フィボナッチ数列の研究まとめ 3

$F_{2k+1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$とする. このとき, 乗法定理で$(n,m)=(2k,1)$とすることで$F_n^2\equiv -1$となり, 矛盾.

$\Rightarrow )$$l(p)$が奇数であるとき, 乗法定理で$(n,m)=(l(p)+1,1)$とすれば, $F_{l(p)}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$から$F_{l(p)+1}^2\equiv -1$である. 前回の議論より$F_{l(p)+1}$は$G_{Fi}(p)$の生成元なので$G_{Fi}(p)\cong C_4$である. 前回の主定理より対偶を取れば示された.
$\Leftarrow )$$l(p)$が偶数のとき上と同様に$F_{l(p)+1}^2\equiv 1$であるので, $G_{Fi}(p)\cong E,C_2$であり示された.

以下合同式の法は$p$とする. $2k=l(p)$とおけば加法定理より
$$F_{2k}=F_k{F}_{k-1}+F_k{F}_{k+1}=F_k(F_{k-1}+F_{k+1})$$
今, $F_{2k}\equiv 0$であり, $l(p)$は$F_n\equiv 0$なる最小の正整数$n$なので$F_k\not\equiv 0$. すなわち, $F_{k-1}+F_{k+1}\equiv 0,F_{k-1}\equiv -F_{k+1}$
再び加法定理より
$$F_{2k+1}=F_k^2+F_{k+1}^2=(F_{k+1}-F_{k-1}{)}^2+F_{k+1}^2$$
$F_{k-1}\equiv -F_{k+1}$を代入することで$F_{2k+1}\equiv 5F_{k+1}^2$となる.
ここで, 平方剰余の積の法則より
$$\left({\displaystyle \frac{F_{2k+1}}{p}}\right)=\left({\displaystyle \frac{5}{p}}\right)\left({\displaystyle \frac{F_{k+1}^2}{p}}\right)=\left({\displaystyle \frac{5}{p}}\right)=-1$$
従って, $F_{2k+1}\ne 1$. 従って, $G_{Fi}(p)$の生成元$F_{2k+1}$は単位元でないので, $L(p)/l(p)\ne 1$である.

先の補題と同様に文字を置けば$F_{2k+1}\equiv 5F_{k+1}^2$となる.
ここで, 平方剰余の積の法則より
$$\left({\displaystyle \frac{-F_{2k+1}}{p}}\right)=\left({\displaystyle \frac{-5}{p}}\right)\left({\displaystyle \frac{F_{k+1}^2}{p}}\right)=\left({\displaystyle \frac{-5}{p}}\right)=-1$$
従って, $F_{2k+1}\ne -1$. 従って, $G_{Fi}(p)$の生成元$F_{2k+1}$は$-1$でないので, $L(p)/l(p)\ne 2$である.

積の法則, 相互法則, 第一補充則より$\left({\displaystyle \frac{-1}{p}}\right)=-1,\left({\displaystyle \frac{5}{p}}\right)=1,\left({\displaystyle \frac{-5}{p}}\right)=-1$に気を付けると, 補題6, 7($\Leftarrow$), 9より$L(p)/l(p)=1$である.

相互法則, 第一補充則より$\left({\displaystyle \frac{-1}{p}}\right)=-1,\left({\displaystyle \frac{5}{p}}\right)=-1$に気を付けると, 補題6, 7($\Leftarrow$), 8より$L(p)/l(p)=2$である.

積の法則, 相互法則, 第一補充則より$\left({\displaystyle \frac{-1}{p}}\right)=1,\left({\displaystyle \frac{5}{p}}\right)=-1,\left({\displaystyle \frac{-5}{p}}\right)=-1$に気を付けると, 補題7($\Rightarrow$の対偶)より$l(p)$が奇数のとき$L(p)/l(p)=4$であり, 補題8, 9より$l(p)$が偶数のときも$L(p)/l(p)=4$である. なお, 実際は補題7($\Leftarrow$の対偶)より$l(p)$は奇数である.

以下合同式の法は$p$とする.
$\left({\displaystyle \frac{5}{p}}\right)=1$であるので, ${\alpha }^2\equiv 5$なる$\alpha$を取ることができる. また, $\varphi \equiv {\displaystyle \frac{1+\alpha }{2}}$とおけば, フィボナッチ数の一般項について$F_n\equiv {\displaystyle \frac{1}{\alpha }}({\varphi }^n-(-1{)}^n{\varphi }^{-n})$が成立する.
さて, $L(p)/l(p)=2$と仮定すると補題7($\Rightarrow$)より$l(n)=2M$なる正の整数$M$を取ることができる. ここで, フェルマーの小定理より$L(n)|p-1$であることに気を付ければ$4M|p-1$である. 従って, $M$が偶数であることを示して矛盾を導けばよい.
$$0\equiv F_{2M}\equiv {\displaystyle \frac{1}{\alpha }}({\varphi }^{2M}-{\varphi }^{-2M})$$
より${\varphi }^{2M}-{\varphi }^{-2M}\equiv 0,{\varphi }^{4M}=1,{\varphi }^{2M}=\pm 1$である.
ここで, ${\varphi }^{2M}=1$であると仮定すると, $F_{2M+1}\equiv -1$について
$$-1\equiv F_{2M+1}\equiv {\displaystyle \frac{1}{\alpha }}({\varphi }^{2M+1}+{\varphi }^{-2M-1})={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}(\varphi +{\varphi }^{-1})=1$$
であるので矛盾. よって, ${\varphi }^{2M}=-1$, すなわち${\varphi }^M=-{\varphi }^{-M}$である. 今, $F_M$について
$$F_M\equiv {\displaystyle \frac{1}{\alpha }}({\varphi }^M-(-1{)}^M{\varphi }^{-M})={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}(1+(-1{)}^M){\varphi }^M$$
が成立する. $l(p)$の最小性よりこれは$0$ではないので$M$は偶数になる. よって, $4M|p-1$とあわせ$8|p-1$となるが, これは仮定に矛盾.