凸最適化の最適条件

$$ g_x\in \partial f(x) \iff f(y)\geq f(x)+\langle g_x,y-x\rangle $$

もし、$0\in \partial f(\hat{x})$であるならば、

$$ f(y)\geq f(\hat{x})+\langle 0, y-x\rangle=f(\hat{x}), \ \ \forall y $$

これは、$\hat{x}$は最適問題の最適解であることを示している。