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Gram-Schmidtの正規直交化法の証明

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※本記事は, 既に別所で投稿した内容 をMathlogのために書き直したものです.

Gram-Schmidtの正規直交化法とは?

計量ベクトル空間に属する線形独立な有限個のベクトルが与えられたとき,それらと同じ部分空間を張る正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種.
Wikipedia より引用)

記号

  • V:計量ベクトル空間
  • (v,w)v,wV の内積
  • |v|=(v,v)vV のノルム
  • v1,v2,,vnV:線形独立なベクトル

方法

直交化

u1:=v1とする.またj=2,3,,nに対して

uj:=vjk=1j1(uk,vj)(uk,uk)uk
と定める.このときu1,u2,,unVは直交系である.

数学的帰納法により証明する.
u1=v1は零ベクトルでない.またv1,v2は線形独立であるからu2=v2(u1,v2)(u1,u1)u1=v2(u1,v2)(u1,u1)v1は零ベクトルでない(もし零ベクトルであるとするとv2=(u1,v2)(u1,u1)v1となり,v1,v2は線形従属ということになるが,これは矛盾である).さらに

(u1,u2)=(u1,v2(u1,v2)(u1,u1)u1)=(u1,v2)(u1,v2)(u1,u1)(u1,u1)=0
である.従ってu1,u2は直交系である.

次にu1,u2,,ujj=2,3,,n1)が直交系であると仮定する.v1,v2,,vnは線形独立であるから

uj+1=vj+1k=1j(uk,vj+1)(uk,uk)uk
は零ベクトルでない.またi=1,2,,jに対して

(ui,uj+1)=(ui,vj+1k=1j(uk,vj+1)(uk,uk)uk)=(ui,vj+1)k=1j(uk,vj+1)(uk,uk)(ui,uk)=(ui,vj+1)(ui,vj+1)(ui,ui)(ui,ui)=0
である.従ってu1,u2,,uj+1は直交系である.
以上よりu1,u2,,unは直交系である.

正規化

u1,u2,,unを用いて,各 j=1,2,,nに対して

ej=1|uj|uj
とすればe1,e2,,enVは正規直交系である.

付録: 直交系の定義と性質

直交系

v1,v2,,vnV直交系であるとは,各i=1,2,,nに対してviが零ベクトルでなく,かつijのとき(vi,vj)=0となることを言う.

線形独立性

直交系v1,v2,,vnVは線形独立である.

k=1nckvk=0とする.このとき,v1,v2,,vnが直交系であることに注意すると,j=1,2,,nに対して

0=(0,vj)=(k=1nckvk,vj)=k=1nck(vk,vj)=cj(vj,vj)
となるからcj=0である.

投稿日:2020119
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  1. Gram-Schmidtの正規直交化法とは?
  2. 記号
  3. 方法
  4. 直交化
  5. 正規化
  6. 付録: 直交系の定義と性質
  7. 線形独立性