文献あり

極で反転

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2022/11/3 14時ごろ　「 $Q$ は $△ O P P^{'}$ の垂心」に気付いたので追加
2022/11/3 21:44　「定理1」における誤字の修正 (lockerさんより)
2023/3/27 21:54　参考文献のスペルミスを修正（"Mathmatical" $\to$ "Mathematical"）

極の性質

EGMO9章の序盤を読んで、極と極線の性質を初等幾何で示すのは勿体無いと思ったので、反転と射影幾何で証明します。

円 $Γ$ とその外点 $P$ をとり、 $P$ の極線と $Γ$ の交点を $X, Y$ とする。 $P$ を通り、 $Γ$ 上の $2$ 点 $A, B$ を通る直線と直線 $X Y$ の交点を $Q$ とおくと、 $A, Q, B, P$ は調和点列である。

調和点列

$Γ$ の中心を $O$ 、線分 $A B$ の中点を $N$ とおくと，
$∠ O N P = 90^{\circ} = ∠ O X P = ∠ O Y P$
より， $5$ 点 $O, N, P, X, Y$ は共円。
中心 $P$ 、半径 $P X$ の円(図の円 $γ$ )で反転する。
このとき， $X, Y$ は不変であり、 $P A \cdot P B = P X^{2}$ より、 $A$ は $B$ に、 $B$ は $A$ にうつる。(オマケ: $Γ$ も不変)
したがって、 $O, N, P, X, Y$ の外接円は直線 $X Y$ にうつるから、 $N$ は $Q$ にうつる。
ここで、 $(A, B; N, P_{\infty}) = - 1$ より，反転された $(B, A; Q, P)$ も $- 1$ であるから、 $A, Q, B, P$ は調和点列である。(ただし、 $P_{\infty}$ は無限遠点)

定理1における $A, Y, B, X$ は調和四角形を成す。

点や円の名前は今後も使いまわすので、「定理1における」とかは省略します。

点 $X$ を中心とする、直線 $A P$ から $Γ$ への配景写像を $A, Q, B, P$ に作用させると、これらは $A, Y, B, X$ にうつる。
この写像は複比を保つので、 $A Y B X$ は調和四角形。

これにより共役定理が示されます。

共役定理

$A B$ に対する極 $P^{'}$ は直線 $X Y$ 上に存在する。

共役定理

$A$ を中心とする、 $Γ$ から直線 $X Y$ への配景写像により，点 $A$ が点 $P_{1}$ にうつったとすると、 $A P_{1}$ は $Γ$ に接し、さらに補題2より $X, Q, Y, P_{1}$ は調和点列。
$B$ を中心とする、 $Γ$ から直線 $X Y$ への配景写像により、点 $B$ が点 $P_{2}$ にうつったとすると、 $B P_{2}$ は $Γ$ に接し、さらに補題2より $X, Q, Y, P_{2}$ は調和点列。
したがって $P_{1} = P_{2}$ で、これは $A B$ に対する極 $P^{'}$ である。

先ほどの反転と組み合わせると、こんな定理が生えます。

以下の $3$ つの図形は共通の点 $R$ を通る。

点 $P, X, Y (, O, N)$ の外接円 $ω$
点 $P^{'}, A, B (, O, M)$ の外接円 $ω^{'}$
直線 $P P^{'}$

定理4の図

円 $γ$ で反転する。
このとき、 $ω$ は直線 $X Y$ にうつるのであった。
$O, M, P$ は共線であるから、反転で $O$ は $M$ に、 $M$ は $O$ にうつる。
$A$ は $B$ に、 $B$ は $A$ にうつるから、結局、 $A, B, M, O$ の外接円 $ω^{'}$ は不変。
$P^{'}$ の反転を $R^{'}$ とおく。
点 $P^{'}$ は円 $ω^{'}$ と直線 $X Y$ の交点であるから、 $R^{'}$ は $ω^{'}$ と $ω$ の交点で、さらに直線 $P P^{'}$ 上に存在する。

まだまだ性質は出てきます。

$Q$ は $Γ, ω, ω^{'}$ の根心。

命題 5

$O, Q, R$ は共線。

系の反転

$M, N, P, P^{'}$ は共円。

(実は、これら $3$ つの命題は $1$ つの定理に圧縮できます。)

$Q$ は $△ O P P^{'}$ の垂心。

$∠ O R P = 90^{\circ}, P N ⊥ O P, P^{'} M ⊥ O P$

$O R$ は $M N P P^{'}$ の外接円と $γ$ の根軸。

$A M B R, X N Y R$ は調和四角形。

配景写像

調和点列 $A, Q, B, P$ を $P^{'}$ 中心の配景写像で $ω^{'}$ にうつすと、四角形 $A M B R$ にうつる。
$X N Y R$ についても同様。

反転

調和四角形 $A O B P^{'}$ を $γ$ で反転したものが四角形 $A M B R$ である。
対称性より、 $X N Y R$ も調和四角形。
なお、 $X N Y R$ については、調和点列 $X Q Y P^{'}$ の反転と考えてもよい。

symmedian

極と極線といえばsymmedianです。
やっぱりsymmedianの性質は射影幾何ルートで示す方が嬉しいですよね？
ということで示します。
Metachickさんの記事での証明を共役定理で短縮しました。

直線 $A P$ は $△ A X Y$ の $A$ -symedianである。

symmedianと共役定理

$A, O, M, P^{'}$ は共円であるから，
$∠ A X B = ∠ A O P^{'} = ∠ A M P^{'} = ∠ A M Y$
$A, X, Y, B$ は共円であるから，
$∠ X B A = ∠ X Y A = ∠ M Y A$
よって、 $△ A X B ∽ △ A M Y$ であるから、 $∠ Y A M = ∠ B A X = ∠ P A X$
したがって、 $A P$ は $△ A X Y$ の $A$ -symmedianである。

対称性を利用するとこの定理は $4$ つに増えます。

直線 $B P$ は $△ B X Y$ の $B$ -symmedianである。
直線 $X P^{'}$ は $△ X A B$ の $X$ -symmedianである。
直線 $Y P^{'}$ は $△ Y A B$ の $Y$ -symmedianである。

補遺

実は、定理1より先に補題2を示せば、反転なしで定理1を示せます。

補題 2

$△ P X A ∽ △ P B X, △ P Y A ∽ △ P B Y$ より、
$| \frac{X A}{X B} | = | \frac{P A}{P X} | = | \frac{Y A}{Y B} |$ , $| (A, B; X, Y) | = 1$
$4$ 点の位置関係より、複比は負であるから、 $A, B, X, Y$ は調和四角形。