(3+1)次元一様磁場中のワイル粒子

30Oct.2022: タイトルおよび本文中の「ゼロ質量Dirac粒子」を「ワイル粒子」に書き直しました。これらは同じ意味ですが、ワイル粒子のほうが一般的によく使われるので改めました。

はじめに

(3+1)次元（空間3次元+時間）において、一様な静磁場下でのワイル粒子（質量ゼロ、スピン1/2の荷電粒子）の運動を考察します。

ゲージ場$A_{\mu }$が外場として存在するとき、その下でのDirac粒子の4成分波動関数$\psi$を記述するDirac方程式は以下です：

${\gamma }^{\mu }$はDirac行列と呼ばれます。数学的に言えばClifford algebraの元です。具体的な表示に関してはAppendix 1をご参照ください。また本記事では自然単位系:$c=\hslash =1$を用いています。

以下では量子力学におけるharmonic oscillator（調和振動子）のエネルギー固有値と解を既知として用います。これに関しては、量子力学の教科書（どんな教科書にも載ってると思います）、webpageなら 調和振動子 - EMANの量子力学 および　 生成演算子と消滅演算子 - EMANの量子力学 等をご参照ください。

一様磁場中のワイル粒子に対するDirac方程式の解とエネルギー準位

以下Ref.[1]の議論に従います。解の構成に関してはRef.[2][3]も参考にしています。

Eq.(1)において、$\psi$の上2成分を${\psi }_R$（Right-Handed, RHと呼ぶ）、下2成分を${\psi }_L$（Left-Handed, LHと呼ぶ）とします。$m=0$とし、Dirac方程式を書き直すと

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{ll}{\displaystyle (i{\partial }_0-(i\mathit{\sigma }\cdot \mathit{\partial }+e\mathit{\sigma }\cdot \mathit{A})){\psi }_L}& =0,\\ {\displaystyle (i{\partial }_0+(i\mathit{\sigma }\cdot \mathit{\partial }+e\mathit{\sigma }\cdot \mathit{A})){\psi }_R}& =0\end{array}\end{array}$$

となります。太字は3次元のベクトルを表します。例えば$\mathit{A}:=(A^1,A^2,A^3)$です。$\mathit{\sigma }$の定義はAppendix 1を見てください。またここではDirac行列の表示としてchiral representationを採用しています（Appendix 1参照のこと）。

ここで$\mathit{p}:=-i\mathit{\partial }$とします。Eq.(2)の下の式は
$$\begin{array}{r}(i{\partial }_0-(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma }){\psi }_R=0\end{array}$$
になります。${\psi }_R$を求めるために、以下の方程式
$$\begin{array}{}\text{(3)}& (i{\partial }_0-(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma })(i{\partial }_0+(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma })\varphi =0\end{array}$$
を導入します。この解$\varphi$により、${\psi }_R$は
$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\psi }_R=(i{\partial }_0+(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma })\varphi \end{array}$$
と表せます。

以下Eq.(3)の解$\varphi$を求めます。$\varphi$にかかるオペレータを変形すると

$$\begin{array}{rl}(i{\partial }_0-(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma })(i{\partial }_0+(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma })& =-{\partial }_0^2-(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^i(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^j{\sigma }^i{\sigma }^j\\ & =-{\partial }_0^2-(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^i(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^j(\frac{1}{2}\{{\sigma }^i,{\sigma }^j\}+\frac{1}{2}[{\sigma }^i,{\sigma }^j])\\ & =-{\partial }_0^2-(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^2+\frac{1}{2}ie{\sigma }^i{\sigma }^j{F}^{ij}\end{array}$$

となります。最後の行の変形には$\{{\sigma }^i,{\sigma }^j\}=2{\delta }^{ij},F^{ij}(x):=\frac{-i}{e}[D^i,D^j]=\frac{i}{e}[{\mathit{p}}^i-{\mathit{A}}^i,{\mathit{p}}^j-{\mathit{A}}^j]$を用いました。

ここで、$z$の正の方向一様な磁場をかけます。ゲージは$A^{0,1,3}=0,A^2=H{x}^1$にとります。このとき$F^{21}=-F^{12}=H$で、あとはゼロです（Appendix 2に電磁場とゲージ場の関係を載せました）。上式にこれを代入して整理すると
$$\begin{array}{r}((-i\mathit{\partial }{)}^2+(eH{x}^1{)}^2-eH{\sigma }^3-2H{x}^1(-i{\partial }_2))\varphi =(i{\partial }_0{)}^2\varphi \end{array}$$
になります（運動量とエネルギーを微分に直しました）。
ここで
$$\begin{array}{r}\varphi =\exp (-i\omega t+i{p}^2{x}^2+i{p}^3{x}^3)\chi (\mu )f(x)\end{array}$$
とします。 $\chi (\mu )$は${\sigma }^3$の固有状態、$\mu$はその固有値であり、${\sigma }^3\chi (\mu =\pm 1)=\pm \chi (\mu =\pm 1)$とします。すなわち${\chi }^T(\mu =1)=(1,0),{\chi }^T(\mu =-1)=(0,1)$です。すると
$$\begin{array}{r}[-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+(eH{)}^2(x-p^2/eH{)}^2+(p^3{)}^2-eH\mu ]f={\omega }^{2}f\end{array}$$
が成立します。$x^1$を$x$と書き直しました。

この方程式は、以下の変数変換
$$\begin{array}{r}\xi =\sqrt{eH}(xーp^2/(eH)),a=({\omega }^2-(p^3{)}^2)/(eH)\end{array}$$
を施すと、
$$\begin{array}{r}af=(-\frac{d}{d{\xi }^2}+{\xi }^2-\mu )f\end{array}$$
になります。これはharmonic oscillatorの方程式です(量子力学の教科書、および最初に挙げたwebpage等をご参照ください)。固有値は　
$$\begin{array}{}\text{(5)}& \omega (n,{\sigma }^3,p^3)=\pm \sqrt{2eH(n+1/2)+(p^3{)}^2-eH\mu }(\mu =\pm 1)\end{array}$$
で与えられます。このエネルギー準位はいわゆるLandau準位です。$z$軸に直交した平面では粒子はサイクロトロン運動を行い、一方、$z$方向に関しては自由に運動します。そのため$p^3$はエネルギー固有値に自由粒子の分散の形で現れます。$f$は
$$\begin{array}{r}f=H_n(\sqrt{eH}(x-p^2/eH))\exp (-\frac{1}{2}eH(x-p^2/eH{)}^2)\end{array}$$
となります。$H_n$はHermite多項式です。よって波動関数$\varphi$は以下のように与えられます：

この解をEq.(4)に代入すれば${\psi }_R(x)$が求まります。

ここで$n=0,\mu =+1$の解:${\psi }_R(n=0,\mu =+1,p^3)=(i{\partial }_0+(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma })\varphi (n=0,\mu =+1,p^3)$に注目します。このときエネルギー$\omega$は$\omega =\pm p^3$のように$p^3$に関して線形なdispersion（分散関係、エネルギーと運動量の関係）になります。計算すると、波動関数${\psi }_R$は

となります。

改めて、${\psi }_R(x)$の性質として重要なことを以下に記します:

$n=0,\mu =+1$のとき、dispersionが線形であることは重要です。また、$n=0,\mu =+1,\omega =p^3$の解は${\psi }_R$がノンゼロで存在しているのも重要です。3.はEq.(4)に$\varphi$を入れて計算すれば求まります。

図１の左図は${\psi }_R$(RH)に対する$\omega$-$p^3$のdispersionを図示したものです。図は真空状態に対応しています。すなわち$\omega \le 0$の状態がすべて占有されていて、かつ$\omega >0$がすべて空いています。ここでは$3$方向に周期境界条件を課すことで$p^3$が離散的な値をとる場合を図示しています。線形のdispersion:$\omega =p^3$をもつモードが1つ存在していることが特徴的です。

エネルギー準位とz方向の運動量の関係 (dispersion relation)。左図はRHのdispresion、右図はLHのdispersion。どちらも線形のdispersionを持った状態がそれぞれ1つ存在する

一方、${\psi }_L$は同様の議論からやはり$\varphi$を用いて
$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\psi }_L=(i{\partial }_0-(\mathit{p}-e\mathit{A})\cdot \mathit{\sigma })\varphi \end{array}$$
で与えられます。$n=0,\mu =+1$のモードはやはり線形のdispersionをもち、

となります。${\psi }_L$の線形のdispersionをもつモードは$\omega =-p^3$を満たすので、原点を通り左上から右下に貫く直線上に存在します（図1右図参照）。

ちなみに、有限質量$m\ne 0$のときのdispersionは、Eq.(5)における$\omega$の右辺の$(p^3{)}^2$を$m^2+(p^3{)}^2$にすればいいです。このとき線形のdispersionのモードはなくなります。

おしまい。${}_{◼}$

Appendix 1: Dirac行列の具体的な表示

Dirac行列の具体的な表示にはDirac representation（${\gamma }^0$が対角的な表示。standard representationとも言われる）とchiral representation（${\gamma }_5$が対角的な表示。spinor representationとも言われる）がよく使われます。これらの具体的な表示は以下です。

本文ではchiral representationを用いています。

Appendix 2: 電磁場とゲージ場の関係

ゲージ場$A_{\mu }$と電磁場$E^i,B^i$との関係は以下です：

ただし${ϵ}_{ijk}$は完全反対称テンソル（Levi-Civita symbol）であり、${ϵ}_{123}=1$です。

$E^i,B^i,F^{ij}$と電磁場の$x,y,z$成分：$B_x,B_y,B_z,E_x,E_y,E_z$の関係は以下です：