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大学数学基礎解説
文献あり

Legendreの倍数公式

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 こんにちは。今日は、ガンマ関数の重要な公式、Legendreの倍数公式の紹介をしたいと思います。最後まで読んでくれたらうれしいです。

Legendre's diplication fomula

$\displaystyle{\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}$

ガンマ関数とベータ関数の関係式より

$\displaystyle{B(2z)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(z)}{\Gamma(2z)}}$

また、ベータ関数の三角関数を用いた積分表示より

$\displaystyle{B(z,z)=2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{2z-1}\theta cos^{2z-1}\theta d\theta}$

$\displaystyle{=\frac{2}{2^{2z-1}}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{2z-1}2\theta d\theta}$(倍角公式)

$\displaystyle{=\frac{1}{2^{2z-1}}\int^{\pi}_{0}sin^{2z-1}\phi d\phi}$($2\theta=\phi$と置換)

$\displaystyle{=\frac{2}{2^{2z-1}}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{2z-1}\phi d\phi}$(偶関数の性質)

$\displaystyle{=\frac{1}{2^{2z-1}}B(z,\frac{1}{2})}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2^{2z-1}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(z)}{\Gamma(z+\frac{1}{2})}}$

従って、最初の式と合わせて

$\displaystyle{\frac{\Gamma(z)\Gamma(z)}{\Gamma(2z)}}=\frac{1}{2^{2z-1}} \cdot \frac{\Gamma(z)\sqrt{\pi}}{\Gamma(z+\frac{1}{2})}$

$\displaystyle{\iff \Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}$

以上で証明を終わります。一応、途中で使ったベータ関数の三角関数を用いた積分表示について説明します。

$\displaystyle{B(x,y)=2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin^{2z-1}\theta cos^{2z-1}\theta d\theta}$

ベータ関数の定義は

Beta function

$\displaystyle{B(x,y)=\int^{1}_{0}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt}$

ですから、ここで$\displaystyle{t=sin^2\theta}$と置換すれば目的の式を得ます。

今回はここまでです。読んでくださってありがとうございました。

参考文献

投稿日:20221111

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木立
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