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【ゲージ理論】ゲージ場、曲率、共変微分、共変外微分の定義

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 ゲージ理論または主G束の微分幾何で基本的な役割を果たすゲージ場、曲率、共変微分、共変外微分の定義をまとめます。Yang-Mills接続の安定性についての記事を書きたいので自分の中での整理も兼ねて準備のための記事です。相当手抜きです。

 Mm次元多様体、GをLie群、gGのLie環とします。gの基底をTa, (a=1,2,,n)P=P(M,G)を主G束とします。Mの開被覆を(Uα,{xαμ}),(Uβ,{xβμ}),とします。  

ゲージ場

ゲージ場

Pゲージ場(ゲージポテンシャル、ゲージ接続)とは、各Uα上のgに値を取る1形式
Aα=Aμa(x)dxαμTa
である。またPの変換関数fαβ:UαUβGに対して、Aα,Aβの関係はゲージ変換
Aβ=fαβ1Aαfαβ+fαβ1dfαβ
で与えられる。

曲率

 gに値を取る1形式A=Aμa(x)dxαμTa, B=Bμa(x)dxαμTaに対して、微分形式の外積とgのLie括弧を同時に計算する記号を
[AB]:=AμaBνbdxμdxν[Ta,Tb]
と定義します。

曲率

Pのゲージ場(Uα,Aα),(Uβ,Aβ),に対して、曲率(フィールドストレングス)とは各Uα上のgに値を取る2形式で
Fα:=dAα+12[AαAα]
で与えられる。

 多くのゲージ理論ではGは線形Lie群なので、Taは行列で与えることができます。このときAを要素が1形式である行列と見なすことで、
[AA]=AμaAνbdxμdxν[Ta,Tb]=AμaAνbdxμdxν(TaTbTaTb)=2(AμadxμTa)(AνbdxνTb)=2AA
とできます。ただしAAは行列の積と要素である1形式どうしの外積を同時に実行します。よって曲率は
F=dA+AA
と書くこともできます。またAμ=AμaTaと書くと
F=dA+12[AA]=12(xμAνxνAμ+[Aμ,Aν])dxμdxμ
なので曲率の成分は
Fμν=xμAνxνAμ+[Aμ,Aν]
と表すことが出来ます。

同伴ベクトル束の共変微分

 ρ:GGL(r,K), (K=R,C)を表現とします。表現ρに関する同伴ベクトル束をE=P×ρKrとします。Eに値を取るk形式をΩk(E)と書くことします。

共変微分

 ψΓ(E)に対して、共変微分 DA:Γ(E)=Ω0(E)Ω1(E)
DAψ:=dψ+ρ(A)ψ
で定義する。ただし、ρρを滑らかな写像と見なしたときの微分写像である。Eのフレーム場を{Ei}とし、ρ(A){Ei}に関する表現行列をρ(A)jiと書くとき、
ψ=ψiEi, (ψiΩ0(M))に対して、共変微分の成分表示は
DAψ=(DAψ)iEi(DAψ)i=dψi+ρ(AμaTa)jiψjdxμ
である。

同伴ベクトル束の共変外微分

 Ωk(E),(k1)に対しては、DAを拡張した共変外微分が定義されます。

共変外微分

 共変外微分dA:Ωk(E)Ωk+1(E),(k1)
dAψ=dψ+ρ(A)ψ
で定義する。ρ(A)ψは行列の作用と微分形式の外積を同時に計算する記号である。Eのフレーム場を{Ei}とし、ρ(A){Ei}に関する表現行列をρ(A)jiと書くとき、
ψ=ψiEi, (ψiΩk(M))に対して、共変外微分の成分表示は
dAψ=(dAψ)iEi(dAψ)i=dψi+ρ(AμaTa)jidxμψj
である。

投稿日:20221116
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Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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