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大学数学基礎解説
文献あり

最適性条件で出てくる凸解析の用語のイメージについて

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錐と極錐

錐 cone

$S$$E_n$の部分集合とするとき、すべてのベクトル$x\in S$と非負の実数$\alpha\geq 0$に対して、$\alpha x\in S$が成り立つとき、集合$S$を錐(cone)と呼ぶ。

極錐 polar cone

$S$$E_n$の部分集合とするとき、$S$の極錐(polar cone)$S^*$を次のように定義する。

$$ S^*=\{y\in E^n| \langle y,x\rangle\leq 0, \forall x \in S\} $$

錐と極錐 錐と極錐

接錐と法錐

$\{x_k\}_{k=1,2,3,\cdots}\subset S$の中で、$x_k-x_0$と微分した方向ベクトル$d$の集合が$S$であるので、集合$S$$x_0$において線形近似した集合とみなすことが出来る。

接錐 tangent cone

$\mathscr{X}$$E^n$の空でない部分集合とし、$x_0\in \mathbb{cl}\mathscr{X}$とするとき、

$$ T_{\mathscr{X}}(x_0) \equiv \{ d\in E^m |d=\lim_{k\rightarrow\infty}\lambda_{k}(x_k-x_0), \lambda_k>0, \{x_k\}_{k=1,2,3,\cdots}\subset S, \lim_{k\rightarrow\infty}x_k=x_0 \} $$
$x_0$での$S$の接錐(tangent cone)と呼ぶ。

法錐 normal cone

$\mathscr{X}$$E^n$の空でない部分集合とし、$x\in \mathbb{cl}\mathscr{X}$とするとき、

$$ N_{\mathscr{X}}(x_0)=\{z\in E^n|\langle z,y\rangle\leq0, \forall y \in T_{\mathscr{X}}(x_0)\} $$

接錐接錐と法錐
接錐 接錐 接錐と法錐 接錐と法錐

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投稿日:2022918

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hdk105
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計測・制御・情報に興味があります. 備忘録として残していきます.

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