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大学数学基礎解説
文献あり

Sokhotski–Plemeljの式

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本稿では,積分経路を円周に限って, Sokhotski–Plemeljの式 を証明する.

Sokhotski–Plemeljの式

複素関数f(z)は,円環0<|z|<RR>1)上で
f(z)=n=anzn
と表せるとする.このとき
ϕ(z)=12πi|ζ|=1f(ζ)ζzdζ(|z|1)
とおくと,単位円上の各点aについて次式が成立する.ただし,p.v. コーシーの主値 を意味する.
limza|z|<1ϕ(z)=12πip.v.|ζ|=1f(ζ)ζadζ+f(a)2,limza|z|>1ϕ(z)=12πip.v.|ζ|=1f(ζ)ζadζf(a)2

以下の証明ではたびたびを交換するが,それらはローラン級数のコンパクト一様収束性から正当化できる.

P(z)=n=1anzn,N(z)=n=0anzn(0<|z|<R)
とおく.このときf(z)=P(z)+N(z)である.

|ζ|=1に注意すると,0<|z|<1のとき
ϕ(z)=12πi|ζ|=111z/ζf(ζ)ζdζ=12πi|ζ|=1(m=0(zζ)m)(n=anζn1)dζ=m=0zmn=an2πi|ζ|=1ζnm1dζ=m=0zmn=anδnm=m=0amzm=N(z)
となる.一方,1<|z|<Rのときは
ϕ(z)=12πi|ζ|=1ζ/z1ζ/zf(ζ)ζdζ=12πi|ζ|=1(m=1(ζz)m)(n=anζn1)dζ=m=1zmn=an2πi|ζ|=1ζn+m1dζ=m=1zmn=anδnm=m=1amzm=P(z)
となる.よって
(♤)limza|z|<1ϕ(z)=N(a),limza|z|>1ϕ(z)=P(a)
である.

主値積分を計算する.f(ζ)=P(ζ)+N(ζ)なので
12πip.v.|ζ|=1f(ζ)ζadζ=n=1an2πip.v.|ζ|=1ζnζadζ+m=0am2πip.v.|ζ|=1ζmζadζ
である.右辺の第2項については,公式
12πip.v.|ζ|=1ζnζadζ=an2(n=0,1,)
より
m=0am2πip.v.|ζ|=1ζmζadζ=m=0amam2=N(a)2
となる(公式の証明は後述).また,第1項については
ζnζa=anζaanζ1(a/ζ)n1a/ζ=anζaan1k=1n(aζ)k
だから
12πip.v.|ζ|=1ζnζadζ=an2πip.v.|ζ|=1dζζak=1nan+k12πip.v.|ζ|=1dζζk
であり,p.v.ζkdζ=ζkdζ=2πiδk1なので
12πip.v.|ζ|=1ζnζadζ=(121)an=an2
となる.よって
n=1an2πip.v.|ζ|=1ζnζadζ=n=1an(an2)=P(a)2
であり,まとめると次のようになる.
(♡)12πip.v.|ζ|=1f(ζ)ζadζ=P(a)2+N(a)2

(♤),(♡),およびf(a)=P(a)+N(a)を整理すると,冒頭の等式が得られる.

複素数aが単位円上にあるとき,次式が成立する.
12πip.v.|ζ|=1ζnζadζ=an2(n=0,1,)

中心a,半径εの円周をΓεとする.また,Γεで囲まれる部分を単位円から取り除いた曲線をγεとする.このとき
12πip.v.|ζ|=1ζnζadζ=limε012πiγεζnζadζ
である.

Γεのうち,単位円の外側にある部分をΓεeとおく,γεΓεeをつなげてできる閉曲線γεΓεeは,点aを囲む.したがって,コーシーの積分公式より
12πiγεζnζadζ+12πiΓεeζnζadζ=12πiγεΓεeζnζadζ=an
である.また,Γεeの長さをθεεとおくと,Γεe上を動く変数ζζ=a+εaeiθ|θ|θε/2)と表示できる.dζ=εaieiθdθだから
12πiΓεeζnζadζ=12πiθε/2θε/2i(a+εaeiθ)ndθ=12πi(ianθε+O(ε))
である(O(ε) ランダウの記号 ).ε0の極限において,Γεeは半円に近づいていく.したがって,弧長θεεπεに近づくから,θεπε0)である.よって
limε012πiΓεeζnζadζ=an2,limε012πiγεζnζadζ=anan2=an2
である.

参考文献

[2]
Alip Mohammed, The torus related Riemann problem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, pp. 533–555
投稿日:2022924
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数学、特に応用数学が好きです。Mathlogでは主に、数学とプログラミングを絡めたようなことを書けたらいいなと思っています。

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