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infの表記について

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はじめに

この記事はまちがってます。
アライグマさんのコメントを見てください。
ごめんなさい。

記事は勘違いしてたことを残しておくため、このままにしておきます。

式1の理解で混乱しているので、著者のお気持ちに立って整理してみる。
著者のお気持ちを理解するために、簡単な問題を通して理解を試みてみる。

$$ \inf_{0\leq\theta\leq1} f^*(\theta) \tag{1} $$

ただし、

$$ f^*(\theta)= \left\{ \begin{array}{l} \theta\log\theta+(1-\theta\log(1-\theta)) & \mathrm{if} \ \ 0\leq\theta \leq 1 \\ +\infty & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. $$

問題1

$x\in \lbrace1,2,3\rbrace$とおく。このとき、$\inf\lbrace x,5\rbrace$を求めよ。

$$ \inf\lbrace x,5\rbrace =x $$

ここで、注目したいのは$x\in \lbrace1,2,3\rbrace$は、具体的な数値ではなく、あくまで変数として出力されることである。

さて、論文はスペースがないので、問題1を1行で書きたいという要望があるとする。どうかくだろうか。例えば、下式で書いてみたらどうだろう?

$$ x = \inf_{x\in\lbrace1,2,3\rbrace} \lbrace x,5\rbrace $$

つまり、決定変数$x$$1,2,3$のいづれかを取ることを許容するというニュアンスを含めるのである。

問題2

$\inf_{0\leq x\leq 1} g(x)$$\inf_{x} g(x)$に解釈の違いがあるか考察せよ。

ただし、
$f(x)\in(-\infty,+\infty)$,

$ g(x) = \left\{ \begin{array}{l} f(x) & \mathrm{if} \ \ x\in[0,1]\\ +\infty & \mathrm{otherwise} \end{array} \right. $

  • $\inf_{x} g(x)$について考えてみる。
    $\inf_x g(x)$$f(x)$は一致しない。
  • $\inf_{0\leq x\leq 1} g(x)$について考えてみる。

\begin{eqnarray} \inf_{0\leq x\leq 1} g(x) &=& \inf_{0\leq x\leq 1} f(x)\\ &=&f(x) \end{eqnarray}

1行目から2行目になる理由は、$\inf_x f(x)$を求めたとしても、$x$$[0,1]$で自由に動くことを許容するので一致する。

以上から、$\inf_{0\leq x\leq 1} g(x)$$\inf_{x} g(x)$は違う。

おわりに

複雑な表記にすることで読者が誤解を招いてしまうのよくないと思いました。ちょっと著者の気持ちはわからんです。

投稿日:20221029

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hdk105
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計測・制御・情報に興味があります. 備忘録として残していきます.

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