二年生の夢（sophomore's dream）とその証明

　初めまして。今回は、積分と級数に関する公式「二年生の夢（sophomore's dream）」を紹介しようと思います。
まず、「二年生の夢」とは

という等式です。ヨハン・ベルヌーイが発見したそうです。これを証明するために、次の補題を示します。

$logx=s$と置換すると

（左辺）${\displaystyle ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{sn}\times s^n\times e^{s}ds}$
${\displaystyle ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{s(s+1)}{s}^{n}ds}$

また、$-s(n+1)=t$と置換すると

（左辺）${\displaystyle =\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{n}dt=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}n!}$

最後の変形で、ガンマ関数の定義を用いました。これで証明できました。

　いよいよ本題です。まず一つ目の等式を証明します。途中で$e^x$のマクローリン展開

${\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}}$

を利用します。被積分関数は

${\displaystyle \frac{1}{x^x}=x^{-x}=e^{-xlogx}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-xlogx{)}^n}{n!}}$

と変形できるので、積分と極限を入れ替えると

（左辺）${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\int }_0^1{x}^n(logx{)}^{n}dx}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\times \frac{(-1{)}^{n}n!}{(n+1{)}^{n+1}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^n}}$

これで証明できました。次に、二つ目の等式を示します。やることは同じです。被積分関数は

${\displaystyle x^x=e^{xlogx}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(xlogx{)}^n}{n!}}$

ですから、左辺は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\int }_0^1{x}^n(logx{)}^{n}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^n}}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{2n-1}}{(-n{)}^n}}$（分母分子にそれぞれ$(-1{)}^n$をかけて）

${\displaystyle =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}}$

と証明できます。

余談ですが、「一年生の夢（freshman's dream）」という式があります。ただし
$(x+y{)}^n=x^n+y^n$
という間違った式なので注意が必要です。

ここまで読んでくださってありがとうございました。