有界自己共役作用素のスペクトル分解について

$\gamma\in\sigma(p(A))$を勝手にとり, $n:=\mathrm{deg}p>0$とおく。代数学の基本定理より, ある$\alpha_1,...,\alpha_n\in\mathbb{C}$で$p(t)-\gamma=a_n(t-\alpha_1)\cdots(t-\alpha_n)$となるものがあるので, 
$$p(A)-\gamma I=a_n(A-\alpha_1I)\cdots (A-\alpha_nI)$$であり, もし任意の$j$に対し$\alpha_j\in\rho(A)$なら, 上式右辺は可逆作用素より$p(A)-\gamma I$も可逆なので, $\gamma\in\rho(p(A))$を満たす。矛盾したのである$j$が存在し$\alpha_j\in\sigma(A)$. $p(\alpha_j)-\gamma=0$から$\gamma\in p(\sigma(A))$である。

上補題と$\sigma(A)\subseteq\mathcal{J}$より
$$\|p(A)\|^2=\|p(A)^*p(A)\|=\|(\overline{p}p)(A)\|=\sup\{|\gamma|\ :\ \gamma\in\sigma((\overline{p}p)(A))\}\le\sup\{\overline{p}p(\lambda)\ |\ \lambda\in\sigma(A)\}\le\|\overline{p}p\|_\mathcal{J}=\|p\|^2_\mathcal{J}$$

ワイエルシュトラスの近似定理より多項式全体は$(C(\mathcal{J}),\|・\|_\mathcal{J})$で稠密より$X$上の有界線形作用素は$C(\mathcal{J})$上への一意拡張をもつ。$\mu $の一意存在と最後は, 局所コンパクトハウスドルフ空間上の連続関数環での$\mathrm{Riesz}$-$\mathrm{Markov}$-角谷の表現定理を用いて成り立つ。

$M_0:=M\cap N,M_1:=M\backslash M_0,M_2:=N\backslash M_0$とおくと$M_1\cap M_2=M_0\cap M_2=M_1\cap M_0=\varnothing $より
$$E(M_1)E(M_2)=E(M_0)E(M_2)=E(M_1)E(M_0)=0.\ M=M_1\cup M_0とEの有限加法性からE(M)E(N)=(E(M_1)+E(M_0))(E(M_2)+E(M_0))=E(M_0)^2=E(M\cap N)$$

明らかでない$\Leftarrow$を示す。$(M_n)_{n\in\mathbb{N}}$を$\mathfrak{A}$の互いに素な集合列で$M:=\cup^\infty_{n=1}M_n\in\mathfrak{A}$なるものとする。$E_x$は有限加法的すなわち$E$も有限加法的なので前補題より$(E(M_n))_n$は直交射影の族で, $\sum^\infty_{n=1}E(M_n)$は強収束する。（確かめよ, あるいは別証明であるmathpedia様の「射影作用素からなる単調増加ネットの$\mathrm{SOT}$極限として存在するものとせよ）$E_x$は可算加法的なので
$$< E(M)x,x>=E_x(M)=\sum^\infty_{n=1}E_x(M_n)=\sum^\infty_{n=1}< E(M_n)x,x>=<\sum^\infty_{n=1}E(M_n)x,x>,\ \ \forall x\in\mathcal{H}$$よって極化等式から$E(M)=\sum^\infty_{n=1}E(M_n)$より$E$は射影値測度。

存在性) 任意の$x,y\in\mathcal{H}$に対し, $\mathbb{C}[t]$上の線形汎関数$F_{x,y}$を$F_{x,y}(p):=< p(A)x,y>,p\in\mathbb{C}[t]$で定める。
$$|F_{x,y}(p)|\le\|p(A)\|\|x\|\|y\|\le\|p\|_\mathcal{J}\|x\|\|y\|$$なので, $(\mathbb{C}[t],\|・\|_\mathcal{J})$上で$F_{x,y}$は連続なので前補題から一意に複素正則ボレル測度$\mu_{x,y}$が存在し, $F_{x,y}(p)=\int_{\mathcal{J}}p(\lambda)d\mu_{x,y}(\lambda)\ (p\in\mathbb{C}[t])\cdots (*)$を満たす。ボレル完全加法族$\mathscr{B}(\mathcal{J})$上のスペクトル測度$E$で$\mu_{x,y}(M)=< E(M)x,y>\ (\forall x,y\in\mathcal{H},\ M\in\mathscr{B}(\mathcal{J}))$を満たすものが存在することを示す。$\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{C},x_1,x_2\in\mathcal{H}$とする。内積の第一引数が持つ線形性と(*)から
$$\int\ pd\mu_{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2,y}=\alpha_1\int\ pd\mu_{x_1,y}+\alpha_2\int\ pd\mu_{x_2,y}=\int\ pd(\alpha_1\mu_{x_1,y}+\alpha_2\mu_{x_2,y})$$が$p\in\mathbb{C}[t]$に対し成り立つ。よって補題での測度の一意性より, $\mu_{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2,y}(M)=\alpha_1\mu_{x_1,y}(M)+\alpha_2\mu_{x_2,y}(M),\forall M\in\mathscr{B}(\mathcal{J})$で, 同様に$y_i\in\mathcal{H}$として$\mu_{x,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2}(M)=\overline{\alpha_1}\mu_{x,y_1}(M)+\overline{\alpha_2}\mu_{x,y_2}(M),\forall M\in\mathscr{B}(\mathcal{J})で|\mu_{x,y}(M)|\le\|F_{X,y}\|\le\|x\|\|y\|$である。よって, 各$M\in\mathscr{B}(\mathcal{J})$に対し$(x,y)\mapsto \mu_{x,y}(M)$は連続な半双線形形式より，$$\mu_{x,y}(M)=< E(M)x,y>\ (x,y\in\mathcal{H})\cdots (**)$$を満たす射影$E(M)\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$が存在する。（ただし, これには一般にヒルベルト空間$X,Y$の間の有界作用素全体と$X\times Y$上の連続半双線形形式全体との対応がノルム同型を与えることを用いている）$(*)$において$p(t)=1$と選ぶと$< x,y>=\mu_{x,y}(\mathcal{J})=< E(\mathcal{J}x,y>,\forall x,y\in\mathcal{H}$より$E(\mathcal{J})=I$である。

従って$E(M)$は射影であることを示されれば, 上補題により$E$はスペクトル測度となる。$x,y\in\mathcal{H},p\in\mathbb{C}[t]$とする。$(*)$より
$$\int_\mathcal{J}\ pd\mu_{x,y}=< p(A)x,y>=\overline{<\overline{p}(A)y,x>}=\overline{\int\ \overline{p}d\mu_{y,x}}=\int\ pd\overline{\mu}_{y,x}$$より$\mu_{x,y}(M)=\overline{\mu_{y,x}(M)}$であり, これと$(**)$での測度の一意性から$E(M)=E(M)^*$である。

次に$E(M)^2=E(M)$を示す。$A$は自身と可換なので
$$\int\ pd\mu_{q(A)x,y}=< p(A)q(A)x,y>=<(pq)(A)x,y>=\int\ pqd\mu_{x,y}$$である。よって$d\mu_{q(A)x,y}=qd\mu_{x,y}$で$(**)$より$< E(M)q(A)x,y>=\int_Mqd\mu_{x,y}$より
$$\int\ qd\mu_{xE(M)y}=< q(A)x,E(M)y>=< E(M)q(A)x,y>=\int\ q\chi_Md\mu_{x,y},\ \forall q\in\mathbb{C}[t]$$なので$d\mu_{x,E(M)y}=\chi_Md\mu_{x,y}$. 従って
$$\forall N\in\mathscr{B}(\mathcal{J})\ \mu_{x,E(M)y}(N)=\int_N\chi_Md\mu_{x,y}=\mu_{x,y}(M\cap N),\ \ \ (**)\Rightarrow < E(N)x,E(M)y>=< E(M\cap N)x,y>$$よって, $E(M)^*=E(M)$より$E(M)E(N)=E(M\cap N)$で, 特に$E(M)^2=E(M)$ゆえに$E(M)$は射影作用素となる。$x,y\in\mathcal{H}$とすれば$(**)$より任意の$p\in\mathbb{C}[t]$に対し, $< p(A)x,y>=\int_\mathcal{J}p(\lambda)\ d< E(\lambda)x,y>$なので, $< Ax,y>=\int_\mathcal{J}\lambda\ d< E(\lambda)x,y>$である。射影値測度$E$による有界可測関数の積分(mathpedia様の定義6.5参照. $\mathbb{I}$は6.5の*環準同型)から, $\mathbb{I}(f_0)=\int_\mathcal{J}\lambda dE(\lambda)$ (ただし$f_0(\lambda)=\lambda,\lambda\in\mathcal{J})$に対し, 射影値測度による積分論の基本性質で
$$<\mathbb{I}(f_0)x,y>=\int_\mathcal{J}\lambda d< E(\lambda)x,y>$$が言えて, $A=\mathbb{I}(f_0)=\int_\mathcal{J}\lambda dE(\lambda)$が成り立つ。

一意性) $\mathbb{I}(f)$で異なる射影値測度$F$によるスペクトル積分$\int_\mathbb{R}f\ dF$を表すとする。$N_n:=[b+n^{-1},\infty)$とおく。
$$< AF(N_n)x,F(N_n)x>=<\mathbb{I}(f_0\chi_{N_n})x,x>=\int_{N_n}\lambda d< F(\lambda)x,x>\ge (b+n^{-1})\int_{N_n}d< F(\lambda)x,x>=(b+n^{-1}\|F(N_n)x\|^2$$ここで, $\sigma(A)\subseteq[a,b]$ゆえの$< Ay,y>\le b\|y\|^2$と上式によって$F(N_n)x=0,\forall x\in\mathcal{H}$となる。よって
$$0=\mathrm{s}-\lim_{n\to\infty}F(N_n)=F((b,\infty))$$同様に, $F((-\infty,a))=0$なので, $\mathscr{B}(\mathbb{R})$上定義された$F$に対して実は$< p(A)x,x>=\int_\mathcal{J}p(\lambda)d< F(\lambda)x,x>$となる。従って
$$< E(N)x,x>=< F(N)x,x>\ \forall N\in\mathscr{B}(\mathcal{J}),x\in\mathcal{H}$$が$\mathrm{Riesz}$-$\mathrm{Markov}$-角谷の表現定理より言えて, $E(N)=F(N),\ F(\mathbb{R}\backslash\mathcal{J})=0$より$E(M\cap\mathcal{J})=F(M)$である。最後に$T\in\mathbb{B}(\mathcal{H})$で$AT=TA$を満たすものをとると今示した
$$A=\int_\mathcal{J}\lambda dE(\lambda)\Rightarrow p(A)=\int_\mathcal{J}p(\lambda) dE(\lambda)$$から，$$\forall x,y\in\mathcal{H}\ \ \int_\mathcal{J}p(\lambda)d< E(\lambda)Tx,y>=< p(A)Tx,y>=< p(A)x,T^*y>=\int_\mathcal{J}p(\lambda)d< E(\lambda)x,T^*y>$$$$< E(M)Tx,y>=< E(M)x,T^*y>=< TE(M)x,y>\Leftrightarrow \forall M\in\mathscr{B}(\mathcal{J})\ ;\ E(M)T=TE(M)$$逆に, $TE(・)=E(・)T$ならば, $TA=AT$が成り立つことは$A=\mathbb{I}(f_0)$と見る。$\mathbb{I}(\chi_M)=E(M)$は明らかなので, 近似すれば良い。