級数の問題解説01

Twitterで一般公開されている積分や級数の問題の解説もぼちぼちしていこうと思います．
　dtさん（Twitter：@dt_want_to_dt）さんが2020/11/3に公開した級数の問題です．
https://twitter.com/dt_want_to_dt/status/1323620666386513920

［解説］

$$ \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta(2n+2)}{16^n} &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{16^n}\frac{1}{\Gamma(2n+2)}\int_0^\infty \frac{t^{2n+1}}{e^t-1}dt \\ &=&\int_0^\infty \frac{4}{e^t-1}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{t}{4}\right)^{2n+1}\frac{1}{(2n+1)!}dt \\ &=&4\int_0^\infty \frac{\sinh \left(\frac{t}{4}\right)}{e^t-1}dt \\ &=&16\int_0^\infty \frac{\sinh t}{e^{4t}-1}dt \\ &=&8\int_0^\infty \frac{e^t-e^{-t}}{e^{4t}-1}dt \\ &=&8\int_0^\infty \frac{1}{e^t(e^{2t}+1)}dt \\ &=&8\int_1^\infty \frac{1}{x^2(x^2+1)}dx \qquad〈x=e^t〉\\ &=&8\left(\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx-\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}dx \right) \\ &=&8\left(\left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty -\left[\arctan x\right]_1^\infty \right) \\ &=&8-2\pi \end{eqnarray} $$

こんな感じに求まります．$\zeta$関数が出てきても脳死で積分表示に直せば上手くいくんですね．（$\zeta$関数の上手い扱いができないだけ...）