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計量ベクトル空間に属する線形独立な有限個のベクトルが与えられたとき,それらと同じ部分空間を張る正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種.( Wikipedia より引用)
u1:=v1とする.またj=2,3,⋯,nに対して
uj:=vj−∑k=1j−1(uk,vj)(uk,uk)ukと定める.このときu1,u2,⋯,un∈Vは直交系である.
数学的帰納法により証明する.u1=v1は零ベクトルでない.またv1,v2は線形独立であるからu2=v2−(u1,v2)(u1,u1)u1=v2−(u1,v2)(u1,u1)v1は零ベクトルでない(もし零ベクトルであるとするとv2=(u1,v2)(u1,u1)v1となり,v1,v2は線形従属ということになるが,これは矛盾である).さらに
(u1,u2)=(u1,v2−(u1,v2)(u1,u1)u1)=(u1,v2)−(u1,v2)(u1,u1)(u1,u1)=0である.従ってu1,u2は直交系である.
次にu1,u2,⋯,uj(j=2,3,⋯,n−1)が直交系であると仮定する.v1,v2,⋯,vnは線形独立であるから
uj+1=vj+1−∑k=1j(uk,vj+1)(uk,uk)ukは零ベクトルでない.またi=1,2,⋯,jに対して
(ui,uj+1)=(ui,vj+1−∑k=1j(uk,vj+1)(uk,uk)uk)=(ui,vj+1)−∑k=1j(uk,vj+1)(uk,uk)(ui,uk)=(ui,vj+1)−(ui,vj+1)(ui,ui)(ui,ui)=0である.従ってu1,u2,⋯,uj+1は直交系である.以上よりu1,u2,⋯,unは直交系である.
u1,u2,⋯,unを用いて,各 j=1,2,⋯,nに対して
ej=1|uj|ujとすればe1,e2,⋯,en∈Vは正規直交系である.
v1,v2,⋯,vn∈Vが直交系であるとは,各i=1,2,⋯,nに対してviが零ベクトルでなく,かつi≠jのとき(vi,vj)=0となることを言う.
直交系v1,v2,⋯,vn∈Vは線形独立である.
∑k=1nckvk=0とする.このとき,v1,v2,⋯,vnが直交系であることに注意すると,j=1,2,⋯,nに対して
0=(0,vj)=(∑k=1nckvk,vj)=∑k=1nck(vk,vj)=cj(vj,vj)となるからcj=0である.
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