PIDだがEDでない例
この記事の目標
単項イデアル整域(PID)だがユークリッド整域(ED)でない例を見ていきそれに証明を与えます。なお，本記事では次のpdf（のもとになったTeX）に対してTeXインポートを使ってみました。そのpdfでは常体で記述していましたので，ですます調にはなっていません。ご容赦ください。
pided.pdf（GoogleDriveViewerが開きます。）
$\alpha=\bunsuu{1+\sqrt{-19}}{2}$とすると，$\mathbb Z[\alpha]$はEDではないがPIDである。
一応EDやPIDについて思い出しておく。
可換環$R$がユークリッド整域であるとは，次が成り立つこと。
- $R$は整域である。
- つぎの条件を満たす写像$d\colon R\to \mathbb Z_{\geq0}$が存在する。
① $a\in R$について，$d(a)=0\iff a=0$である。
② $a,b\in R,\ a\neq 0$とするとき，$b=aq+r,\ d(r)< d(a)$を満たす$q,r\in R$が存在する。
可換環$R$が単項イデアル整域であるとは，次の2つが成り立つこと。
- $R$は整域である。
- $R$のイデアルはすべて単項イデアルである。
証明は2段階に分かれる。
どんな写像$d\colon\mathbb Z[\alpha]\to\mathbb Z_{\geq0}$をとってきても，それはEDであることを保証しない。
$\mathbb Z[\alpha]$はPIDである。
なお証明のために，ノルム写像を定義しておく。
$k$を平方数でない整数とする。このときノルム写像$N\colon\mathbb Z[\tsqrt k]\to \mathbb Z$を次のように定義する。（$a,b\in\mathbb Z$）$$ N(a+b\tsqrt k)=a^2-kb^2 $$この時次の性質があることが分かっている。
- $N(x)N(y)=N(xy)$である。
- $a+b\alpha\in\mathbb Z[\alpha]$に対して，$$N(a+b\alpha)=\left(a+\bunsuu b2\right)^2+\bunsuu{19}{4}b^2$$
EDでないこと
まずはEDとはならないことを背理法で示す。即ち，ある写像$d\colon\mathbb Z[\alpha]\to\mathbb Z_{\geq0}$が存在して，それがEDであることを保証すると仮定して矛盾を導く。
そのための準備として，次の補題を示す。
$\mathbb Z[\alpha]$において単元は$\pm1$に限る。
$\mathbb Z[\alpha]$において $2$と$3$は既約元である。
まずは$\mathbb Z[\alpha]$において単元が$\pm1$しかないことを確認しよう。$a\in\mathbb Z[\alpha]$において，$a$が単元であるならば$N(a)=1$でなければならない。今，$a=x+y\alpha$とすると，$$N(a)=\left(x+\bunsuu y2\right)^2+\bunsuu{19}{4}y^2=1$$を満たすような$x,y$は，$(x,y)=\pm(1,0)$しか存在しない。これらが単元であることは容易に分かるから，$\mathbb Z[\alpha]$の単元は$\pm1$のみである。
次に，$2$と$3$が$\mathbb Z[\alpha]$上で既約であることを示す。
$2$について，$$ 2=(s+t\alpha)(u+v\alpha)\qquad (s,t,u,v\in\mathbb Z,\ (s,t)\neq(0,0),\ (u,v)\neq(0,0) ) $$と表せたとする。このとき$s+t\alpha$と$u+v\alpha$のいずれかが単元（即ち$\pm1$）であることを示せばよい。ノルムを考えることで，$$4=\left(\left(s+\bunsuu t2\right)^2+\bunsuu{19}4t^2\right)\left(\left(u+\bunsuu v2\right)^2+\bunsuu{19}4v^2\right)$$を得るが，$|t|\geq1$もしくは$|v|\geq1$ならば右辺は4より大きい値となるから，$t=v=0$となり，$2=su$となるから，$s$か$u$のいずれかが単数である。
$3$についてもほとんど同様に既約であることが確かめられる。$$3=(s+t\alpha)(u+v\alpha)\qquad (s,t,u,v\in\mathbb Z,\ (s,t)\neq(0,0),\ (u,v)\neq(0,0) )$$と表せたとする。この両辺のノルムを考えることで，$$9=\left((s+t)^2+\bunsuu{19}4t^2\right)\left((u+v)^2+\bunsuu{19}4v^2\right)$$を得るが，$|t|\geq1$かつ$|v|\geq1$ならば右辺は9より大きくなるから，$t=0$または$v=0$である。$t=v=0$ならば$3=su$より$s$か$u$のいずれかは単数となる。$t\neq0$ならば，$v=0$であり，$$9=\left(\left(s+\bunsuu t2\right)^2+\bunsuu{19}4t^2\right)\left(\left(u+\bunsuu v2\right)^2+\bunsuu{19}4v^2\right)$$より，$u$の可能性としては$|u|=1$しかありえない。これは$u+v\alpha=\pm1$であり，単数である。$|v|\neq0$としても同様である。
以上より，$2$と$3$が既約元であることが確認できた。$\blacksquare$
EDでないことの証明に戻る。任意の$a\in\mathbb Z[\alpha]\backslash\!\{0,\pm1\}$に対して$d(m)\leq d(a)$が成り立つような$m\in\mathbb Z[\alpha]\backslash\!\{0,\pm1\}$をとる。$2$と$m$に対して，$d$の性質よりある$q,r\in\mathbb Z[\alpha]$が存在して$$2=qm+r\quad\text{かつ，}\quad d(r)< d(m)$$となる$q,r$が存在する。$m$の定め方より，$r$の可能性としては$0,1,-1$の3通りに限られる。
$r=0$と仮定すると，$2=qm$となり，$2$は補題から既約元であり，$m$は単数ではないので$m=\pm2$に限る。
$r=-1$と仮定すると，$3=qm$となり，$3$も既約元だったので$m=\pm3$に限る。
$r=1$と仮定すると，$1=qm$となり$m$を単数としていないことに矛盾する。
よって$m$の可能性は$m=\pm2,\ \pm3$の4通りである。
また，$\alpha$と$m$についても同様のことをしよう。すなわち，$$\alpha=q'm+r'\quad\text{かつ，}\quad d(r')< d(m)$$となるような$q',r'$が存在するが，先と同様に$r'=0,1,-1$のいずれかに限る。このとき，$\alpha, \alpha+1, \alpha-1$のいずれかは$m$で割り切れることになるが，$m=\pm2,\pm3$のいずれを代入しても$\alpha,\ \alpha+1,\ \alpha-1$のどれかを割り切ることはない。これは，$d$をEDであることを保証する写像としたことに矛盾する。
PIDであること
次に，$\mathbb Z[\alpha]$がPIDであることを示そう。$\{0\}$でない任意のイデアル$I$をとり，それが単項イデアルであることを示せばよい。
$I$の元で$0$ではなく，複素数の絶対値が最小であるものを$b$とする。この$b$を用いて$I=(b)$と表されることを示すのが目標である。
そう表せないと仮定して矛盾を導く。すなわち，$(b)\neq I$と仮定する。このとき，ある元$a\in I\backslash(b)$がとれる。この$a$について，$\bunsuu ab=x+iy$としたときに$-\bunsuu{\sqrt{19}}4\leq y\leq-\bunsuu{\sqrt{19}}4$が成り立つと仮定してよい。実際，$a'=a-bq\ (q\in \mathbb Z[\alpha])$としたときに$\bunsuu {a'}b=x'+iy'$を考えると，$\bunsuu {a'}b=\bunsuu ab-q$なので，$q$を適切に選ぶことで$y'$の範囲を$-\bunsuu{\sqrt{19}}4\leq y'\leq\bunsuu{\sqrt{19}}4$とできるからである。
$\bunsuu ab$の虚部$y$の値によって，3つの場合に分ける。
$-\bunsuu{\sqrt3}2< y< \bunsuu{\sqrt3}2$のとき，ある整数$k$が存在して，$|x-k|\leq\bunsuu12$が成り立つことから，この$k$を用いて$|(x-k)+iy|< 1$となる。従って$$\zettaiti{\bunsuu ab-k}< 1$$であり，これより$$0\leq\zettaiti{a-bk}< |b|$$かつ$a-bk\in I$だから，$b$の定め方から$|a-bk|=0$が従う。このとき$a=bk\in (b)$となり，$a\not\in (b)$としていることに矛盾する。
$\bunsuu{\sqrt3}2\leq y\leq \bunsuu{\sqrt{19}}4$のとき，$\bunsuu {2a}b-\alpha$の虚部は$\sqrt3-\bunsuu{\sqrt{19}}{2}$以上$0$以下となる。特に，$\zettaiti{\sqrt3-\bunsuu{\sqrt{19}}{2}}<\bunsuu{\sqrt{3}}2$が成り立つことから，1.と同様にある$k\in\mathbb Z$が存在して$$\zettaiti{\bunsuu{2a}b-k-\alpha}<1\quad \mathrm{i.e.} \quad\zettaiti{2a-bk-b\alpha}<|b|$$となる。また，$a\not\in (b)$ならば，$a'\colon\! = a+bk\not\in (b)$だから，$$|2a'-b\alpha|<|b|$$となり，$b$の定め方より$2a'-b\alpha=0$が成り立つことが必要である。このとき，$$a'\cdot\left(\bunsuu{1-\sqrt{-19}}2\right)-2b\in I$$という複素数の元の絶対値を計算すると$\bunsuu12|b|$となる。これは，$b$の取り方に矛盾する。
$-\bunsuu{\sqrt{19}}4\leq y\leq-\bunsuu{\sqrt3}2$のとき，2と同様に$\bunsuu{2a}b+\alpha$の虚部が0以上$\bunsuu{\sqrt{19}}2-\sqrt3$になることで矛盾が生じる。
1，2，3より，$I\neq(b)$としたことに矛盾する。よって，$I=(b)$であり，$\mathbb Z[\alpha]$はPIDである。
まとめ
PIDだがEDでない例について見ていきました。個人的には，$\mathbb Z[\alpha]$というのはどことなく$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$と雰囲気が似ている（$|\alpha|^2=|\sqrt{-5}|^2=5$）のに，EDかどうか変わってしまうのが面白いなあと思っています。ここまで見ていただきありがとうございました。
おまけ：TeXインポートを使ってみた感想
（執筆現在はβ版です。）粗方元のPDFと同様の出力を得ました。凄い技術だと思いました。大変ありがたいのですが，すこーし気になったこと，修正したことをまとめておきます。
自分はTeXで不等式を入力するときに，空白を全く空けずに$2<3$などと書いていたため，今回はそれら不等号の間に空白を入れる虚無時間を過ごしました。自動で$2 < 3$と変換してくれると嬉しいなあなんて。。（数式モードの半角スペースは基本的に無視されるので，変換のときに，不等号の左右に半角を1文字ずつ添えてあげることは出来るかも？）
後は，定理や補題の枠に関してですが，これは999%僕が悪い（tcolorboxで定理環境をつくっていたので，theorem環境を認識できていなかった）ので，まあしゃーないなーといった感じです。