二項係数と極限の問題

誰が解いてくれるのか知りませんが（誰も取り組んでくれないでしょうが）、問題を置いておきます。暇つぶしにいかが？${}_n{\mathrm{C}}_k$は二項係数です。

なんか面白い解法出してくれる人いないですかね。あ、ちなみに高校数学で解くことも不可能ではないはずですが、相当厳しいと思います。そういえばこれ出題したからには解説しなきゃいけないんでしょうかね。まあ、ぼちぼちやります。