ゲージ理論または主G束の微分幾何で基本的な役割を果たすゲージ場、曲率、共変微分、共変外微分の定義をまとめます。Yang-Mills接続の安定性についての記事を書きたいので自分の中での整理も兼ねて準備のための記事です。相当手抜きです。
を次元多様体、をLie群、をのLie環とします。の基底を、を主束とします。の開被覆をとします。
ゲージ場
ゲージ場
のゲージ場(ゲージポテンシャル、ゲージ接続)とは、各上のに値を取る1形式
である。またの変換関数に対して、の関係はゲージ変換
で与えられる。
曲率
に値を取る1形式に対して、微分形式の外積とのLie括弧を同時に計算する記号を
と定義します。
曲率
のゲージ場に対して、曲率(フィールドストレングス)とは各上のに値を取る2形式で
で与えられる。
多くのゲージ理論ではは線形Lie群なので、は行列で与えることができます。このときを要素が1形式である行列と見なすことで、
とできます。ただしは行列の積と要素である1形式どうしの外積を同時に実行します。よって曲率は
と書くこともできます。またと書くと
なので曲率の成分は
と表すことが出来ます。
同伴ベクトル束の共変微分
を表現とします。表現に関する同伴ベクトル束をとします。に値を取る形式をと書くことします。
共変微分
に対して、共変微分 を
で定義する。ただし、はを滑らかな写像と見なしたときの微分写像である。のフレーム場をとし、のに関する表現行列をと書くとき、
に対して、共変微分の成分表示は
である。
同伴ベクトル束の共変外微分
に対しては、を拡張した共変外微分が定義されます。
共変外微分
共変外微分を
で定義する。は行列の作用と微分形式の外積を同時に計算する記号である。のフレーム場をとし、のに関する表現行列をと書くとき、
に対して、共変外微分の成分表示は
である。