Sokhotski–Plemeljの式

\begin{equation} P(z) = \sum_{n=1}^\infty a_{-n}z^{-n}, \quad N(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\quad(0<\abs{z}< R) \end{equation}
とおく．このとき$f(z)=P(z)+N(z)$である．

$\abs{\zeta}=1$に注意すると，$0<\abs{z}<1$のとき
\begin{align*} \phi(z) &= \frac{1}{2\krez\iuni}\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{1}{1-z/\zeta}\frac{f(\zeta)}{\zeta}\intd{\zeta} = \frac{1}{2\krez\iuni}\oint_{\abs{\zeta}=1} \pqty{\sum_{m=0}^\infty\pqty{\frac{z}{\zeta}}^m}\pqty{\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\zeta^{n-1}}\intd{\zeta} \\ &= \sum_{m=0}^\infty z^m\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{a_n}{2\krez\iuni}\oint_{\abs{\zeta}=1} \zeta^{n-m-1}\intd{\zeta} = \sum_{m=0}^\infty z^m\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\kdelta{n}{m} \\ &= \sum_{m=0}^\infty a_mz^m = N(z) \end{align*}
となる．一方，$1<\abs{z}< R$のときは
\begin{align*} \phi(z) &= -\frac{1}{2\krez\iuni}\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta/z}{1-\zeta/z}\frac{f(\zeta)}{\zeta}\intd{\zeta} = -\frac{1}{2\krez\iuni}\oint_{\abs{\zeta}=1} \pqty{\sum_{m=1}^\infty\pqty{\frac{\zeta}{z}}^m}\pqty{\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\zeta^{n-1}}\intd{\zeta} \\ &= -\sum_{m=1}^\infty z^{-m}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{a_n}{2\krez\iuni}\oint_{\abs{\zeta}=1} \zeta^{n+m-1}\intd{\zeta} = -\sum_{m=1}^\infty z^{-m}\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\kdelta{n}{-m} \\ &= -\sum_{m=1}^\infty a_{-m}z^{-m} = -P(z) \end{align*}
となる．よって
\begin{equation} \lim_{\substack{z\to a\\ \abs{z}<1}}\phi(z) = N(a), \quad\lim_{\substack{z\to a\\ \abs{z}>1}}\phi(z) = -P(a)\tag{♤} \end{equation}
である．

主値積分を計算する．$f(\zeta)=P(\zeta)+N(\zeta)$なので
\begin{equation*} \frac{1}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \sum_{n=1}^\infty\frac{a_{-n}}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^{-n}}{\zeta-a}\intd{\zeta}+\sum_{m=0}^\infty\frac{a_m}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^m}{\zeta-a}\intd{\zeta} \end{equation*}
である．右辺の第2項については，公式
\begin{equation*} \frac{1}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \frac{a^n}{2}\quad(n=0,1,\dotsc) \end{equation*}
より
\begin{equation*} \sum_{m=0}^\infty\frac{a_m}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^m}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \sum_{m=0}^\infty a_m\frac{a^m}{2} = \frac{N(a)}{2} \end{equation*}
となる（公式の証明は後述）．また，第1項については
\begin{equation*} \frac{\zeta^{-n}}{\zeta-a} = \frac{a^{-n}}{\zeta-a}-\frac{a^{-n}}{\zeta}\frac{1-(a/\zeta)^n}{1-a/\zeta} = \frac{a^{-n}}{\zeta-a}-a^{-n-1}\sum_{k=1}^n\pqty{\frac{a}{\zeta}}^k \end{equation*}
だから
\begin{align*} \frac{1}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^{-n}}{\zeta-a}\intd{\zeta} &= \frac{a^{-n}}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\dv{\zeta}}{\zeta-a}-\sum_{k=1}^n\frac{a^{-n+k-1}}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\dv{\zeta}}{\zeta^k} \end{align*}
であり，$\pv\oint\zeta^{-k}\intd{\zeta}=\oint\zeta^{-k}\intd{\zeta}=2\krez\iuni\kdelta{k}{1}$なので
\begin{equation*} \frac{1}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^{-n}}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \pqty{\frac{1}{2}-1}a^{-n} = -\frac{a^{-n}}{2} \end{equation*}
となる．よって
\begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty\frac{a_{-n}}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^{-n}}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \sum_{n=1}^\infty a_{-n}\pqty{-\frac{a^{-n}}{2}} = -\frac{P(a)}{2} \end{equation*}
であり，まとめると次のようになる．
\begin{equation} \frac{1}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\intd{\zeta} = -\frac{P(a)}{2}+\frac{N(a)}{2}\tag{♡} \end{equation}

(♤)，(♡)，および$f(a)=P(a)+N(a)$を整理すると，冒頭の等式が得られる．

中心$a$，半径$\varepsilon$の円周を$\Gamma_\varepsilon$とする．また，$\Gamma_\varepsilon$で囲まれる部分を単位円から取り除いた曲線を$\gamma_\varepsilon$とする．このとき
\begin{equation*} \frac{1}{2\krez\iuni}\pv\oint_{\abs{\zeta}=1}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\frac{1}{2\krez\iuni}\int_{\gamma_\varepsilon}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} \end{equation*}
である．

$\Gamma_\varepsilon$のうち，単位円の外側にある部分を$\Gamma_\varepsilon^e$とおく，$\gamma_\varepsilon$と$\Gamma_\varepsilon^e$をつなげてできる閉曲線$\gamma_\varepsilon\cup\Gamma_\varepsilon^e$は，点$a$を囲む．したがって，コーシーの積分公式より
\begin{equation*} \frac{1}{2\krez\iuni}\int_{\gamma_\varepsilon}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta}+\frac{1}{2\krez\iuni}\int_{\Gamma_\varepsilon^e}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \frac{1}{2\krez\iuni}\oint_{\gamma_\varepsilon\cup\Gamma_\varepsilon^e}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} = a^n \end{equation*}
である．また，$\Gamma_\varepsilon^e$の長さを$\theta_\varepsilon\varepsilon$とおくと，$\Gamma_\varepsilon^e$上を動く変数$\zeta$は$\zeta=a+\varepsilon a\napr^{\iuni\theta}$（$\abs{\theta}\leq\theta_\varepsilon/2$）と表示できる．$\dv{\zeta}=\varepsilon a\iuni\napr^{\iuni\theta}\intd{\theta}$だから
\begin{equation*} \frac{1}{2\krez\iuni}\int_{\Gamma_\varepsilon^e}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \frac{1}{2\krez\iuni}\int_{-\theta_\varepsilon/2}^{\theta_\varepsilon/2}\iuni(a+\varepsilon a\napr^{\iuni\theta})^n\intd{\theta} = \frac{1}{2\krez\iuni}(\iuni a^n\theta_\varepsilon+\Order(\varepsilon)) \end{equation*}
である（$\Order(\varepsilon)$は ランダウの記号 ）．$\varepsilon\downarrow 0$の極限において，$\Gamma_\varepsilon^e$は半円に近づいていく．したがって，弧長$\theta_\varepsilon\varepsilon$は$\krez\varepsilon$に近づくから，$\theta_\varepsilon\to\krez$（$\varepsilon\downarrow 0$）である．よって
\begin{equation*} \lim_{\varepsilon\downarrow 0}\frac{1}{2\krez\iuni}\int_{\Gamma_\varepsilon^e}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} = \frac{a^n}{2}, \quad\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\frac{1}{2\krez\iuni}\int_{\gamma_\varepsilon}\frac{\zeta^n}{\zeta-a}\intd{\zeta} = a^n-\frac{a^n}{2} = \frac{a^n}{2} \end{equation*}
である．