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複素解析では何故「領域」と仮定するか?

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$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{abs}[1]{\left \lvert #1 \right \rvert} \newcommand{acts}[0]{\curvearrowright} \newcommand{Alt}[0]{Alt} \newcommand{aut}[0]{Aut} \newcommand{B}[0]{\mathbb{B}} \newcommand{bfsubsection}[1]{\subsection*{\textbf{#1}}} \newcommand{bmat}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calB}[0]{\mathcal{B}} \newcommand{calC}[0]{\mathcal{C}} \newcommand{calD}[0]{\mathcal{D}} \newcommand{calE}[0]{\mathcal{E}} \newcommand{calF}[0]{\mathcal{F}} \newcommand{calG}[0]{\mathcal{G}} \newcommand{calH}[0]{\mathcal{H}} \newcommand{calI}[0]{\mathcal{I}} \newcommand{calJ}[0]{\mathcal{J}} \newcommand{calK}[0]{\mathcal{K}} \newcommand{calL}[0]{\mathcal{L}} \newcommand{calM}[0]{\mathcal{M}} \newcommand{calN}[0]{\mathcal{N}} \newcommand{calO}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{calP}[0]{\mathcal{P}} \newcommand{calQ}[0]{\mathcal{Q}} \newcommand{calR}[0]{\mathcal{R}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{calT}[0]{\mathcal{T}} \newcommand{calU}[0]{\mathcal{U}} \newcommand{calV}[0]{\mathcal{V}} \newcommand{calW}[0]{\mathcal{W}} \newcommand{calX}[0]{\mathcal{X}} \newcommand{calY}[0]{\mathcal{Y}} \newcommand{calZ}[0]{\mathcal{Z}} \newcommand{card}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{ch}[0]{ch} \newcommand{cl}[0]{Cl} \newcommand{codim}[0]{codim} \newcommand{coker}[0]{Coker} \newcommand{Cx}[0]{\mathbb{C}^{\times}} \newcommand{defiff}[0]{\mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}}} \newcommand{diag}[0]{diag} \newcommand{diff}[2]{\frac{d#1}{d#2}} \newcommand{dint}[0]{\displaystyle\int} \newcommand{dprod}[0]{\displaystyle\prod} \newcommand{dsp}[0]{\displaystyle} \newcommand{dsum}[0]{\displaystyle\sum} \newcommand{End}[0]{End} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{frake}[0]{\mathfrak{e}} \newcommand{frakH}[0]{\mathfrak{H}} \newcommand{frakO}[0]{\mathfrak{O}} \newcommand{frakp}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{frakP}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{frakq}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{frakQ}[0]{\mathfrak{Q}} \newcommand{frob}[0]{Frob} \newcommand{gal}[0]{Gal} \newcommand{GL}[0]{\mathrm{GL}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{Hom}[0]{Hom} \newcommand{I}[0]{\sqrt{-1}} \newcommand{id}[0]{id} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{ind} \newcommand{inprod}[2]{\langle #1 , #2 \rangle} \newcommand{inv}[1]{#1^{-1}} \newcommand{iu}[0]{\sqrt{-1}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{leftmapsto}[0]{\leftarrow\!\shortmid} \newcommand{M}[0]{\mathbb{M}} \newcommand{Map}[0]{Map} \newcommand{mapdisplay}[1]{\begin{array}{r@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c}#1\colon&\longrightarrow\\ &\rotatebox{90}{$\in$}&&\rotatebox{90}{$\in$}\\ &\longmapsto \end{array}} \newcommand{Mp}[0]{Mp} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{ord}[0]{ord} \newcommand{P}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{pdiff}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{pf}[0]{pf} \newcommand{PGL}[0]{\mathrm{PGL}} \newcommand{pmat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{PSL}[0]{\mathrm{PSL}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{rank} \newcommand{re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{relmiddle}[1]{\mathrel{}\middle#1\mathrel{}} \newcommand{res}[0]{res} \newcommand{Res}[0]{Res} \newcommand{restrict}[2]{\left. #1 \right|_{#2}} \newcommand{rk}[0]{rk} \newcommand{set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{sgn}[0]{sgn} \newcommand{single}[0]{\{ 0 \}} \newcommand{SL}[0]{\mathrm{SL}} \newcommand{smat}[1]{\bigl(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\bigr)} \newcommand{SO}[0]{SO} \newcommand{Sp}[0]{Sp} \newcommand{spec}[0]{Spec} \newcommand{spl}[0]{Spl} \newcommand{stab}[0]{Stab} \newcommand{supp}[0]{supp} \newcommand{Supp}[0]{Supp} \newcommand{Sym}[0]{Sym} \newcommand{T}[0]{\mathbb{T}} \newcommand{textblue}[1]{\textcolor{blue}{\textbf{#1}}} \newcommand{tr}[0]{tr} \newcommand{Tr}[0]{Tr} \newcommand{transpose}[1]{\, {\vphantom{#1}}^t\!{#1}} \newcommand{vmat}[1]{\begin{vmatrix}#1\end{vmatrix}} \newcommand{vol}[0]{vol} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

はじめに

領域とは「連結な開集合」という意味の用語であり複素解析の本の序盤に大体説明されている(日常用語と被るので用語感が薄く,個人的にはあまり好かないのだが).

複素微分の定義で「$D$を領域とする。(中略)極限$ \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}$が存在するとき点$z\in D$で複素微分可能であるという」という記述を見たりする(例えば小平邦彦『複素解析』,p.11).「微分可能性は開集合でさえあれば定義できるはずなのに何故連結性まで課すのだろう?」と筆者は初学の頃困惑した(こういう(理解への自信が揺らぐような)とき数学に嫌気がさす).結論,連結性などいらないはずである.

それ以外にも複素解析では何故だかとにかく「領域」という言葉が連呼される.しかし証明を読んでも連結性が効いている様に見えない定理がたくさんあった.では本当に連結性が必要なのは一体どこなのだろう?そこを明確にするのが本稿の目的である.

検証

どんな複素解析の教科書にも載っているような標準的な定理たちに対して連結性が要るかどうか検証していく.
(1)「導関数が0ならば定数」

$f:D\to\C$を領域$D$上の正則関数とする.$D$全体で$f'=0$なら$f$は定数.

これは連結性は確かに本質的なのだが実は連結性を外した以下のような一般化がある:

$f:U\to\C$を開集合$U$上の正則関数とする.$U$全体で$f'=0$なら$f$は局所定数(よって$U$の各連結成分上で定数).

結論:前半の定理で考えれば要るが後半の定理で考えれば要らない。ここでは後者を採用することにする。

(2)一致の定理

これは証明を読めばわかるのだが連結性が本質的に効いている!

&&&thm 一致の定理
$f:D\to\C$領域$D$上の正則関数とする.ある$D$内の集積点を持つ点列$\{z_n\}_n$に対して$f(z_n)=0$なら$f=0$

特に次が成り立つ:$f,g:D\to\C$領域$D$上の正則関数とする.ある$D$内の(空でない)開集合$U$に対して$f|_U=g|_U$なら$f=g$(備考:空でない開集合は集積点を持つ).よって$U$上の正則関数$F$領域$D$への解析接続$\tilde{F}$は(存在すれば)一意である。

これは次の系にも影響を及ぼす:

&&&cor
$\mathcal{O}(U)$が整域$\iff U$が領域.
$\mathcal{O}(U)$$U$上の正則関数のなす環)

結論:要る

(3)パス$\gamma$(もちろんループも含まれる)を取るような定理について(コーシーの積分定理,積分公式,モレラの定理,留数定理など)

まず$\C$の開集合$U$のパス$\gamma$を取ったとき,これは(連結集合の連続像だから)連結で,$U$の連結成分$D$とは$U$の連結部分集合で極大なものであったから結局$\gamma$はある$D$に含まれることに注意する(備考:交わりを持つ2つの連結集合の和も再び連結であることを用いている).

ここで次の便利な事実を確認しよう.

$X$を局所連結 ^1 な位相空間,$U$をその開集合とする.このとき$U$の任意の連結成分は($X$の)開集合.

$C\subset U$を連結成分とする.$p\in C$を取る.まず$U$$X$の開集合であるから開基の元$B$があって$p\in B\subset U$.ここで$B$$p$を含む$U$内の連結集合であるから$p\in B\subset C$.これは$C$$X$の開集合であることを示している.

$\C$はもちろん局所連結であるからこの命題により$\C$の開集合$U$の連結成分は領域であることがわかる.

以上のことからそのような定理たちはステートメントに連結性の仮定を置く必要は一応ないものの,実際に議論する際には自動的にある連結成分の中で議論することになる.しかしあくまでそれらは結果的なものなので,連結という仮定をおいたところでそれが本質的に効くわけではない.

結論:要らない

(4)最大値の原理

この定理は証明に一致の定理(あるいは領域保存則)が本質的に使われるので要る:

最大値の原理

領域$D$上の非定数正則関数$f:D\to\C$に対して$\abs{f}$$D$上最大値をもたない

結論:要る

(5)領域保存則(開写像定理)

領域$D$上の非定数正則関数$f:D\to\C$と開集合$U\subset D$に対して$f(U)$は開集合。特に$f(D)$は領域。

これはコメント欄での指摘で気が付いた。どこに効くのかなど後日検証する。

結論:要る

結論

本質的に要るのは実質一致の定理(とそれを使って示す事実)だけ.多くの複素解析の本で領域領域連呼するのは注意で書いたような理由とわざわざ毎回連結性について考えるのが面倒くさいからであろう.

(マイナーな定理まで考えるならばもしかしたらシュワルツの鏡像の原理も要るかもしれない(未検討).またリーマンの写像定理ももちろん(単)連結性は要るのだがこれは定理の中心的な仮定であることは誰の目にも明らかであるのでむしろ見落とすほうが難しいだろう.あとはΓ関数の特徴付け定理、log(非零正則関数)の存在定理の単連結性も未検討)

参考:以上のような連結性についての取り扱いはJohn Conway[^2] “Functions of One Complex Variable I,II”が他に類を見ないほど注意を払って書かれているので触れておく.

[^2]: 群論などで有名なJohn Conwayと同姓同名だが別人.

投稿日:2022111

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