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否定論理積(NAND)の完全性 (二元体上の写像)

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2元集合上の二項演算

01とし, 二元集合B:={0,1}上に,演算(+,  )を次のように定める. {0+0:=0,0+1:=1,1+0:=1,1+1:=000:=0,01:=0,10:=0,11:=1

集合Bは, 演算(+,  )によって可換環になり, 更には体(Field)になる.

B上の任意の元xに対して以下が成立する. x2:=xx=xx+x=0

x=0,1の場合をそれぞれ考えればよい.

否定論理積(NAND)

B上の演算f:B×BBを以下のように定める.
f(x,y):=1+xy

否定論理積の完全性

B上の任意の写像, つまりm,nを任意の自然数とし, 写像BmBnは, 写像fのみを用いて表すことができる. このような性質を持つfを完全的という.

数学的帰納法を用いて示す. 終域はBのもののみを考えれば十分で,終域が複数のBで構成されている, すなわちBmのようになっている場合は,これから構成するFnk(xn)kをそれぞれ適当に選べばよい.

(i) 1変数の写像BBについて.
1変数の写像で考えられるものは以下の4つ, g1(x),,g4(x)であり, $$\begin{align}
g_1(0)=0,\ & g_1(1)=0
\
g_2(0)=1,\ & g_2(1)=0
\
g_3(0)=0,\ & g_3(1)=1
\
g_4(0)=1,\ & g_4(1)=1\end{align}$xB$.\begin{align}
g_1(x) & =0
\
g_2(x) & =1+x
\
g_3(x) & =x
\
g_4(x) & =1\end{align}4$f$$xB$.\begin{align}
g_1(x) & ={f {\left( {f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}},{f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}} \right)}}
\
g_2(x) & =f(x,x)
\
g_3(x) & ={f {\left( {f {\left( x,x \right)}},{f {\left( x,x \right)}} \right)}}
\
g_4(x) & ={f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}}\end{align}$$これが実際にg1,,g4の多項式を与えることは計算すれば確かめられる.
例えば, f(x,x)=1+xx=1+x=g2(x)であることが確かめられるし,g1については, $$\begin{align}
& {f {\left( {f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}},{f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}} \right)}}
\
& ={f {\left( {f {\left( 1+x,x \right)}},{f {\left( 1+x,x \right)}} \right)}}
\
& ={f {\left( 1+{\left( 1+x \right)}x,1+{\left( 1+x \right)}x \right)}}
\
& ={f {\left( 1,1 \right)}}
\
& =1+1\cdot1
\
& =0
\
& =g_1(x)\end{align}$$ となる. (g3,g4についても同様.)
よって, 1変数の写像は確かにfのみで表すことができる.

(ii) nを自然数とし, n変数の写像BnBfのみで表せると仮定する.
このとき, 始域の元の組として考えられるものは2n通り,各n個の組に対して, 終域の元として考えられるものは2通りあるから,相異なる写像は22n個存在することがわかる.n変数の写像を1i22n, xnBnとして,Fni(xn)と表すことにする.

(iii) n+1変数の写像Bn+1Bについて.
簡単のために, 以下の2つの写像をfを用いて定義しておく.
$$\begin{align}
& {h_1 {\left( x,y \right)}}
\
& \coloneqq
{f {\left( {f {\left(
{f {\left( x,y \right)}},{f {\left(
{f {\left( x,x \right)}}
,{f {\left( y,y \right)}}
\right)}}
\right)}}
,{f {\left(
{f {\left( x,y \right)}},{f {\left(
{f {\left( x,x \right)}},{f {\left( y,y \right)}}
\right)}}
\right)}}
\right)}}
\
& = x+y\end{align}\begin{align}
{h_2 {\left( x,y \right)}}
\coloneqq {f {\left( {f {\left( x,y \right)}},{f {\left( x,y \right)}} \right)}}=xy\end{align}$$(それぞれ排他的論理和, 論理積という.)
始域の元は,${\left( \bm{x}n,x{n+1} \right)}\in B^{n+1}$と表すことができる.
Bn+1Bの写像のひとつ, ${F^k_{n+1} {\left( \bm{x}n,x{n+1} \right)}}(,1\leq k\leq 2^{2(n+1)}),1\leq i,\ j\leq 2^{2n}$\begin{align}
{F^k_{n+1} {\left( \bm{x}n,x{n+1} \right)}}\coloneqq & {h_1 {\left( {h_2 {\left( {F^i_n {\left( \bm{x}n \right)}},x{n+1} \right)}},{h_2 {\left( {F^j_n {\left( \bm{x}n \right)}},{f {\left( {x{n+1},x_{n+1}} \right)}} \right)}} \right)}}
\
=&{F^i_n {\left( \bm{x}n \right)}}\cdot x{n+1} + {F^i_n {\left( \bm{x}n \right)}}\cdot {\left( 1+x{n+1} \right)}\end{align}$$と定める.n+1変数写像の第n+1変数xn+1として考えられるのはxn+1=0,1のみである.

  1. xn+1=0のとき Fn+1k(xn,0)=Fnj(xn)ここで,左辺は第n+1変数を固定しているのでn変数写像になっており,また, 右辺は(ii)の仮定から適当なjが存在して,任意のxnに対してこの等号を成立させる.

  2. xn+1=1のとき Fn+1k(xn,1)=Fni(xn)こちらも, 左辺はn変数写像なので, 仮定(ii)により,適当なiが存在して,任意のxnに対してこの等号を成立させる.

これによって,任意の(xn,xn+1)Bn+1に対し,Fn+1k(xn,xn+1)01も取れる.

数学的帰納法により, 任意のn変数写像BnBは, fのみで表すことができることが示された.

補足

B上の2変数写像B2B(22)2=16種類ある. その中にはf(x,y)0もあるので, どんな写像でも完全性を持つわけではない.
証明で用いたように, h1(x,y)=x+yh2(x,y)=xyh3(x)=1+x この3つの写像が作れれば,B上の任意のn変数の写像が構成できるし, 逆にこれらが作れないと任意の写像が作れたことにならないので, これら3つの写像が作れることと完全性は同値.

投稿日:2020118
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