最適性条件で出てくる凸解析の用語のイメージについて

$S$を$E_n$の部分集合とするとき、すべてのベクトル$x\in S$と非負の実数$\alpha\geq 0$に対して、$\alpha x\in S$が成り立つとき、集合$S$を錐(cone)と呼ぶ。

$S$を$E_n$の部分集合とするとき、$S$の極錐(polar cone)$S^*$を次のように定義する。

$$ S^*=\{y\in E^n| \langle y,x\rangle\leq 0, \forall x \in S\} $$

$\mathscr{X}$を$E^n$の空でない部分集合とし、$x_0\in \mathbb{cl}\mathscr{X}$とするとき、

$$ T_{\mathscr{X}}(x_0) \equiv \{ d\in E^m |d=\lim_{k\rightarrow\infty}\lambda_{k}(x_k-x_0), \lambda_k>0, \{x_k\}_{k=1,2,3,\cdots}\subset S, \lim_{k\rightarrow\infty}x_k=x_0 \} $$
を$x_0$での$S$の接錐(tangent cone)と呼ぶ。

$\mathscr{X}$を$E^n$の空でない部分集合とし、$x\in \mathbb{cl}\mathscr{X}$とするとき、

$$ N_{\mathscr{X}}(x_0)=\{z\in E^n|\langle z,y\rangle\leq0, \forall y \in T_{\mathscr{X}}(x_0)\} $$