集合
数学的帰納法を用いて示す. 終域は
1変数の写像で考えられるものは以下の
g_1(0)=0,\ & g_1(1)=0
\
g_2(0)=1,\ & g_2(1)=0
\
g_3(0)=0,\ & g_3(1)=1
\
g_4(0)=1,\ & g_4(1)=1\end{align}
g_1(x) & =0
\
g_2(x) & =1+x
\
g_3(x) & =x
\
g_4(x) & =1\end{align}
g_1(x) & ={f {\left( {f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}},{f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}} \right)}}
\
g_2(x) & =f(x,x)
\
g_3(x) & ={f {\left( {f {\left( x,x \right)}},{f {\left( x,x \right)}} \right)}}
\
g_4(x) & ={f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}}\end{align}$$これが実際に
例えば,
& {f {\left( {f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}},{f {\left( {f {\left( x,x \right)}},x \right)}} \right)}}
\
& ={f {\left( {f {\left( 1+x,x \right)}},{f {\left( 1+x,x \right)}} \right)}}
\
& ={f {\left( 1+{\left( 1+x \right)}x,1+{\left( 1+x \right)}x \right)}}
\
& ={f {\left( 1,1 \right)}}
\
& =1+1\cdot1
\
& =0
\
& =g_1(x)\end{align}$$ となる. (
よって, 1変数の写像は確かに
このとき, 始域の元の組として考えられるものは
(
簡単のために, 以下の2つの写像を
$$\begin{align}
& {h_1 {\left( x,y \right)}}
\
& \coloneqq
{f {\left( {f {\left(
{f {\left( x,y \right)}},{f {\left(
{f {\left( x,x \right)}}
,{f {\left( y,y \right)}}
\right)}}
\right)}}
,{f {\left(
{f {\left( x,y \right)}},{f {\left(
{f {\left( x,x \right)}},{f {\left( y,y \right)}}
\right)}}
\right)}}
\right)}}
\
& = x+y\end{align}
{h_2 {\left( x,y \right)}}
\coloneqq {f {\left( {f {\left( x,y \right)}},{f {\left( x,y \right)}} \right)}}=xy\end{align}$$(それぞれ排他的論理和, 論理積という.)
始域の元は,${\left( \bm{x}n,x{n+1} \right)}\in B^{n+1}$と表すことができる.
{F^k_{n+1} {\left( \bm{x}n,x{n+1} \right)}}\coloneqq & {h_1 {\left( {h_2 {\left( {F^i_n {\left( \bm{x}n \right)}},x{n+1} \right)}},{h_2 {\left( {F^j_n {\left( \bm{x}n \right)}},{f {\left( {x{n+1},x_{n+1}} \right)}} \right)}} \right)}}
\
=&{F^i_n {\left( \bm{x}n \right)}}\cdot x{n+1} + {F^i_n {\left( \bm{x}n \right)}}\cdot {\left( 1+x{n+1} \right)}\end{align}$$と定める.
これによって,任意の
数学的帰納法により, 任意の
証明で用いたように,