_2\cdot a_3 \cdots a_n
\\\underset{k=1}{\overset{n}{\;\;\,\huge H^{\small 3}}} a_k:= a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
\\\cdot
\\\cdot
\\\cdot
$$
のように総和・総乗を一般化して
$$
\mathfrak{H}(a_k,m,n)=\underset{k=2}{\overset{n}{\;\;\huge H^{\small m}}} a_k
$$
とし、さらに
$$ \mathfrak{H}(a_k,m,n)=\underset{k=2}{\overset{n}{\;\;\huge H^{\small m}}} a_k $$
の$(a_k,m,n)$を$(a_k,\mathfrak{H}(a_k,m,n),n)$に置き換える操作を$a$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_G(a_k,m,n,a)$と書くことにすると、
(ただし一度も置き換えていないときに$a=0$)
グラハム数$G$は
$$
G(1)=3\uparrow 3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 3}}} 3 = \mathfrak{H}(3,3,3)=3^3=27 \\
G(2)= 3\uparrow \uparrow 3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 4}}} 3 = \mathfrak{H}(3,4,3)=^33=3^{27} \\
G(3)= 3\uparrow \uparrow \uparrow 3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 5}}} 3 = \mathfrak{H}(3,5,3) \\
G(4)=3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3
= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 6}}} 3=\mathfrak{H}(3,6,3) \\
G^2(4)=G(G(4))=3\underbrace{\uparrow \cdots \uparrow}_{G(4)本}3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small G(4)}}} 3=\mathfrak{H}(3, \mathfrak{H}(3,6,3), 3) =\mathfrak{H}_G(3,6,3,1)
$$
以下同様にして、
$$
G=G^{64}(4)=\mathfrak{H}_G(3,6,3,63)
$$
と表せる。
$$ G(n)= \mathfrak{H}(3,n+2,3) \\ G^{m}(n)= \mathfrak{H}_G(3,n+2,3,m-1) $$
# 3:新たな表記での巨大数の評価その１（コンウェイのテトラトリ）
#####2022-06-30のメモ
$(a_k,m,n,a)$を$(a_k,m,n,\mathfrak{H}_G(a_k,m,n,a))$に置き換える操作を$b$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_{G^2}(a_k,m,n,a,b)$と書くことにする。
（$a$の反復が１のレベル）
$(a_k,m,n,a,b)$を$(a_k,m,n,a,\mathfrak{H}_{G^2}(a_k,m,n,a,b))$に置き換える操作を$c$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_{G^3}(a_k,m,n,a,b,c)$と書くことにする。
（$a$の反復が２のレベル）
同様にして、
$(a_k,m,n,a_1,a_2,...,a_{l-1})$を$(a_k,m,n,a_1,a_2,...,\mathfrak{H}_{G^{l-1}}(a_k,m,n,a_1,a_2,...,a_{l-1}))$に置き換える操作を$l$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_{G^l}(a_k,m,n,a_1,a_2,...,a_l)$と書くことにする。
（$a$の反復が$l$のレベル）
すると、
$$ 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3\\= 3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\\= G^{3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}(1)= G^{G^{27}(1)}(1)\\=\mathfrak{H}_G(3,3,3,G^{27}(1)-1) \lt \mathfrak{H}_G(3,3,3,G^{27}(1)) \\=\mathfrak{H}_G(3,3,3,\mathfrak{H}_G(3,3,3,26)) \lt \lt \lt \mathfrak{H}_G(3,3,3,\mathfrak{H}_G(3,3,3,G^{27}(1))) \\=\mathfrak{H}_{G^2}(3,3,3,G^{27}(1),1) \\ \\ \ $$
# 4:対数のn階積分の無限和
#####2022-09-13のメモ
$f(x)$の$n$階積分を$ \int^{(n)} f(x) dx$と表すことにすると、
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\int^{(n)}\log x dx =-e^x \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt -\log x-\gamma +C \;\;\;(Cは整式) \\ =-e^x \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt -\log x +C' \;\;\;(C'は整式) $$
と表せる。