二項係数の逆数が付いたMZV

自分用に適当にまとめてみる。
※記事の中でインデックスの深さを明記しない場合があるが、空気を読んで解釈してほしい。
※過度な一般化はしない。

本題

以下、$\displaystyle C(m,n)=\C{m}{n}$とする。

$\displaystyle\Z{k}{}{\varnothing}{}$に対して輸送関係式を適用していくことで次が分かる。

$\displaystyle\Z{k}{}{\varnothing}{}=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{2^{2n_r}}{\boldsymbol{n}^\boldsymbol{k}\binom{2n_r}{n_r}}$，$\displaystyle\Z{\varnothing}{}{k}{}=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{\l(\boldsymbol{n}-\frac12\r)^\boldsymbol{k}}$より、最大の変数に二項係数の逆数が付いた級数をMtV (AMZV) で表せたことになる。

計算例

$$ \ba 　\sum_{0< m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_1m_2^2\binom{2m_2}{m_2}}&=\sum_{0< m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_1m_2\binom{2m_2}{m_2}}\frac{1}{m_2}C(m_2,0)\\ &=\sum_{0< m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_1m_2\binom{2m_2}{m_2}}\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}C(m_2,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}\sum_{0< m_1}\frac{1}{m_1}\sum_{m_1< m_2}\frac{2^{2m_2}}{m_2\binom{2m_2}{m_2}}C(m_2,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}\sum_{0< m_1}\frac{1}{m_1}\frac{2^{2m_1}}{\l(n_1-\frac12\r)\binom{2m_1}{m_1}}C(m_1,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac12\r)^2}\sum_{0< m_1}\frac{2^{2m_1}}{m_1\binom{2m_1}{m_1}}C(m_1,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac{1}{2}\r)^3}C(0,n_1)\\ &=7ζ(3) \ea $$

応用

次のような級数を考える。
$$ \ba 　\sum_{0< m_1< m_2}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1m_2^2}\frac{2^{2m_2}}{\binom{2m_2}{m_2}} &=\sum_{0< m_1< m_2}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1m_2}\frac{2^{2m_2}}{\binom{2m_2}{m_2}}\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}C(m_2,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{n_1-\frac12}\sum_{0< m_1}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1}\frac{2^{2m_1}}{\l(n_1-\frac12\r)\binom{2m_1}{m_1}}C(m_1,n_1)\\ &=\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac12\r)^2}\sum_{0< m_1}\frac{1}{m_1}C(m_1,n_1) \ea $$
ここで次の補題を示す。

先程の式に補題を適用して、
$$ \ba 　\sum_{0< m_1< m_2}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{m_1m_2^2}\frac{2^{2m_2}}{\binom{2m_2}{m_2}} &=-2\sum_{0< n_1}\frac{1}{\l(n_1-\frac12\r)^2}\sum_{0< n_2}\frac{(-1)^{n_2}}{2n_1-1+n_2}\\ &=-8\sum_{0< n_1,n_2}\frac{(-1)^{n_2}}{(2n_1-1)^2(2n_1-1+n_2)}\\ &=-4\sum_{0< n_1,n_2}\frac{(1-(-1)^{n_1})(-1)^{n_2}}{n_1^2(n_1+n_2)}\\ &=-4\l(\zeta(\overline2,\overline1)-\zeta(2,\overline1)\r)\\ &=π^2\ln2-\frac{7}{2}\zeta(3) \ea $$
となる。これを一般化する。

$$ \ba 　R(\boldsymbol k)&:=\sum_{0< m_1<\cdots< m_a}\frac{\binom{2m_1}{m_1}}{2^{2m_1}}\frac{1}{\boldsymbol{m}^{\boldsymbol k}}\frac{2^{2m_a}}{\binom{2m_a}{m_a}}\\ S(\boldsymbol k)&:=-2\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\　　\ \ 0< m}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^\boldsymbol k}\frac{(-1)^m}{2m_a-1+m}\\ \ea $$
とする (アルファベットは適当) 。定義から、$\displaystyle R(k)=\zeta(k)$である。先程の例と同様に計算することで、
$$ \ba 　R(k,\boldsymbol k)&=\sum_{0< m_1<\cdots< m_a}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^{{\boldsymbol k}^\dagger}}\sum_{0< m}\frac{1}{m^k}C(m,m_a)\\ &=\sum_{0< m_1<\cdots< m_a}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^{{\boldsymbol k}^\dagger}}\sum_{m_a< m_{a+1}<\cdots< m_{a+k-1}}\frac{1}{\l(m_{a+1}-\frac12\r)\cdots\l(m_{a+k-1}-\frac12\r)}\sum_{0< m}\frac{1}{m}C(m,m_{a+k-1})\\ &=S({\boldsymbol k}^\dagger,\{1\}^{k-1}) \ea $$
$$ \ba 　S(\boldsymbol k)&=-2\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\　　\ \ 0< m}\frac{1}{\l(\boldsymbol m-\frac12\r)^\boldsymbol k}\frac{(-1)^m}{2m_a-1+m}\\ &=-2^{1+\mathrm{wt}(\boldsymbol k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\　　\ \ 0< m}\frac{1}{\l(2\boldsymbol m-1\r)^\boldsymbol k}\frac{(-1)^m}{2m_a-1+m}\\ &=-2^{1+\mathrm{wt}(\boldsymbol k)-\mathrm{dep}(\boldsymbol k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_a\\　　\ \ 0< m}\frac{\l(1-(-1)^{\boldsymbol m}\r)}{{\boldsymbol m}^{\boldsymbol k}}\frac{(-1)^m}{m_a+m}\\ &=2^{1+\mathrm{wt}(\boldsymbol k)-\mathrm{dep}(\boldsymbol k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_{a+1}}\frac{\l(1-(-1)^{m_1}\r)\cdots\l(1-(-1)^{m_a}\r)(-1)^{m_{a+1}}}{{m_1}^{k_1}\cdots{m_a}^{k_a}m_{a+1}} \ea $$
よって、$R(\boldsymbol k)$はAMZVで書けることが分かる (どうやらMtVの線形結合になりそうなのだが、示せなかった) 。

計算例 (おまけ)

$$ \ba 　R(1,2,3,4)&=S(1,1,2,1,2,2)\\ &=2^4\sum_{0< m_1< m_2< m_3< m_4< m_5< m_6< m_7}\frac{(1-(-1)^{m_1})(1-(-1)^{m_2})(1-(-1)^{m_3})(1-(-1)^{m_4})(1-(-1)^{m_5})(1-(-1)^{m_6})(-1)^{m_7}}{m_1m_2m_3^2m_4m_5^2m_6^2m_7}\\ &=16(\zeta(1,1,2,1,2,2,\ol1)-\zeta(\ol1,1,2,1,2,2,\ol1)-\zeta(1,\ol1,2,1,2,2,\ol1)-\zeta(1,1,\ol2,1,2,2,\ol1)-\zeta(1,1,2,\ol1,2,2,\ol1)-\zeta(1,1,2,1,\ol2,2,\ol1)-\zeta(1,1,2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(\ol1,\ol1,2,1,2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,\ol2,1,2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,2,\ol1,2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,2,1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(\ol1,1,2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,\ol2,1,2,2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,2,\ol1,2,2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,2,1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(1,\ol1,2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,1,\ol2,\ol1,2,2,\ol1)+ \zeta(1,1,\ol2,1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(1,1,\ol2,1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,1,2,\ol1,\ol2,2,\ol1)+ \zeta(1,1,2,\ol1,2,\ol2,\ol1)+ \zeta(1,1,2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,\ol2,1,2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,2,\ol1,2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,2,1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,\ol1,2,1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,\ol2,\ol1,2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,\ol2,1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,\ol2,1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,2,\ol1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,2,\ol1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(\ol1,1,2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,\ol2,\ol1,2,2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,\ol2,1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,\ol2,1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,2,\ol1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,2,\ol1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,\ol1,2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,1,\ol2,\ol1,\ol2,2,\ol1)- \zeta(1,1,\ol2,\ol1,2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,1,\ol2,1,\ol2,\ol2,\ol1)- \zeta(1,1,2,\ol1,\ol2,\ol2,\ol1)+\cdots (もう無理) ) \ea $$

感想

応用のほうも連結和でいい感じにできるんだろうが、僕は簡単なことしかできないので頭がバグりそうになって諦めた。誰かいい感じにまとめてほしい。あと、応用のところは最小変数にこだわる必要はなさそう (試してないけど) 。誤植・勘違い・計算ミスとかあったらすいません。