【パープルカテゴリー】加法的圏における余像と像の同型射
この記事ではパープルカテゴリーのMVに出てきた加法的圏における余像と像の関係性について，圏の定義から順に説明します．
圏$\mathcal{C}$は以下のデータからなる:
- 対象の集合 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$,
- 任意の対象$A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$に対して射の集合 $\mathrm{Hom}(A,B)$,
さらに任意の対象$A,B,C \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$に対して射の結合を定める写像
$$
\begin{array}{ccc}
\mathrm{Hom}(A,B) \times \mathrm{Hom}(B,C) & \to & \mathrm{Hom}(A,C)\\
(f, g) &\mapsto & g\circ f
\end{array}
$$
が存在し，以下を満たす:
- $f \in \mathrm{Hom}(A,B), g \in \mathrm{Hom}(B,C), h \in \mathrm{Hom}(C,D)$のとき，$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$,
- 任意の対象$A\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$に対し恒等射$1_A\in \mathrm{Hom}(A,A)$が存在し，任意の対象$B,C\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$と任意の射$f \in \mathrm{Hom}(A,B), g\in \mathrm{Hom}(C,A)$に対して$f \circ 1_A = f, 1_A \circ g = g$．
圏は数学における様々な構造を射と対象のみを用いて一般的に記述するためのツールです．非常に抽象度が高くそれ自体に恣意的な意味を見出すことが困難であることから，圏論には アブストラクト・ナンセンス(abstract nonsence) という哲学が存在します．
- 群を対象とし，群準同型写像を射とするとこれは圏をなす．この圏を$\mathfrak{Grp}$と表す．
- 環を対象とし，環準同型写像を射とするとこれは圏をなす．この圏を$\mathfrak{Ring}$と表す．
- ある環$A$に対し$A$-加群を対象とし，$A$-線形写像を射とするとこれは圏をなす．この圏を$\mathfrak{Mod}$と表す．
- 位相空間を対象とし，連続写像を射とするとこれは圏をなす．この圏を$\mathfrak{Top}$と表す．
具体的な圏はこの他にもたくさん例があげられます．古典的にはこれらはそれぞれ別の分野として研究されてきましたが，圏論を用いることである程度議論を統一することができます．
圏$C$の射$u:A\to B$が任意の2つの射$v_1, v_2: C \to A$に対して
$$
u \circ v_1 = u \circ v_2 \Rightarrow v_1 = v_2
$$
が成り立つとき，$u$は単射であるという．
また，2つの射$w_1, w_2: B \to C$に対して
$$
w_1 \circ u = w_2 \circ u \Rightarrow w_1 = w_2
$$
が成り立つとき，$u$は全射であるという．
また，単射でも全射でもある射を全単射という．
先述の通り圏論は射と対象のみを用いて議論するため，実際に対象の元を取って概念を導入することはせず，あくまで写像の条件のみを用いて議論します．
上記の定義における全射・単射は具体的な圏(群の圏や環の圏)においては集合論的な全射・単射と殆どの場合一致します．
例として群の圏$\mathfrak{Grp}$を考えます．$f:G\to H$を群準同型とすると，単射の定義は
$$
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
$$
となります．簡単のためこれと等価な条件として
$$
\Ker f = 0
$$
を用いることにします．すると，任意の群$G'$と群準同型$g_1, g_2: G' \to G$に対して$f \circ g_1 = f\circ g_2$を仮定すると
$$
\begin{align}
& f \circ g_1 = f \circ g_2 \\
\Rightarrow\ & f(g_1(x)) - f (g_2(x)) = 0 \quad \mathrm{for\ any\ } x \in G'\\
\Rightarrow\ & f(g_1(x) - g_2(x)) = 0 \quad(\because f: \mathrm{group\ hom})\\
\Rightarrow\ & g_1(x) - g_2(x) = 0 \quad(\because f: \mathrm{injective})\\
\Rightarrow\ & g_1(x) = g_2(x)\quad \mathrm{for\ any\ } x \in G'\\
\end{align}
$$
となるので$g_1 = g_2$が成り立ちます．よって圏論的にも単射であることが示せました．
$u: A\to B$に対してある$v: B\to A$が存在して，$u \circ v = 1_B$($B$から$B$への恒等写像)，$v \circ u = 1_A$となるとき，$v$を$u$の逆射という．このような逆射を持つ$u$を同型射といい，$A$と$B$は同型であるという．
2つの単射$f: A \to B, f': A' \to B$について$g: A \to A', g': A' \to A$が存在して
$$
f = f' \circ g,\ f' = f \circ g'
$$
が成り立つとき，$f$と$f'$は同値であるという．同様に，2つの全射$f: A \to B, f': A \to B'$について$g: B' \to B, g': B \to B'$が存在して
$$
f = g \circ f',\ f' = g' \circ f
$$
が成り立つとき，$f$と$f'$は同値であるという．
$A_1, A_2 \in \catc$に対し次の性質を満たす組$(A, p_1, p_2)$を$A_1$と$A_2$の直積といい，$A_1 \times A_2$と表す:
- $p_1:A \to A_1, p_2: A \to A_2$という射が存在する,
- 任意の射 $q_1:B \to A_1, q_2: B \to A_2$に対して以下の図式を可換にする射$\varphi: B\to A$が一意に存在する:
$$ \begin{xy} \xymatrix{ B \ar[r]^{q_1} \ar[rd]^{\varphi} \ar[d]_{q_2}& A_1\\ A_2 & A \ar[l]_{p_2} \ar[u]_{p_1} } \end{xy} $$
また，これらの射の向きを逆に変えたものを$A_1$と$A_2$の直和といい，$A_1 \oplus A_2$と表す．
$\catc$が以下を満たすとき加法的圏という:
任意の$A, B \in \ob(\catc)$に対し$\Hom(A,B)$がアーベル群になり，$u, u_1, u_2 \in \Hom(A,B), v, v_1, v_2 \in \Hom(B,C)$に対し
$$ \begin{align} (v_1 + v_2) \circ u &= v_1 \circ u + v_2 \circ u\\ v \circ (u_1 + u_2) &= v \circ u_1 + v \circ u_2,\\ \end{align} $$任意の$A, B \in \ob(\catc)$に対し直積$A\times B$，直和$A \oplus B$が存在する,
零対象$0$が存在し，$1_0 = 0$(零写像)となる．
説明を省いて一気に定義をさらいました．これらは次の命題に用いる概念です．
加法的圏$\catc$の射$f : A\to B$に対し次の性質を満たす組$(A', i)$を$f$の核といい$\Ker f$と表す:
- $i: A' \to A$は単射,
- $f \circ i = 0$,
- $f \circ g = 0$なる任意の$g: C\to A$に対し$g': C \to A'$が存在し，$g = i \circ g'$となる．
同様に，加法的圏$\catc$の射$f : A\to B$に対し次の性質を満たす組$(p, B')$を$f$の余核といい$\Coker f$と表す:
- $p: B \to B'$は全射,
- $p \circ f = 0$,
- $g \circ f = 0$なる任意の$g: B\to C$に対し$g': B' \to C$が存在し，$g = g' \circ p$となる．
また，$\Ker(\Coker f)$を$f$の像といい$\Im f$と表す．さらに$\Coker (\Ker f)$を$f$の余像といい$\Coim f$と表す．これらは同値を除いて一意的である．
加法的圏$\catc$の射$u: A\to B$に対して$(\Im u, i)$と$(p, \Coim u)$が存在するとき，$u = i \circ \overline{u} \circ p$となる
$$
\overline{u}: \Coim u \to \Im u
$$
が一意的に存在する．
射$u :A\to B$に対して図式
$$
\begin{xy}
\xymatrix{
\Ker u \ar[r]^{j}& A \ar[r]^{u} \ar[d]_{p} & B\\
& \Coim u&
}
\end{xy}
$$
において$\Ker u $の定義から$u\circ j = 0$であるので余核の定義から
$$
\begin{xy}
\xymatrix{
\Ker u \ar[r]^{j}& A \ar[r]^{u} \ar[d]_{p} & B\\
& \Coim u \ar[ru]^{u'}&
}
\end{xy}
$$
$u = u' \circ p$なる$u': \Coim u \to B$が一意的に存在する．さらに
$$
\begin{xy}
\xymatrix{
\Ker u \ar[r]^{j}& A \ar[r]^{u} \ar[d]_{p} & B \ar[r]^{q}& \Coker u\\
& \Coim u \ar[ru]^{u'} & &
}
\end{xy}
$$
において，余核の定義から$q \circ u = q \circ u' \circ p = 0$となるが，$p$は全射なので($0 = 0 \circ p$と見て)$q\circ u' = 0$となる．したがって$\Im u$の定義から
$$
\begin{xy}
\xymatrix{
\Ker u \ar[r]^{j}& A \ar[r]^{u} \ar[d]_{p} & B \ar[r]^{q}& \Coker u\\
& \Coim u \ar[ru]^{u'} \ar[r]_{\overline{u}}& \Im u \ar[u]_{i}&
}
\end{xy}
$$
$u' = \overline{u} \circ i$なる$\overline{u}: \Coim u \to \Im u$が一意的に存在する．これはちょうど$u = i\circ\overline{u}\circ p$を満たす．$\square$
圏$\catc$が以下の条件を満たすときアーベル圏であるという:
- $\catc$は加法的圏である，
- 任意の射$u: A\to B$に対して$\Ker u, \Coker u$が存在する,
- 任意の射$u: A\to B$に対して上記命題の$\Coim u \to \Im u$は同型となる．
アーベル圏は非常によい性質を持った圏であり，代数幾何学ではこの上のコホモロジーを調べることで様々な性質が分かるようです．
例えば$\mathfrak{Grp}$はアーベル圏であり，定義における$\Coim u \to \Im u$の同型はまさしく第一同型定理(準同型定理や同型定理とも呼ばれる)のことです．
$\varphi:A\to B$を環準同型とすると，以下の環の同型が存在する:
$$
A/\Ker \varphi \cong \Im \varphi.
$$
$\Ker \varphi$は$A$のイデアルである．$\pi: A \to A /\Ker\varphi$を標準射影とする．
$$
\begin{xy}
\xymatrix{
A \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\pi} & B\\
A /\Ker\varphi &
}
\end{xy}
$$
ここで，$\overline{\varphi}: A/\Ker \varphi \to B$を
$$
\begin{array}{cccc}
\overline{\varphi}: & A/\Ker & \varphi & \to B \\
& \overline{x} & \mapsto & \varphi(x)
\end{array}
$$
とすると，これは同値類によらずwell-definedに定まる．実際，$\overline{x} = \overline{y} \in A /\Ker\varphi$とすると
$$
\begin{align}
& \overline{x} = \overline{y} \\
\Rightarrow\ & \overline{x} - \overline{y} = 0 \in A /\Ker\varphi \\
\Rightarrow\ & x - y \in \Ker\varphi
\end{align}
$$
となるが，一方で
$$
\begin{align}
& \overline{\varphi}(\overline{x}) - \overline{\varphi}(\overline{y})\\
= & \varphi(x) - \varphi(y)\\
= & \varphi(x - y) = 0
\end{align}
$$
となるので$\varphi(x) = \varphi(y) \in B$となりwell-definedである．
$\overline{\varphi}$の値域は$\varphi$の値域に等しいので$B$の部分環である$\Im \varphi$に値域を制限して良い．
$$ \begin{xy} \xymatrix{ A \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\pi} & \Im \varphi \subset B\\ A /\Ker\varphi \ar[ru]_{\overline{\varphi}}& } \end{xy} $$
$\overline{\varphi}$は値域を$\Im \varphi$に制限したので明らかに全射である．また，$\overline{x} \in \Ker \overline{\varphi}$とすると
$$\overline{\varphi}(\overline{x}) = \varphi(x) = 0$$
より$x\in \Ker\varphi$となるので$\overline{x} = 0 \in A/\Ker\varphi$である．よって$\Ker\overline{\varphi} = 0$となり$\overline{\varphi}$は単射である．
よって$\overline{\varphi}$は同型写像となる．$\square$
このように，具体圏では元を動かして集合論的に証明していたのを，その構造によらず抽象的に考えられるようにしよう！というのが圏論のマインドです．
このように今まで具体的なものを通して考えていたことが圏論を使うと抽象的に示せるんだ！ということに感激してこの曲を作りました．
この面白さが沢山の人に届くと私は嬉しいです．ここまで読んでいただきありがとうございました．