こんにちは。最近、数論について勉強し始めたので、それを纏めようと思います。間違っている箇所があればご指摘下さい。
有理整数環
を考えます。
なお、可換環
(1).
(2).
整数でいう倍数みたいなものだと、僕は認識しています。
さて、本題に戻すと、
これは、合同式の定義より明らかだと思います。
ここで、互いに合同な整数全体の集合を合同類または剰余類と言います。つまり
と表されます。イデアルの記号を用いれば、
が成り立ちます。
任意の整数
すべての整数を合同類に分類し、その合同類の集合を
となります。
次に、
これは、合同式の加法と乗法と同じようなものだと思っています。
この加法と乗法により、集合
環の2元
を満たすとき、
剰余環の表
で、これは整域の定義だからです。たぶん。
剰余環
が成り立つ。よって、
次に
つまり
となるので、定義より
(証明終り)
今回はここまでです。読んでくださってありがとうございました。