(3+1)次元一様磁場中のワイル粒子

30Oct.2022: タイトルおよび本文中の「ゼロ質量Dirac粒子」を「ワイル粒子」に書き直しました。これらは同じ意味ですが、ワイル粒子のほうが一般的によく使われるので改めました。

はじめに

(3+1)次元（空間3次元+時間）において、一様な静磁場下でのワイル粒子（質量ゼロ、スピン1/2の荷電粒子）の運動を考察します。

ゲージ場$A_\mu$が外場として存在するとき、その下でのDirac粒子の4成分波動関数$\psi$を記述するDirac方程式は以下です：

$\gamma^\mu$はDirac行列と呼ばれます。数学的に言えばClifford algebraの元です。具体的な表示に関してはAppendix 1をご参照ください。また本記事では自然単位系:$c=\hbar=1$を用いています。

以下では量子力学におけるharmonic oscillator（調和振動子）のエネルギー固有値と解を既知として用います。これに関しては、量子力学の教科書（どんな教科書にも載ってると思います）、webpageなら 調和振動子 - EMANの量子力学 および　 生成演算子と消滅演算子 - EMANの量子力学 等をご参照ください。

一様磁場中のワイル粒子に対するDirac方程式の解とエネルギー準位

以下Ref.[1]の議論に従います。解の構成に関してはRef.[2][3]も参考にしています。

Eq.(1)において、$\psi$の上2成分を$\psi_R$（Right-Handed, RHと呼ぶ）、下2成分を$\psi_L$（Left-Handed, LHと呼ぶ）とします。$m=0$とし、Dirac方程式を書き直すと

\begin{align} \begin{cases} \displaystyle (i\partial_0-(i{\boldsymbol \sigma}\cdot {\boldsymbol \partial}+e{\boldsymbol \sigma}\cdot {\boldsymbol A}))\psi_L&=0,\\ \displaystyle (i\partial_0+(i{\boldsymbol \sigma}\cdot {\boldsymbol \partial}+e{\boldsymbol \sigma}\cdot {\boldsymbol A}))\psi_R&=0 \tag{2} \end{cases} \end{align}

となります。太字は3次元のベクトルを表します。例えば${\boldsymbol A}:=(A^1,A^2,A^3)$です。$\boldsymbol \sigma$の定義はAppendix 1を見てください。またここではDirac行列の表示としてchiral representationを採用しています（Appendix 1参照のこと）。

ここで${}{\boldsymbol p}:=-i{\boldsymbol \partial}$とします。Eq.(2)の下の式は
\begin{align} (i\partial_0-({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma})\psi_R=0 \end{align}
になります。$\psi_R$を求めるために、以下の方程式
\begin{align} (i\partial_0-({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma})(i\partial_0+({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma})\phi=0 \tag{3} \end{align}
を導入します。この解$\phi$により、$\psi_R$は
\begin{align} \psi_R=(i\partial_0+({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma})\phi \tag{4} \end{align}
と表せます。

以下Eq.(3)の解$\phi$を求めます。$\phi$にかかるオペレータを変形すると

\begin{align} (i\partial_0-({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma})(i\partial_0+({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma}) &=-\partial_0^2-({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})^i({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})^j\sigma^i\sigma^j\\ &=-\partial_0^2-({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})^i({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})^j\left(\frac{1}{2}\{\sigma^i,\sigma^j\}+\frac{1}{2}[\sigma^i,\sigma^j]\right)\\ &=-\partial_0^2-({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})^2+\frac{1}{2}ie\sigma^i\sigma^jF^{ij} \end{align}

となります。最後の行の変形には$\{\sigma^i,\sigma^j\}=2\delta^{ij}, \ F^{ij}(x):=\frac{-i}{e}[D^i,D^j]=\frac{i}{e}[{\boldsymbol p}^i-{\boldsymbol A}^i,{\boldsymbol p}^j-{\boldsymbol A}^j]$を用いました。

ここで、$z$の正の方向一様な磁場をかけます。ゲージは$A^{0,1,3}=0, \ A^{2}=Hx^1$にとります。このとき$F^{21}=-F^{12}=H$で、あとはゼロです（Appendix 2に電磁場とゲージ場の関係を載せました）。上式にこれを代入して整理すると
\begin{align} ((-i{\boldsymbol \partial})^2+(eHx^1)^2-eH\sigma^3-2Hx^1(-i\partial_2))\phi=(i\partial_0)^2\phi \end{align}
になります（運動量とエネルギーを微分に直しました）。
ここで
\begin{align} \phi=\exp(-i\omega t+ip^2x^2+ip^3x^3)\chi(\mu)f(x) \end{align}
とします。 $\chi(\mu)$は$\sigma^3$の固有状態、$\mu$はその固有値であり、$\sigma^3\chi(\mu=\pm 1)=\pm\chi(\mu=\pm 1)$とします。すなわち$\chi^T(\mu=1)=(1,0), \chi^T(\mu=-1)=(0,1)$です。すると
\begin{align} \left[-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+(eH)^2(x-p^2/eH)^2+(p^3)^2-eH\mu\right]f=\omega^2 f \end{align}
が成立します。$x^1$を$x$と書き直しました。

この方程式は、以下の変数変換
\begin{align} \ \xi=\sqrt{eH}(xーp^2/(eH)), \ a=(\omega^2-(p^3)^2)/(eH) \end{align}
を施すと、
\begin{align} af =\left(-\frac{d}{d\xi^2}+\xi^2-\mu\right)f \end{align}
になります。これはharmonic oscillatorの方程式です(量子力学の教科書、および最初に挙げたwebpage等をご参照ください)。固有値は　
\begin{align} \omega(n,\sigma^3,p^3)=\pm\sqrt{2eH(n+1/2)+(p^3)^2-eH\mu} \ \ \ \ (\mu=\pm 1) \tag{5} \end{align}
で与えられます。このエネルギー準位はいわゆるLandau準位です。$z$軸に直交した平面では粒子はサイクロトロン運動を行い、一方、$z$方向に関しては自由に運動します。そのため$p^3$はエネルギー固有値に自由粒子の分散の形で現れます。$f$は
\begin{align} f=H_n\left(\sqrt{eH}(x-p^2/eH)\right)\exp\left(-\frac{1}{2}eH(x-p^2/eH)^2\right) \end{align}
となります。$H_n$はHermite多項式です。よって波動関数$\phi$は以下のように与えられます：

この解をEq.(4)に代入すれば$\psi_R(x)$が求まります。

ここで$n=0,\mu=+1$の解:$\psi_R(n=0,\mu=+1,p^3)=(i\partial_0+({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma})\phi(n=0,\mu=+1,p^3)$に注目します。このときエネルギー$\omega$は$\omega=\pm p^3$のように$p^3$に関して線形なdispersion（分散関係、エネルギーと運動量の関係）になります。計算すると、波動関数$\psi_R$は

となります。

改めて、$\psi_R(x)$の性質として重要なことを以下に記します:

$n=0,\mu=+1$のとき、dispersionが線形であることは重要です。また、$n=0,\mu=+1,\omega=p^3$の解は$\psi_R$がノンゼロで存在しているのも重要です。3.はEq.(4)に$\phi$を入れて計算すれば求まります。

図１の左図は$\psi_R$(RH)に対する$\omega$-$p^3$のdispersionを図示したものです。図は真空状態に対応しています。すなわち$\omega\le 0$の状態がすべて占有されていて、かつ$\omega>0$がすべて空いています。ここでは$3$方向に周期境界条件を課すことで$p^3$が離散的な値をとる場合を図示しています。線形のdispersion:$\omega=p^3$をもつモードが1つ存在していることが特徴的です。

エネルギー準位とz方向の運動量の関係 (dispersion relation)。左図はRHのdispresion、右図はLHのdispersion。どちらも線形のdispersionを持った状態がそれぞれ1つ存在する

一方、$\psi_L$は同様の議論からやはり$\phi$を用いて
\begin{align} \psi_L=(i\partial_0-({\boldsymbol p}-e{\boldsymbol A})\cdot{\boldsymbol \sigma})\phi \tag{4} \end{align}
で与えられます。$n=0,\mu=+1$のモードはやはり線形のdispersionをもち、

となります。$\psi_L$の線形のdispersionをもつモードは$\omega=-p^3$を満たすので、原点を通り左上から右下に貫く直線上に存在します（図1右図参照）。

ちなみに、有限質量$m\neq 0$のときのdispersionは、Eq.(5)における$\omega$の右辺の$(p^3)^2$を$m^2+(p^3)^2$にすればいいです。このとき線形のdispersionのモードはなくなります。

おしまい。${}_\blacksquare$

Appendix 1: Dirac行列の具体的な表示

Dirac行列の具体的な表示にはDirac representation（$\gamma^0$が対角的な表示。standard representationとも言われる）とchiral representation（$\gamma_5$が対角的な表示。spinor representationとも言われる）がよく使われます。これらの具体的な表示は以下です。

本文ではchiral representationを用いています。

Appendix 2: 電磁場とゲージ場の関係

ゲージ場$A_\mu$と電磁場$E^i,B^i$との関係は以下です：

ただし$\epsilon_{ijk}$は完全反対称テンソル（Levi-Civita symbol）であり、$\epsilon_{123}=1$です。

$E^i,B^i,F^{ij}$と電磁場の$x,y,z$成分：$B_x,B_y,B_z,E_x,E_y,E_z$の関係は以下です：