$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{div}[0]{\mathrm{div}}
\newcommand{division}[0]{÷}
\newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ }
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ }
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
記事にならない程度のやつを置いていきます。
そういうことです。どんどん増えていきます。たぶん。
気が向いたら証明(それが必要なら)などするかも。
1:謎総和ーず
2021-08-31のメモ
$$
\\\sum_{k=1}^{n} k!=(-1)^{n+1}\Gamma(n+2)!(-n-2)+!(-2)\qquad\Bigl(!n=n!\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!} \Bigr)
\\\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}= \frac{e\Gamma(n+1,1)}{\Gamma(n+1)}-1
\\\sum_{k=1}^{n} k\sin k = \frac{1}{4}csc^{2}\Bigl( \frac{1}{2}\Bigr)((n+1)\sin n-n\sin (n+1))
\\\sum_{k=1}^{n} k\cos k = \frac{1}{4}csc^{2}\Bigl( \frac{1}{2}\Bigr)((n+1)\cos n-n\cos(n+1)-1)
$$
2:グラハム数の新たな表記と拡張
2022-06-30のメモ
$$
\mathfrak{H}(a_k,m,n)=\underset{k=2}{\overset{n}{\;\;\huge H^{\small m}}} a_k
$$
とし、さらに
$$
\mathfrak{H}(a_k,m,n)=\underset{k=2}{\overset{n}{\;\;\huge H^{\small m}}} a_k
$$
の$(a_k,m,n)$を$(a_k,\mathfrak{H}(a_k,m,n),n)$に置き換える操作を$a$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_G(a_k,m,n,a)$と書くことにすると、
(ただし一度も置き換えていないときに$a=0$)
グラハム数$G$は
$$
G(1)=3\uparrow 3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 3}}} 3 = \mathfrak{H}(3,3,3)=3^3=27 \\
G(2)= 3\uparrow \uparrow 3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 4}}} 3 = \mathfrak{H}(3,4,3)=^33=3^{27} \\
G(3)= 3\uparrow \uparrow \uparrow 3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 5}}} 3 = \mathfrak{H}(3,5,3) \\
G(4)=3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3
= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small 6}}} 3=\mathfrak{H}(3,6,3) \\
G^2(4)=G(G(4))=3\underbrace{\uparrow \cdots \uparrow}_{G(4)本}3= \underset{k=2}{\overset{3}{\;\;\huge H^{\small G(4)}}} 3=\mathfrak{H}(3, \mathfrak{H}(3,6,3), 3) =\mathfrak{H}_G(3,6,3,1)
$$
以下同様にして、
$$
G=G^{64}(4)=\mathfrak{H}_G(3,6,3,63)
$$
と表せる。
また、より一般に
$$
G(n)= \mathfrak{H}(3,n+2,3) \\
G^{m}(n)= \mathfrak{H}_G(3,n+2,3,m-1)
$$
# 3:新たな表記での巨大数の評価その1(コンウェイのテトラトリ)
#####2022-06-30のメモ
$(a_k,m,n,a)$を$(a_k,m,n,\mathfrak{H}_G(a_k,m,n,a))$に置き換える操作を$b$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_{G^2}(a_k,m,n,a,b)$と書くことにする。
($a$の反復が1のレベル)
$(a_k,m,n,a,b)$を$(a_k,m,n,a,\mathfrak{H}_{G^2}(a_k,m,n,a,b))$に置き換える操作を$c$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_{G^3}(a_k,m,n,a,b,c)$と書くことにする。
($a$の反復が2のレベル)
同様にして、
$(a_k,m,n,a_1,a_2,...,a_{l-1})$を$(a_k,m,n,a_1,a_2,...,\mathfrak{H}_{G^{l-1}}(a_k,m,n,a_1,a_2,...,a_{l-1}))$に置き換える操作を$l$回行ったとき
それを$\mathfrak{H}_{G^l}(a_k,m,n,a_1,a_2,...,a_l)$と書くことにする。
($a$の反復が$l$のレベル)
すると、
$$
3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3\\=
3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\\=
G^{3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}(1)=
G^{G^{27}(1)}(1)\\=\mathfrak{H}_G(3,3,3,G^{27}(1)-1) \lt \mathfrak{H}_G(3,3,3,G^{27}(1))
\\=\mathfrak{H}_G(3,3,3,\mathfrak{H}_G(3,3,3,26)) \lt \lt \lt \mathfrak{H}_G(3,3,3,\mathfrak{H}_G(3,3,3,G^{27}(1)))
\\=\mathfrak{H}_{G^2}(3,3,3,G^{27}(1),1)
\\ \\ \
$$
# 4:対数のn階積分の無限和
#####2022-09-13のメモ
$f(x)$の$n$階積分を$ \int^{(n)} f(x) dx$と表すことにすると、
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\int^{(n)}\log x dx =-e^x \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt -\log x-\gamma +C \;\;\;(Cは整式)
\\ =-e^x \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt -\log x +C' \;\;\;(C'は整式)
$$
と表せる。