最適性条件で出てくる凸解析の用語のイメージについて

$S$を$E_n$の部分集合とするとき、すべてのベクトル$x\in S$と非負の実数$\alpha \ge 0$に対して、$\alpha x\in S$が成り立つとき、集合$S$を錐(cone)と呼ぶ。

$S$を$E_n$の部分集合とするとき、$S$の極錐(polar cone)$S^{\ast }$を次のように定義する。

$$S^{\ast }=\{y\in E^n|⟨y,x⟩\le 0,\mathrm{\forall }x\in S\}$$

$\mathcal{X}$を$E^n$の空でない部分集合とし、$x_0\in \mathbb{cl}\mathcal{X}$とするとき、

$$T_{\mathcal{X}}(x_0)\equiv \{d\in E^m|d=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\lambda }_k(x_k-x_0),{\lambda }_k>0,\{x_k{\}}_{k=1,2,3,\cdots }\subset S,\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k=x_0\}$$
を$x_0$での$S$の接錐(tangent cone)と呼ぶ。

$\mathcal{X}$を$E^n$の空でない部分集合とし、$x\in \mathbb{cl}\mathcal{X}$とするとき、

$$N_{\mathcal{X}}(x_0)=\{z\in E^n|⟨z,y⟩\le 0,\mathrm{\forall }y\in T_{\mathcal{X}}(x_0)\}$$