Legendreの倍数公式

ガンマ関数とベータ関数の関係式より

$\displaystyle{B(2z)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(z)}{\Gamma(2z)}}$

また、ベータ関数の三角関数を用いた積分表示より

$\displaystyle{B(z,z)=2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{2z-1}\theta cos^{2z-1}\theta d\theta}$

$\displaystyle{=\frac{2}{2^{2z-1}}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{2z-1}2\theta d\theta}$（倍角公式）

$\displaystyle{=\frac{1}{2^{2z-1}}\int^{\pi}_{0}sin^{2z-1}\phi d\phi}$($2\theta=\phi$と置換)

$\displaystyle{=\frac{2}{2^{2z-1}}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{2z-1}\phi d\phi}$(偶関数の性質)

$\displaystyle{=\frac{1}{2^{2z-1}}B(z,\frac{1}{2})}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2^{2z-1}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(z)}{\Gamma(z+\frac{1}{2})}}$

従って、最初の式と合わせて

$\displaystyle{\frac{\Gamma(z)\Gamma(z)}{\Gamma(2z)}}=\frac{1}{2^{2z-1}} \cdot \frac{\Gamma(z)\sqrt{\pi}}{\Gamma(z+\frac{1}{2})}$

$\displaystyle{\iff \Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}$