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高校数学解説
文献あり

数論の備忘録① 剰余環

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 こんにちは。最近、数論について勉強し始めたので、それを纏めようと思います。間違っている箇所があればご指摘下さい。

剰余類群

 有理整数環Zにおいて、整数mの倍数全体のイデアル

(m)=mZ={mx|xZ}

を考えます。
 なお、可換環Rの空でない部分集合Iが次の性質(1),(2)を満たすとき、IRイデアルと言います。

(1). b,cIb+cI
(2). mR,bImbI

整数でいう倍数みたいなものだと、僕は認識しています。
 さて、本題に戻すと、a,bZについて、次が成り立ちます。

abmZab(modm)

これは、合同式の定義より明らかだと思います。
 ここで、互いに合同な整数全体の集合を合同類または剰余類と言います。つまり

(a)={b|ba(modm)}=a+mZ={a+mx|xZ}

と表されます。イデアルの記号を用いれば、a+(m)と書くこともできます。以後aを含む合同類をa¯と表すと

a¯=b¯ab(modm)

が成り立ちます。

 任意の整数amで割った余りをrとすると、0r<mであるから、ab(modm)です。よって、a¯m個の合同類0¯,1¯,,m1のどれか1つでかつただ1つと一致します。
 すべての整数を合同類に分類し、その合同類の集合をZ/mZまたはZ/(m)と表します。これで、一応すべての整数が分類できるという訳。つまり

Z/mZ={0¯,1¯,,m1}

となります。
 次に、Z/mZの2元a,bについて、それらの和a¯+b¯と積a¯b¯を次のように定めます。

  • a¯+b¯=a+b
  • a¯b¯=ab

これは、合同式の加法と乗法と同じようなものだと思っています。

 この加法と乗法により、集合Z/mZは可換環であることが分かります。加法の零元は0¯で、乗法の単位元は1¯となります。そして、可換環Z/mZを、法mに関する剰余環と言います。
 環の2元a,bが次の条件

a0,b0ab=0

を満たすとき、a(b)零因子と言います。例えば、下の表より

剰余環の表 剰余環の表

3¯は零因子です。また、環Rが零因子を持たないとき、R整域であるといいます。Z/5Zなどは整域です。なぜならば、零因子を持たないということは

ab=0a=ob=0

で、これは整域の定義だからです。たぶん。

剰余環Z/mZ(m>1)において

  1. Z/mZが零因子を持つmは合成数
  2. Z/mZは整域mは素数

mが合成数の時、m=abを満たす自然数1<a,b<mが存在する。この時、Z/mZにおいて

a¯0,b¯0a¯b¯=ab=m¯=0¯=0

が成り立つ。よって、Z/mZは零因子を持つ。
次にmが素数pの時、a¯,b¯Z/mZ,a¯b¯=0とすると

ab=0

つまりp|abp|ap|bが成り立つ。よって、pに関する剰余環、すなわちmに関する剰余環について

a¯=0b¯=0

となるので、定義よりZ/mZは整域である。
(証明終り)

今回はここまでです。読んでくださってありがとうございました。

参考文献

[1]
山本芳彦, 数論入門1, 岩波講座 現代数学への入門, 岩波書店, 1996
投稿日:20221026
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木立
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