こんにちは 夏休みが終わり絶望しているごておばけです
位相空間論初見のとき、相対位相の定義を見ても何もピンとこなかった経験があるので 過去の自分向けに相対位相の具体的な使い方を説明しようと思います
基礎的な2変数以上の解析学を学ぶとき、まず
折角(?)なので開集合の定義をしましょう
開集合のイメージも書いておきます
手書き
画像のように, 「境界がない図形」「果てがない図形」という感じのものが開集合です.
さて, 我々は地表に住んでいるので球面というものに自然と興味が湧いてきます 湧きますよね?
球面を次で定義します.
2次元球面
さて, これを幾何学的な対象と見たいので球面における開集合を考えてみましょう. (位相空間にしましょう. )
球面における「境界がない図形」「果てがない図形」とはどういう図形になるか. 次の画像のようなものが思い浮かぶと思います.
なんか不安になる図
球の表面にペタっと開集合がくっついている感じですね. さてこの領域ですが, これをうまく数学的に定義したい!という気持ちになります.
では, 球面における開集合を定義してみます.
例えば図2の右側の開集合は,
イメージ図
左側の開集合も, いい感じに開集合を作ると実現できそうです.(想像してみてください......)こうして, ユークリッド空間の開集合というお手本から簡単に開集合を定義することができました.
開集合系(開集合をすべて集めてきたもの)の観点で見てみましょう. 球面の開集合系は, 次のような形で書くことができます.
位相空間の定義を貼っておきます.
さて,
上で定義した球面における開集合系は,
相対位相の定義だけを見るとあっさりしていますが, 球面における開集合のように, すでにある位相空間を使っていい感じの位相空間が定まるという意味で相対位相は便利ですね. それではまた~~~