二項係数の逆数が付いたMZV
自分用に適当にまとめてみる。
※記事の中でインデックスの深さを明記しない場合があるが、空気を読んで解釈してほしい。
※過度な一般化はしない。
本題
$$ \ba \Z{k}{}{l}{}=\sum_{0=m_0< m_1<\cdots< m_a\\\ 0=n_0< n_1<\cdots< n_b}\frac{2^{2m_a}}{\boldsymbol{m}^{\boldsymbol{k}}\binom{2m_a}{m_a}}\frac{\l(\frac12\r)_{m_a}\l(\frac12\r)_{n_b}}{\l(\frac12\r)_{m_a+n_b}}\frac{1}{\l(\boldsymbol{n}-\frac{1}{2}\r)^{\boldsymbol{l}}} \ea $$
以下、$\displaystyle C(m,n)=\C{m}{n}$とする。
$$ \ba \Z{k}{\up}{l}{}=\Z{k}{}{l}{\to} \ea $$
部分分数分解により、
$$
\sum_{n_b< n_{b+1}}\frac{1}{n_{b+1}-\frac{1}{2}}\frac{\poch{\frac12}{n_{b+1}}}{\poch{\frac12}{m_a+n_{b+1}}}=\frac1{m_a}\frac{\poch{\frac12}{n_b}}{\poch{\frac12}{m_a+n_b}}
$$
両辺に$\displaystyle\poch{\frac12}{m_a}$を掛けると
$$
\frac1{m_a}C(m_a,n_b)=\sum_{n_b< n_{b+1}}\frac{1}{n_{b+1}-\frac{1}{2}}C(m_a,n_{b+1})
$$
より従う。
$$ \Z{k}{\to}{l}{}=\Z{k}{}{l}{\up} $$
$\displaystyle\frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{n!}{\poch{\frac12}{n}}$に注意すると、部分分数分解により、
$$
\sum_{m_a< m_{a+1}}\frac{2^{2m_{a+1}}}{m_{a+1}\binom{2m_{a+1}}{m_{a+1}}}\frac{\poch{\frac12}{m_{a+1}}}{\poch{\frac12}{m_{a+1}+n_b}}=\frac{2^{2m_a}}{\l(n_b-\frac12\r)\binom{2m_a}{m_a}}\frac{\poch{\frac12}{m_a}}{\poch{\frac12}{m_a+n_b}}
$$
両辺に$\displaystyle\poch{\frac12}{n_b}$を掛けると
$$
\sum_{m_a< m_{a+1}}\frac{2^{2m_{a+1}}}{m_{a+1}\binom{2m_{a+1}}{m_{a+1}}}C(m_{a+1},n_b)=\frac{2^{2m_a}}{\l(n_b-\frac12\r)\binom{2m_a}{m_a}}C(m_a,n_b)
$$
より従う。
$$ \ba \Z{k}{\up}{l}{}&=\Z{k}{}{l}{\to}\\ \Z{k}{\to}{l}{}&=\Z{k}{}{l}{\up} \ea $$
$\displaystyle\Z{k}{}{\varnothing}{}$に対して輸送関係式を適用していくことで次が分かる。
$$ \Z{k}{}{\varnothing}{}=\Z{\varnothing}{}{k^\dagger}{} $$
$\displaystyle\Z{k}{}{\varnothing}{}=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{2^{2n_r}}{\boldsymbol{n}^\boldsymbol{k}\binom{2n_r}{n_r}}$，$\displaystyle\Z{\varnothing}{}{k}{}=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{\l(\boldsymbol{n}-\frac12\r)^\boldsymbol{k}}$より、最大の変数に二項係数の逆数が付いた級数をMtV (AMZV) で表せたことになる。
計算例
$$ \ba \sum_{0< m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_1m_2^2\binom{2m_2}{m_2}}&=\sum_{0< m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_1m_2\binom{2m_2}{m_2}}\frac{1}{m_2}C(m_2,0)\\ &=\sum_{0< m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_1m_2\binom{2m_2}{m_2}}\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}C(m_2,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}\sum_{0< m_1}\frac{1}{m_1}\sum_{m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_2\binom{2m_2}{m_2}}C(m_2,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}\sum_{0< m_1}\frac{1}{m_1}\frac{2^{2m_1}}{\l(n_1-\frac12\r)\binom{2m_1}{m_1}}C(m_1,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac12\r)^2}\sum_{0< m_1}\frac{2^{2m_1}}{m_1\binom{2m_1}{m_1}}C(m_1,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac{1}{2}\r)^3}C(0,n_1)\\ &=7ζ(3) \ea $$
応用
次のような級数を考える。
$$
\ba
\sum_{0< m_1< m_2}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1m_2^2}\frac{2^{2m_2}}{\binom{2m_2}{m_2}}
&=\sum_{0< m_1< m_2}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1m_2}\frac{2^{2m_2}}{\binom{2m_2}{m_2}}\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}C(m_2,n_1)\\
&=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}\sum_{0< m_1}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1}\frac{2^{2m_1}}{\l(n_1-\frac12\r)\binom{2m_1}{m_1}}C(m_1,n_1)\\
&=\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac12\r)^2}\sum_{0< m_1}\frac{1}{m_1}C(m_1,n_1)
\ea
$$
ここで次の補題を示す。
$$ \sum_{0< m}\frac{1}{m}C(m,n)=-2\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{2n-1+m} $$
$\displaystyle a_n:=\sum_{0< m}\frac{1}{m}C(m,n)$とする。$1< n$のとき、
$$
\ba
a_{n-1}-a_n&=\sum_{0< m}\frac{\poch{\frac12}{m}}{m}\frac{\poch{\frac12}{n}}{\poch{\frac12}{m+n}}\frac{2m}{2n-1}\\
&=\frac{2}{2n-1}\sum_{0< m}\frac{\poch{\frac12}{m}\poch{\frac12}{n}}{\poch{\frac12}{m+n}}\\
&=\frac{1}{(2n-1)(n-1)}
\ea
$$
よって$\displaystyle a_n=-\frac{1}{(n-1)(2n-1)}+a_{n-1}$であるから、これを帰納的に適用して
$$ a_n=a_1-\sum_{m=1}^{n-1}\frac{1}{m(2m+1)}$$
定義から$\displaystyle a_1=\sum_{0< m}\frac{1}{m(2m+1)}$なので
$$ a_n=\sum_{n\leq m}\frac{1}{m(2m+1)}$$
が分かり、結局
$$
\ba
\sum_{0< m}\frac{1}{m}C(m,n)&=\sum_{n\leq m}\frac{1}{m(2m-1)}\\
&=2\sum_{n\leq m}\l(\frac{1}{2m}-\frac{1}{2m+1}\r)\\
&=2\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{2n+m}\\
&=-2\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{2n-1+m}
\ea
$$
先程の式に補題を適用して、
$$
\ba
\sum_{0< m_1< m_2}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1m_2^2}\frac{2^{2m_2}}{\binom{2m_2}{m_2}}
&=-2\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac12\r)^2}\sum_{0< n_2}\frac{(-1)^{n_2}}{2n_1-1+n_2}\\
&=-8\sum_{0< n_1,n_2}\frac{(-1)^{n_2}}{(2n_1-1)^2(2n_1-1+n_2)}\\
&=-4\sum_{0< n_1,n_2}\frac{(1-(-1)^{n_1})(-1)^{n_2}}{n_1^2(n_1+n_2)}\\
&=-4\l(\zeta(\overline2,\overline1)-\zeta(2,\overline1)\r)\\
&=π^2\ln2-\frac{7}{2}\zeta(3)
\ea
$$
となる。これを一般化する。
$$
\ba
R(\boldsymbol k)&:=\sum_{0< m_1<\cdots< m_a}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{\boldsymbol{m}^{\boldsymbol k}}\frac{2^{2m_a}}{\binom{2m_a}{m_a}}\\
S(\boldsymbol k)&:=-2\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\ \ \ 0< m}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^\boldsymbol k}\frac{(-1)^m}{2m_a-1+m}\\
\ea
$$
とする (アルファベットは適当) 。定義から、$\displaystyle R(k)=\zeta(k)$である。先程の例と同様に計算することで、
$$
\ba
R(k,\boldsymbol k)&=\sum_{0< m_1<\cdots< m_a}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^{{\boldsymbol k}^\dagger}}\sum_{0< m}\frac{1}{m^k}C(m,m_a)\\
&=\sum_{0< m_1<\cdots< m_a}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^{{\boldsymbol k}^\dagger}}\sum_{m_a< m_{a+1}<\cdots< m_{a+k-1}}\frac{1}{\l(m_{a+1}-\frac12\r)\cdots\l(m_{a+k-1}-\frac12\r)}\sum_{0< m}\frac{1}{m}C(m,m_{a+k-1})\\
&=S({\boldsymbol k}^\dagger,\{1\}^{k-1})
\ea
$$
$$
\ba
S(\boldsymbol k)&=-2\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\ \ \ 0< m}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^\boldsymbol k}\frac{(-1)^m}{2m_a-1+m}\\
&=-2^{1+\mathrm{wt}(\boldsymbol k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\ \ \ 0< m}\frac{1}{\l(2\boldsymbol m-1\r)^\boldsymbol k}\frac{(-1)^m}{2m_a-1+m}\\
&=-2^{1+\mathrm{wt}(\boldsymbol k)-\mathrm{dep}(\boldsymbol k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\ \ \ 0< m}\frac{\l(1-(-1)^{\boldsymbol m}\r)}{{\boldsymbol m}^{\boldsymbol k}}\frac{(-1)^m}{m_a+m}\\
&=2^{1+\mathrm{wt}(\boldsymbol k)-\mathrm{dep}(\boldsymbol k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_{a+1}}\frac{\l(1-(-1)^{m_1}\r)\cdots\l(1-(-1)^{m_a}\r)(-1)^{m_{a+1}}}{{m_1}^{k_1}\cdots{m_a}^{k_a}m_{a+1}}
\ea
$$
よって、$R(\boldsymbol k)$はAMZVで書けることが分かる (どうやらMtVの線形結合になりそうなのだが、示せなかった) 。
計算例 (おまけ)
$$ \ba R(1,2,3,4)&=S(1,1,2,1,2,2)\\ &=2^4\sum_{0< m_1< m_2< m_3< m_4< m_5< m_6< m_7}\frac{(1-(-1)^{m_1})(1-(-1)^{m_2})(1-(-1)^{m_3})(1-(-1)^{m_4})(1-(-1)^{m_5})(1-(-1)^{m_6})(-1)^{m_7}}{m_1m_2m_3^2m_4m_5^2m_6^2m_7}\\ &=16(\zeta(1,1,2,1,2,2,\ol1)-\zeta(\ol1,1,2,1,2,2,\ol1)-\zeta(1,\ol1,2,1,2,2,\ol1)-\zeta(1,1,\ol2,1,2,2,\ol1)-\zeta(1,1,2,\ol1,2,2,\ol1)-\zeta(1,1,2,1,\ol2,2,\ol1)-\zeta(1,1,2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(\ol1,\ol1,2,1,2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,\ol2,1,2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,2,\ol1,2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,2,1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,\ol2,1,2,2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,2,\ol1,2,2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,2,1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,1,\ol2,\ol1,2,2,\ol1)+ \zeta(1,1,\ol2,1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(1,1,\ol2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,1,2,\ol1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(1,1,2,\ol1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,1,2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,\ol2,1,2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,2,\ol1,2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,2,1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,2,1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,\ol2,\ol1,2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,\ol2,1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,\ol2,1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,2,\ol1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,2,\ol1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,\ol2,\ol1,2,2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,\ol2,1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,\ol2,1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,2,\ol1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,2,\ol1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,1,\ol2,\ol1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(1,1,\ol2,\ol1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,1,\ol2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,1,2,\ol1,\ol2,\ol2,\ol1)+\cdots (もう無理) ) \ea $$
感想
応用のほうも連結和でいい感じにできるんだろうが、僕は簡単なことしかできないので頭がバグりそうになって諦めた。誰かいい感じにまとめてほしい。あと、応用のところは最小変数にこだわる必要はなさそう (試してないけど) 。誤植・勘違い・計算ミスとかあったらすいません。