PIDだがEDでない例

446

この記事の目標

単項イデアル整域(PID)だがユークリッド整域(ED)でない例を見ていきそれに証明を与えます。なお，本記事では次のpdf（のもとになったTeX）に対してTeXインポートを使ってみました。そのpdfでは常体で記述していましたので，ですます調にはなっていません。ご容赦ください。

pided.pdf（GoogleDriveViewerが開きます。）

EDではないがPIDである例

$α = \frac{1 + \sqrt{- 19}}{2}$ とすると， $Z [α]$ はEDではないがPIDである。

一応EDやPIDについて思い出しておく。

ユークリッド整域：ED

可換環 $R$ がユークリッド整域であるとは，次が成り立つこと。

$R$ は整域である。
つぎの条件を満たす写像 $d : R \to Z_{\geq 0}$ が存在する。
①　 $a \in R$ について， $d (a) = 0 ⟺ a = 0$ である。
②　 $a, b \in R, a \neq 0$ とするとき， $b = a q + r, d (r) < d (a)$ を満たす $q, r \in R$ が存在する。

単項イデアル整域：PID

可換環 $R$ が単項イデアル整域であるとは，次の2つが成り立つこと。

$R$ は整域である。
$R$ のイデアルはすべて単項イデアルである。

証明は2段階に分かれる。

どんな写像 $d : Z [α] \to Z_{\geq 0}$ をとってきても，それはEDであることを保証しない。
$Z [α]$ はPIDである。

なお証明のために，ノルム写像を定義しておく。

ノルム写像

$k$ を平方数でない整数とする。このときノルム写像 $N : Z [\sqrt{k}] \to Z$ を次のように定義する。（ $a, b \in Z$ ） $N (a + b \sqrt{k}) = a^{2} - k b^{2}$ この時次の性質があることが分かっている。

$N (x) N (y) = N (x y)$ である。
$a + b α \in Z [α]$ に対して， $N (a + b α) = {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{19}{4} b^{2}$

EDでないこと

まずはEDとはならないことを背理法で示す。即ち，ある写像 $d : Z [α] \to Z_{\geq 0}$ が存在して，それがEDであることを保証すると仮定して矛盾を導く。

そのための準備として，次の補題を示す。

単元や既約元

$Z [α]$ において単元は $\pm 1$ に限る。
$Z [α]$ において $2$ と $3$ は既約元である。

補題の証明

まずは $Z [α]$ において単元が $\pm 1$ しかないことを確認しよう。 $a \in Z [α]$ において， $a$ が単元であるならば $N (a) = 1$ でなければならない。今， $a = x + y α$ とすると， $N (a) = {(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{19}{4} y^{2} = 1$ を満たすような $x, y$ は， $(x, y) = \pm (1, 0)$ しか存在しない。これらが単元であることは容易に分かるから， $Z [α]$ の単元は $\pm 1$ のみである。

次に， $2$ と $3$ が $Z [α]$ 上で既約であることを示す。

$2$ について， $2 = (s + t α) (u + v α) (s, t, u, v \in Z, (s, t) \neq (0, 0), (u, v) \neq (0, 0))$ と表せたとする。このとき $s + t α$ と $u + v α$ のいずれかが単元（即ち $\pm 1$ ）であることを示せばよい。ノルムを考えることで， $4 = ({(s + \frac{t}{2})}^{2} + \frac{19}{4} t^{2}) ({(u + \frac{v}{2})}^{2} + \frac{19}{4} v^{2})$ を得るが， $| t | \geq 1$ もしくは $| v | \geq 1$ ならば右辺は4より大きい値となるから， $t = v = 0$ となり， $2 = s u$ となるから， $s$ か $u$ のいずれかが単数である。

$3$ についてもほとんど同様に既約であることが確かめられる。 $3 = (s + t α) (u + v α) (s, t, u, v \in Z, (s, t) \neq (0, 0), (u, v) \neq (0, 0))$ と表せたとする。この両辺のノルムを考えることで， $9 = ((s + t)^{2} + \frac{19}{4} t^{2}) ((u + v)^{2} + \frac{19}{4} v^{2})$ を得るが， $| t | \geq 1$ かつ $| v | \geq 1$ ならば右辺は9より大きくなるから， $t = 0$ または $v = 0$ である。 $t = v = 0$ ならば $3 = s u$ より $s$ か $u$ のいずれかは単数となる。 $t \neq 0$ ならば， $v = 0$ であり， $9 = ({(s + \frac{t}{2})}^{2} + \frac{19}{4} t^{2}) ({(u + \frac{v}{2})}^{2} + \frac{19}{4} v^{2})$ より， $u$ の可能性としては $| u | = 1$ しかありえない。これは $u + v α = \pm 1$ であり，単数である。 $| v | \neq 0$ としても同様である。

以上より， $2$ と $3$ が既約元であることが確認できた。 $◼$

EDでないことの証明に戻る。任意の $a \in Z [α] ∖ {0, \pm 1}$ に対して $d (m) \leq d (a)$ が成り立つような $m \in Z [α] ∖ {0, \pm 1}$ をとる。 $2$ と $m$ に対して， $d$ の性質よりある $q, r \in Z [α]$ が存在して $2 = q m + r かつ， d (r) < d (m)$ となる $q, r$ が存在する。 $m$ の定め方より， $r$ の可能性としては $0, 1, - 1$ の3通りに限られる。

$r = 0$ と仮定すると， $2 = q m$ となり， $2$ は補題から既約元であり， $m$ は単数ではないので $m = \pm 2$ に限る。
$r = - 1$ と仮定すると， $3 = q m$ となり， $3$ も既約元だったので $m = \pm 3$ に限る。
$r = 1$ と仮定すると， $1 = q m$ となり $m$ を単数としていないことに矛盾する。

よって $m$ の可能性は $m = \pm 2, \pm 3$ の4通りである。

また， $α$ と $m$ についても同様のことをしよう。すなわち， $α = q^{'} m + r^{'} かつ， d (r^{'}) < d (m)$ となるような $q^{'}, r^{'}$ が存在するが，先と同様に $r^{'} = 0, 1, - 1$ のいずれかに限る。このとき， $α, α + 1, α - 1$ のいずれかは $m$ で割り切れることになるが， $m = \pm 2, \pm 3$ のいずれを代入しても $α, α + 1, α - 1$ のどれかを割り切ることはない。これは， $d$ をEDであることを保証する写像としたことに矛盾する。

PIDであること

次に， $Z [α]$ がPIDであることを示そう。 ${0}$ でない任意のイデアル $I$ をとり，それが単項イデアルであることを示せばよい。

$I$ の元で $0$ ではなく，複素数の絶対値が最小であるものを $b$ とする。この $b$ を用いて $I = (b)$ と表されることを示すのが目標である。

そう表せないと仮定して矛盾を導く。すなわち， $(b) \neq I$ と仮定する。このとき，ある元 $a \in I ∖ (b)$ がとれる。この $a$ について， $\frac{a}{b} = x + i y$ としたときに $- \frac{\sqrt{19}}{4} \leq y \leq - \frac{\sqrt{19}}{4}$ が成り立つと仮定してよい。実際， $a^{'} = a - b q (q \in Z [α])$ としたときに $\frac{a^{'}}{b} = x^{'} + i y^{'}$ を考えると， $\frac{a^{'}}{b} = \frac{a}{b} - q$ なので， $q$ を適切に選ぶことで $y^{'}$ の範囲を $- \frac{\sqrt{19}}{4} \leq y^{'} \leq \frac{\sqrt{19}}{4}$ とできるからである。

$\frac{a}{b}$ の虚部 $y$ の値によって，3つの場合に分ける。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} < y < \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき，ある整数 $k$ が存在して， $| x - k | \leq \frac{1}{2}$ が成り立つことから，この $k$ を用いて $| (x - k) + i y | < 1$ となる。従って $| \frac{a}{b} - k | < 1$ であり，これより $0 \leq | a - b k | < | b |$ かつ $a - b k \in I$ だから， $b$ の定め方から $| a - b k | = 0$ が従う。このとき $a = b k \in (b)$ となり， $a \notin (b)$ としていることに矛盾する。
$\frac{\sqrt{3}}{2} \leq y \leq \frac{\sqrt{19}}{4}$ のとき， $\frac{2 a}{b} - α$ の虚部は $\sqrt{3} - \frac{\sqrt{19}}{2}$ 以上 $0$ 以下となる。特に， $| \sqrt{3} - \frac{\sqrt{19}}{2} | < \frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立つことから，1.と同様にある $k \in Z$ が存在して $| \frac{2 a}{b} - k - α | < 1 i . e . | 2 a - b k - b α | < | b |$ となる。また， $a \notin (b)$ ならば， $a^{'} : = a + b k \notin (b)$ だから， $| 2 a^{'} - b α | < | b |$ となり， $b$ の定め方より $2 a^{'} - b α = 0$ が成り立つことが必要である。このとき， $a^{'} \cdot (\frac{1 - \sqrt{- 19}}{2}) - 2 b \in I$ という複素数の元の絶対値を計算すると $\frac{1}{2} | b |$ となる。これは， $b$ の取り方に矛盾する。
$- \frac{\sqrt{19}}{4} \leq y \leq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき，2と同様に $\frac{2 a}{b} + α$ の虚部が0以上 $\frac{\sqrt{19}}{2} - \sqrt{3}$ になることで矛盾が生じる。

1，2，3より， $I \neq (b)$ としたことに矛盾する。よって， $I = (b)$ であり， $Z [α]$ はPIDである。

まとめ

PIDだがEDでない例について見ていきました。個人的には， $Z [α]$ というのはどことなく $Z [\sqrt{- 5}]$ と雰囲気が似ている（ $| α |^{2} = | \sqrt{- 5} |^{2} = 5$ ）のに，EDかどうか変わってしまうのが面白いなあと思っています。ここまで見ていただきありがとうございました。

おまけ：TeXインポートを使ってみた感想

（執筆現在はβ版です。）粗方元のPDFと同様の出力を得ました。凄い技術だと思いました。大変ありがたいのですが，すこーし気になったこと，修正したことをまとめておきます。

自分はTeXで不等式を入力するときに，空白を全く空けずに $2<3$ などと書いていたため，今回はそれら不等号の間に空白を入れる虚無時間を過ごしました。自動で $2 < 3$ と変換してくれると嬉しいなあなんて。。（数式モードの半角スペースは基本的に無視されるので，変換のときに，不等号の左右に半角を1文字ずつ添えてあげることは出来るかも？）

後は，定理や補題の枠に関してですが，これは999%僕が悪い（tcolorboxで定理環境をつくっていたので，theorem環境を認識できていなかった）ので，まあしゃーないなーといった感じです。

投稿日：2020年11月8日