大学数学基礎解説

Gram-Schmidtの正規直交化法の証明

線形代数

822

※本記事は，既に別所で投稿した内容をMathlogのために書き直したものです．

Gram-Schmidtの正規直交化法とは？

計量ベクトル空間に属する線形独立な有限個のベクトルが与えられたとき，それらと同じ部分空間を張る正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種．
（ Wikipedia より引用）

記号

$V$ ：計量ベクトル空間
$(v, w)$ ： $v, w \in V$ の内積
$| v | = \sqrt{(v, v)}$ ： $v \in V$ のノルム
$v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \in V$ ：線形独立なベクトル

方法

直交化

$u_{1} := v_{1}$ とする．また $j = 2, 3, \dots, n$ に対して

$u_{j} := v_{j} - \sum_{k = 1}^{j - 1} \frac{(u_{k}, v_{j})}{(u_{k}, u_{k})} u_{k}$
と定める．このとき $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} \in V$ は直交系である．

数学的帰納法により証明する．
$u_{1} = v_{1}$ は零ベクトルでない．また $v_{1}, v_{2}$ は線形独立であるから $u_{2} = v_{2} - \frac{(u_{1}, v_{2})}{(u_{1}, u_{1})} u_{1} = v_{2} - \frac{(u_{1}, v_{2})}{(u_{1}, u_{1})} v_{1}$ は零ベクトルでない（もし零ベクトルであるとすると $v_{2} = \frac{(u_{1}, v_{2})}{(u_{1}, u_{1})} v_{1}$ となり， $v_{1}, v_{2}$ は線形従属ということになるが，これは矛盾である）．さらに

$(u_{1}, u_{2}) = (u_{1}, v_{2} - \frac{(u_{1}, v_{2})}{(u_{1}, u_{1})} u_{1}) = (u_{1}, v_{2}) - \frac{(u_{1}, v_{2})}{(u_{1}, u_{1})} (u_{1}, u_{1}) = 0$
である．従って $u_{1}, u_{2}$ は直交系である．

次に $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{j}$ （ $j = 2, 3, \dots, n - 1$ ）が直交系であると仮定する． $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ は線形独立であるから

$u_{j + 1} = v_{j + 1} - \sum_{k = 1}^{j} \frac{(u_{k}, v_{j + 1})}{(u_{k}, u_{k})} u_{k}$
は零ベクトルでない．また $i = 1, 2, \dots, j$ に対して

$\begin{aligned} (u_{i}, u_{j + 1}) & = (u_{i}, v_{j + 1} - \sum_{k = 1}^{j} \frac{(u_{k}, v_{j + 1})}{(u_{k}, u_{k})} u_{k}) \\ = (u_{i}, v_{j + 1}) - \sum_{k = 1}^{j} \frac{(u_{k}, v_{j + 1})}{(u_{k}, u_{k})} (u_{i}, u_{k}) \\ = (u_{i}, v_{j + 1}) - \frac{(u_{i}, v_{j + 1})}{(u_{i}, u_{i})} (u_{i}, u_{i}) \\ = 0 \end{aligned}$
である．従って $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{j + 1}$ は直交系である．
以上より $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ は直交系である．