大学数学基礎解説

1次元形式群の紹介

可換環論,形式群

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この記事の目標

この記事では，可換環 $R$ 上の“1次元形式群”を定義し，そのモチベーションやいくつかの例を見ていきます。以下の用語を使います。

$R$ は $1$ を持つ可換環である。
$R [T]$ は $R$ 係数の多項式環である。
$R [[T]]$ は $R$ 係数の形式冪級数環である。例えば $e^{T} \in Q [[T]]$ である。
多項式環や形式冪級数環は，多変数でも同様の記号を用いる。

1次元形式群とは

早速ですが定義します。

1次元形式群

$R$ 上の 1次元形式群( $one-parameter formal group$ ) $F$ とは，次の4つを満たす形式冪級数 $F (X, Y) \in R [[X, Y]]$ のことである。

$F (X, Y) = X + Y + （ 2 次以上の項）$ と書ける。
$F (X, F (Y, Z)) = F (F (X, Y), Z)$ が成り立つ。（結合律）
ある級数 $i (T) \in R [[T]]$ が一意に存在して， $i (0) = 0$ かつ $F (T, i (T)) = 0$ を満たす。（“逆”関数）
$F (X, 0) = X$ ， $F (0, Y) = Y$ である。

さらに $F (X, Y) = F (Y, X)$ が成り立つとき，その形式群は可換であると言う。

ちなみに $i (T)$ の $i$ は， $inverse$ から来ています。

“形式群”と言う名前について

形式群とはあくまでも冪級数のことを指しており，群ではないことに気を付けたいです。とはいえ，“結合律”や“逆元”が存在することについては，なにか群のようなお気持ちを感じます。

形式群に付随する群というものを考えることができます。 $R$ が局所環でその唯一の極大イデアルを $M$ としたときに， $M$ 上の演算として $(X, Y) \mapsto F (X, Y)$ を考える群です。 $well-defined$ 性が非自明ですね。

形式群の公理は半分で良い

形式群 $F$ の公理について，実は1.と2.を認めれば自動的に3.と4.が従います。そのため上2つだけを公理としても良かったのですが，結構特異な性質なので定義の中に入れてしまいました。

ちなみに1.と2.を認めれば自動的に3.と4.が成り立つことを示すには，2変数の形式冪級数に対して，形式的陰関数定理が成り立つことを用います。

形式群の例

可換なもの

最も簡単な形式群です。

加法群

加法群 ${\hat{G}}_{a}$ とは， $F (X, Y) = X + Y$ のこと。 $i (T) = - T$ である。

次に簡単な形式群です。

乗法群

乗法群 ${\hat{G}}_{m}$ とは， $F (X, Y) = X + Y + X Y$ のこと。 $i (T) = \frac{- T}{1 + T} = - T (1 - T + T^{2} - T^{3} + \dots)$ である。

次の例はちょっと非自明ですので，計算して確かめましょう。

\tan

関数に付随する形式群

$\tan$ 関数に付随する形式群 $F_{\tan}$ とは， $F (X, Y) = \frac{X + Y}{1 - X Y} = (X + Y) (1 + X Y + X^{2} Y^{2} + \dots)$ であり，これは実際に形式群の公理を満たす。

雰囲気 $\tan$ 関数の加法定理に似ていますね。同様に $\sin$ 関数に付随する形式群を考えることも可能です。

形式群の公理のうち，1.，3.を満たすことは明らか。結合律については，
$\begin{aligned} F (X, F (Y, Z)) & = F (X, \frac{Y + Z}{1 - Y Z}) = \frac{X + \frac{Y + Z}{1 - Y Z}}{1 - X \frac{Y + Z}{1 - Y Z}} \\ = \frac{X + Y + Z - X Y Z}{1 - X Y - Y Z - X Z}, \\ F (F (X, Y), Z) & = F (\frac{X + Y}{1 - X Y}, Z) = \frac{\frac{X + Y}{1 - X Y} + Z}{1 - \frac{X + Y}{1 - X Y} Z} \\ = \frac{X + Y + Z - X Y Z}{1 - X Y - Y Z - X Z} . \\ ∴ F (X, F (Y, Z)) & = F (F (X, Y), Z) \end{aligned}$ より結合律も成り立つ。 $i (T)$ については， $i (T) = - T$ とすれば， $F (T, i (T)) = \frac{T - T}{1 + T^{2}} = 0$ である。よって形式群の公理を満たす。

非可換なもの

ここまで３つの例を挙げてきましたが，いずれも可換な形式群です。例えば $R$ が整域ならば， $R$ 上で定義されるすべての形式群は可換です。特に次が成り立ちます。

整域上の形式群

$R$ を整域とする。 $R$ 上で定義される形式群 $F$ について，ある定数 $c \in R$ が存在して， $F (X, Y) = X + Y + c X Y$ と書ける。

次数の比較

$F$ の， $X$ の次数を $d$ とする。等式 $F (X, F (Y, Z)) = F (F (X, Y), Z)$ の $X$ の次数を比較することで， $d^{2} = d$ を得る。したがって $d = 1$ である。 $Y$ についても同様なので， $F$ は $X$ に関しても $Y$ に関しても1次式である。

では，非可換な形式群は存在するのでしょうか？という疑問が自然に出てきます。この疑問の答えはYes!です。

次の定理が成り立ちます。

Serre,1967

$R$ を可換環とする。 $R$ 上の1次元形式群 $F$ で非可換なものが存在するための必要十分条件は，ある $ε \in R / {0}$ が存在して，ある正の整数 $m, n$ が存在して $m ε = ε^{n} = 0$ を満たすことである。

この定理における $ε$ のことは， $torsion nilpotent element$ と呼ぶみたいです。邦訳は知りません。

というわけで，非可換な形式群の例を1つ紹介します。

1次元非可換形式群

$p \in N$ を素数として， $R = F_{p} [ε] / (ε^{2})$ とおく。 $R$ 上の形式群 $F$ を $F (X, Y) = X + Y + ε X Y^{p}$ によって定めれば， $F$ は非可換形式群である。

形式群の公理を確かめる

非可換であること，公理の1番目を満たすことは明らかである。あとは結合律だけ示せばよい。 $p \geq 2$ より， $ε^{2} = ε^{p} = 0$ に注意して，
$\begin{aligned} F (X, F (Y, Z)) & = X + F (Y, Z) + ε X (F (Y, Z))^{p} \\ = X + (Y + Z + ε Y Z^{p}) + ε X (Y^{p} + Z^{p}) \\ = X + Y + Z + ε (X Y^{p} + X Z^{p} + Y Z^{p}), \\ F (F (X, Y), Z) & = F (X, Y) + Z + ε F (X, Y) Z^{p} \\ = (X + Y + ε X Y^{p}) + Z + ε (X + Y + ε X Y^{p}) Z^{p} \\ = X + Y + Z + ε (X Y^{p} + X Z^{p} + Y Z^{p}) . \end{aligned}$ よって $F (X, F (Y, Z)) = F (F (X, Y), Z)$ が成り立つ。

形式群を考えるモチベーション

歴史的には形式群は，リー代数の考察の中で導入されたものです。
形式群は，大雑把に言うとリー群の積の演算のようにふるまっている冪級数です。リー群から形式群を定義し，その形式群からリー代数を定義することが出来ます。

また，楕円曲線の研究にも使われてきました。“楕円曲線に付随する形式群”を考えることができ，その性質（特に“ $m$ 倍写像”のふるまい）を見ていくことで，Mordell-Weilの定理という，楕円曲線論にとってはかなり強力な定理を示すことが出来ます。

また，形式群自体の研究もそれなりに盛んです。例えば形式群の理論の中に本田理論があります。そこでは，代数体の整数環上で定義された形式群が，ほとんど分類できてしまうという結果を得ることが出来ます。数論との結びつきも深いですね。

まとめ

今回は，形式群の定義とその例について見ていきました。 $R$ を整域とか，完備とか，離散付置環とか，さまざまな制約を付けていくと，さらにいろいろなことが分かってきます。いつか読者の皆様と共有できたらいいですね。

ここまでお読みいただきありがとうございます。

参考文献

M. Hazewinkel. Formal groups and applications, volume 78 of Pure and Applied Mathematics. Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1978.
Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves 2nd Edition (Graduate Texts in Mathematics (106)), 2009.

投稿日：2020年11月9日