本稿では,積分経路を円周に限って, Sokhotski–Plemeljの式 を証明する.
複素関数
と表せるとする.このとき
とおくと,単位円上の各点
以下の証明ではたびたび
とおく.このとき
となる.一方,
となる.よって
である.
主値積分を計算する.
である.右辺の第2項については,公式
より
となる(公式の証明は後述).また,第1項については
だから
であり,
となる.よって
であり,まとめると次のようになる.
(♤),(♡),および
複素数
中心
である.
である.また,
である(
である.