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大学数学基礎解説
文献あり

定値関手と定値関手のコンマ圏は圏の積である

圏論,普遍性,大学数学
271
0
$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{AA}[0]{\cat{A}} \newcommand{Ab}[0]{\mathcal{A}b} \newcommand{BB}[0]{\cat{B}} \newcommand{btl}[1]{\boxtimes_l^{#1}} \newcommand{btr}[1]{\boxtimes_r^{#1}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{cat}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{catcat}[0]{\mathsf{Cat}} \newcommand{CC}[0]{\cat{C}} \newcommand{chab}[0]{\operatorname{Ch}(\mathcal{A}b)} \newcommand{DD}[0]{\cat{D}} \newcommand{ecat}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{EE}[0]{\cat{E}} \newcommand{eps}[0]{\epsilon} \newcommand{es}[0]{\emptyset} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{func}[3]{{#1}\,\colon{#2}\to{#3}} \newcommand{gpd}[0]{\mathcal{G}\mathrm{pd}} \newcommand{id}[1]{1_{#1}} \newcommand{inn}[1]{\in\obb{#1}} \newcommand{mor}[3]{{#1}(#2,#3)} \newcommand{morr}[3]{\mor{\cat{#1}}{#2}{#3}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ob}[1]{\lvert{#1}\rvert} \newcommand{obb}[1]{\ob{\cat{#1}}} \newcommand{one}[0]{\mathbf{1}} \newcommand{P}[0]{\mathbf{P}} \newcommand{pchab}[0]{\operatorname{Ch}(\mathcal{A}b)_{\ge0}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{set}[0]{\textbf{Set}} \newcommand{ssg}[0]{\operatorname{Fun}(\mathbf{\Delta}^{op},\mathcal{Ab})} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

導入

久しぶりに記事を書きました．コンマ圏の定義を学んだので，二つの圏の積がコンマ圏の特別な場合であるということを (圏論の) 初学者向けに書きました．

この記事を通して，$\AA,\BB,\CC,\dots$で表される圏は全て小圏であることを仮定する．関手といったら共変関手のことを意味する．$\catcat$で小圏とその間の関手からなる圏を表す．全単射や圏同型 (が存在すること) を「$\cong$」で表すことがある．記号は主に [1] で扱われているものを用いた．

コンマ圏の構成

コンマ圏

$\AA$,$\BB$,$\CC$を圏として，$\func{F}{\AA}{\CC}$,$\func{G}{\BB}{\CC}$を関手とする．
$F$と$G$のコンマ圏 (comma category) $(F,G)$を以下で定める:

  • $(F,G)$の対象は，$A\inn{A}$,$B\inn{B}$と$\CC$での射$\func{f}{F(A)}{G(B)}$からなる組$(A,f,B)$である．
  • $(F,G)$の対象$(A,f,B)$,$(A',f',B')$に対して，$(A,f,B)$から$(A',f',B')$への$(F,G)$での射は，$\AA$での射$\func{a}{A}{A'}$と$\BB$での射$\func{b}{B}{B'}$の組$(a,b)$であって四角形
    \begin{xy} \xymatrix@=36pt{F(A)\ar[r]^-f\ar[d]_-{F(a)}&G(B)\ar[d]^-{G(b)}\\ F(A')\ar[r]^-{f'}&G(B')} \end{xy}
    を可換にするものである．
  • $(F,G)$での射$\func{(a,b)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}$,$\func{(a',b')}{(A',f',B')}{(A'',f'',B'')}$に対して，$(a,b)$と$(a',b')$の$(F,G)$での合成を$(a',b')\circ(a,b)=(a'\circ a,b'\circ b)$で定める．
  • $(F,G)$の対象$(A,f,B)$に対して，$(A,f,B)$の$(F,G)$での恒等射を$\id{(A,f,B)}=(\id{A},\id{B})$で定める．

細部の確認については，以下にまとめた．


$(a'\circ a,b'\circ b)$が$(A,f,B)$から$(A'',f'',B'')$への$(F,G)$での射であること:
$(a,b)$は$(A,f,B)$から$(A',f',B')$への$(F,G)$での射だから，$a$は$A$から$A'$への$\AA$での射であり，$b$は$B$から$B'$への$\BB$での射であり，四角形
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{F(A)\ar[r]^-f\ar[d]_-{F(a)}&G(B)\ar[d]^-{G(b)}\\ F(A')\ar[r]^-{f'}&G(B')} \end{xy}
は可換である．同様に，$(a',b')$は$(A',f',B')$から$(A'',f'',B'')$への$(F,G)$での射だから，$a'$は$A'$から$A''$への$\AA$での射であり，$b'$は$B'$から$B''$への$\BB$での射であり，四角形
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{F(A')\ar[r]^-{f'}\ar[d]_-{F(a')}&G(B')\ar[d]^-{G(b')}\\ F(A'')\ar[r]^-{f''}&G(B'')} \end{xy}
は可換である．まず，$a$と$a'$の$\AA$での合成$\func{a'\circ a}{A}{A''}$と$b$,$b'$の$\BB$での合成$\func{b'\circ b}{B}{B''}$が定まる．図式
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{F(A)\ar[r]^-f\ar[d]_-{F(a)}\ar@/_2.75pc/[dd]_-{F(a'\circ\,a)}&G(B)\ar[d]^-{G(b)}\ar@/^2.75pc/[dd]^-{G(b'\circ\,b)}\\ F(A')\ar[r]^-{f'}\ar[d]_-{F(a')}&G(B')\ar[d]^-{G(b')}\\ F(A'')\ar[r]^-{f''}&G(B'')} \end{xy}
において，内側の二つの四角形は上での議論から可換で，左右の三角形は$F$と$G$の関手性から可換だから，外側の四角形も可換であり，$(a'\circ a,b'\circ b)$は$(A,f,B)$から$(A'',f'',B'')$への$(F,G)$での射である．

$(\id{A},\id{B})$が$(A,f,B)$の$(F,G)$での自己射であること:
$\id{A}$は$A$の$\AA$での自己射で，$\id{B}$は$B$の$\BB$での自己射である．図式
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{F(A)\ar[r]^-f\ar[d]_-{\id{F(A)}}\ar@/_2.25pc/[d]_-{F(\id{A})}&G(B)\ar[d]^-{\id{G(B)}}\ar@/^2.25pc/[d]^-{G(\id{B})}\\ F(A)\ar[r]^-f&G(B)} \end{xy}
において，内側の四角形は恒等射の性質から可換で，左右の三角形は$F$と$G$の関手性から可換だから，外側の四角形も可換であり，$(\id{A},\id{B})$は$(A,f,B)$の$(F,G)$での自己射である．

$(F,G)$が圏であること:
$(F,G)$での射
\begin{align} (a,b)&\,\colon(A,f,B)\to(A',f',B'),\\ (a',b')&\,\colon(A',f',B')\to(A'',f'',B''),\\ (a'',b'')&\,\colon(A'',f'',B'')\to(A''',f''',B'''), \end{align}
を取るとき，$\AA$,$\BB$が圏をなすことから，
\begin{align} \id{(A',f',B')}\circ(a,b) &=(\id{A'},\id{B'})\circ(a,b) =(\id{A'}\circ a,\id{B'}\circ b) =(a,b),\\ (a,b)\circ\id{(A,f,B)} &=(a,b)\circ(\id{A},\id{B}) =(a\circ\id{A},b\circ\id{B}) =(a,b), \end{align}
及び
\begin{align} (a'',b'')\circ[(a',b')\circ(a,b)] &=(a'',b'')\circ(a'\circ a,b'\circ b) =(a''\circ(a'\circ a),b''\circ(b'\circ b))\\ &=((a''\circ a')\circ a,(b''\circ b')\circ b) =(a''\circ a',b''\circ b')\circ(a,b)\\ &=[(a'',b'')\circ(a',b')]\circ(a,b), \end{align}
が成り立つので，$(F,G)$は圏をなす．

圏$\AA$,$\BB$,$\CC$と関手$\func{F}{\AA}{\CC}$,$\func{G}{\BB}{\CC}$をしばらく固定して，コンマ圏$(F,G)$が標準的な関手と自然変換を備えていることを見ていこう．

関手$\func{U}{(F,G)}{\AA}$が以下で定まる:

  • $\func{U}{\ob{(F,G)}}{\obb{A}}$を，$(A,f,B)\in\ob{(F,G)}$に対して$A\in\obb{A}$を充てることで定める．
  • $(A,f,B),(A',f',B')\in\ob{(F,G)}$に対して，
    $$\func{U}{\mor{(F,G)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}}{\morr{A}{U(A,f,B)}{U(A',f',B')}}$$
    を，$(F,G)$での射$\func{(a,b)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}$に対して$\AA$での射$\func{a}{A}{A'}$を充てることで定める．

$(A,f,B),(A',f',B')\in\ob{(F,G)}$に対して$\morr{A}{U(A,f,B)}{U(A',f',B')}=\morr{A}{A}{A'}$が成り立つので，上の対応はきちんと定まっている．


$U$が$(F,G)$から$\AA$への関手であること:
$(A,f,B)\in\ob{(F,G)}$に対して，
$$U\bigl(\id{(A,f,B)}\bigr) =U(\id{A},\id{B}) =\id{A} =\id{U(A,f,B)},$$
であり，$(F,G)$での射$\func{(a,b)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}$,$\func{(a',b')}{(A',f',B')}{(A'',f'',B'')}$に対して，
$$U((a',b')\circ(a,b)) =U(a'\circ a,b'\circ b) =a'\circ a =U(a',b')\circ U(a,b),$$
だから，$U$は$(F,G)$から$\AA$への関手である．

関手$\func{V}{(F,G)}{\BB}$が以下で定まる:

  • $\func{V}{\ob{(F,G)}}{\obb{B}}$を，$(A,f,B)\in\ob{(F,G)}$に対して$B\in\obb{B}$を充てることで定める．
  • $(A,f,B),(A',f',B')\in\ob{(F,G)}$に対して，
    $$\func{V}{\mor{(F,G)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}}{\morr{B}{V(A,f,B)}{V(A',f',B')}}$$
    を，$(F,G)$での射$\func{(a,b)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}$に対して$\BB$での射$\func{b}{B}{B'}$を充てることで定める．

$V$が$(F,G)$から$\BB$への関手として定まっていることも$U$と同様に確認されるので，ここでは省略する．

$F\circ U$から$G\circ V$への自然変換$\alpha$が，$(A,f,B)\in\ob{(F,G)}$に対して$\alpha_{(A,f,B)}=f$で定まる．
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{(F,G)\ar[d]_-U\ar[r]^-V&\BB\ar[d]^-G\\ \AA\ar[r]^-F\ar@2[ru]^-\alpha&\CC} \end{xy}

$(A,f,B)\in\ob{(F,G)}$に対して，$f$は$F(A)=(F\circ U)(A,f,B)$から$G(B)=(G\circ V)(A,f,B)$への$\CC$での射だから，$\CC$での射の族
$$\bigl\{\func{\alpha_{(A,f,B)}}{(F\circ U)(A,f,B)}{(G\circ V)(A,f,B)}\bigr\}_{(A,f,B)\in\ob{(F,G)}}$$
が定まっている．


$\alpha=\bigl\{\alpha_{(A,f,B)}\bigr\}_{(A,f,B)}$が$F\circ U$から$G\circ V$への自然変換であること:
$(F,G)$での射$\func{(a,b)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}$に対して，四角形
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{(F\circ U)(A,f,B)\ar[rr]^-{\alpha_{(A,f,B)}}\ar[d]_-{(F\,\circ\,U)(a,b)}&&(G\circ V)(A,f,B)\ar[d]^-{(G\,\circ\,V)(a,b)}\\ (F\circ U)(A',f',B')\ar[rr]^-{\alpha_{(A',f',B')}}&&(G\circ V)(A',f',B')} \end{xy}
は
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{F(A)\ar[r]^-f\ar[d]_-{F(a)}&G(B)\ar[d]^-{G(b)}\\ F(A')\ar[r]^-{f'}&G(B')} \end{xy}
に等しく，$(F,G)$での射の定義よりこれは可換だから，$\alpha$は$F\circ U$から$G\circ V$への自然変換である．

コンマ圏の特徴付けを述べる前に，自然変換のGodement積 (または水平合成) とよばれる演算 (の簡単な場合) を紹介する．以下で定義する自然変換$\beta*\id{H}$は$\beta*H$と略記され，$\beta$と$H$のwhiskeringとよばれることもある．

恒等自然変換とのGodement積

圏$\EE$,$\EE'$,$\EE''$と関手$\func{H}{\EE}{\EE'}$,$\func{J,K}{\EE'}{\EE''}$と自然変換$\beta\colon J\Rightarrow K$に対して，$J\circ H$から$K\circ H$への自然変換$\beta*\id{H}$が，$E\inn{E}$に対して$(\beta*\id{H})_E=\beta_{H(E)}$で定まる．

$E\inn{E}$に対して$\beta_{H(E)}$は$J(H(E))=(J\circ H)(E)$から$K(H(E))=(K\circ H)(E)$への$\EE''$での射だから，$\EE''$での射の族
$$\{\func{(\beta*\id{H})_E}{(J\circ H)(E)}{(K\circ H)(E)}\}_{E\inn{E}}$$
が定まっている．

$\EE$での射$\func{e}{E}{E'}$に対して，四角形
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{(J\circ H)(E)\ar[r]^-{(\beta\,*\,\id{H})_E}\ar[d]_-{(J\circ H)(e)}&(K\circ H)(E)\ar[d]^-{(K\circ H)(e)}\\ (J\circ H)(E')\ar[r]^-{(\beta\,*\,\id{H})_{E'}}&(K\circ H)(E')} \end{xy}
は
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{J(H(E))\ar[r]^-{\beta_{H(E)}}\ar[d]_-{J(H(e))}&K(H(E))\ar[d]^-{K(H(e))}\\ J(H(E'))\ar[r]^-{\beta_{H(E')}}&K(H(E'))} \end{xy}
に等しく，$\beta$の自然性よりこれは可換だから，$\beta*\id{H}=\{(\beta*\id{H})_E\}_{E\inn{E}}$は$J\circ H$から$K\circ H$への自然変換である．

以下の命題は，$((F,G),U,V,\alpha)$が，関手と自然変換からなる
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{\bullet\ar[d]\ar[r]&\BB\ar[d]^-G\\ \AA\ar[r]^-F\ar@2[ru]&\CC} \end{xy}
という形のデータの中で普遍的であるということを主張している:

コンマ圏の普遍性

圏$\DD$と関手$\func{U'}{\DD}{\AA}$,$\func{V'}{\DD}{\BB}$と自然変換$\alpha'\colon F\circ U'\Rightarrow G\circ V'$
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{\DD\ar[d]_-{U'}\ar[r]^-{V'}&\BB\ar[d]^-G\\ \AA\ar[r]^-F\ar@2[ru]^-{\alpha'}&\CC} \end{xy}
に対して，関手$\func{W}{\DD}{(F,G)}$が一意に存在して，$U\circ W=U'$かつ$V\circ W=V'$であり，
$$\alpha*\id{W}\colon F\circ U'=F\circ U\circ W\Rightarrow G\circ V\circ W=G\circ V'$$
は$\alpha'$に等しい．

$(A,f,B)\in\ob{(F,G)}$に対して$(A,f,B)=(U(A,f,B),\alpha_{(A,f,B)},V(A,f,B))$であり，$(F,G)$での射$\func{(a,b)}{(A,f,B)}{(A',f',B')}$に対して$(a,b)=(U(a,b),V(a,b))$であることに注意する．


Part 1: 存在性の証明:
関手$\func{W}{\DD}{(F,G)}$を以下で定める:
$\func{W}{\ob{\DD}}{\ob{(F,G)}}$を，$D\inn{D}$に対して$(U'(D),\alpha'_D,V'(D))\in\ob{(F,G)}$を充てることで定める．
$(A,f,B),(A',f',B')\in\ob{(F,G)}$に対して，
$$\func{W}{\morr{D}{d}{d'}}{\mor{(F,G)}{W(d)}{W(d')}}$$
を，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$に対して，$(F,G)$での射$\func{(U'(d),V'(d))}{W(d)}{W(d')}$を充てることで定める．

$W$がきちんと定まっていること:
$D\inn{D}$に対して，$U'(D)\inn{A}$かつ$V'(D)\inn{B}$であり，$\alpha'_D$は$(F\circ U')(D)=F(U'(D))$から$(G\circ V')(D)=G(V'(D))$への$\CC$での射だから，$(U'(D),\alpha'_D,V'(D))\in\ob{(F,G)}$である．
また，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$に対して，$U'(d)$は$U'(D)$から$U'(D')$への$\AA$での射であり，$V'(d)$は$V'(D)$から$V'(D')$への$\BB$での射であり，$\alpha'$の自然性から四角形
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{(F\circ U')(D)\ar[r]^-{\alpha'_D}\ar[d]_-{(F\,\circ\,U')(d)}&(G\circ V')(D)\ar[d]^-{(G\,\circ\,V')(d)}\\ (F\circ U')(D')\ar[r]^-{\alpha'_{D'}}&(G\circ V')(D')} \end{xy}
は可換である．これは
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{F(U'(D))\ar[r]^-{\alpha'_D}\ar[d]_-{F(U'(d))}&G(V'(D))\ar[d]^-{G(V'(d))}\\ F(U'(D'))\ar[r]^-{\alpha'_{D'}}&G(V'(D'))} \end{xy}
に等しいので，$(U'(d),V'(d))$は$(U'(D),\alpha'_D,V'(D))$から$(U'(D'),\alpha'_{D'},V'(D'))$への，すなわち$W(d)$から$W(d')$への$(F,G)$での射である．

$W$が$\DD$から$(F,G)$への関手であること:
$U'$と$V'$の関手性から，$D\in\obb{D}$に対して
$$W(\id{D})=(U'(\id{D}),V'(\id{D}))=(\id{U'(D)},\id{V'(D)})=\id{(U'(D),\,\alpha'_D,V'(D))}=\id{W(D)},$$
であり，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$,$\func{d'}{D'}{D''}$に対して
\begin{align} W(d'\circ d) &=(U'(d'\circ d),V'(d'\circ d)) =(U'(d')\circ U'(d),V'(d')\circ V'(d))\\ &=(U'(d'),V'(d'))\circ(U'(d),V'(d))=W(d')\circ W(d), \end{align}
である．ゆえに，$W$は$\DD$から$(F,G)$への関手である．

$W$が与えられた条件を満たすこと:
$D\inn{D}$に対して
$$(U\circ W)(D)=U(U'(D),\alpha'_D,V'(D))=U'(D),$$
であり，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$に対して
$$(U\circ W)(d)=U(U'(d),V'(d))=U'(d),$$
だから，$U\circ W=U'$が成り立つ．$V\circ W=V'$が成り立つことも同様に分かる．
また，$D\inn{D}$に対して
$$(\alpha*\id{W})_D=\alpha_{W(D)}=\alpha_{(U'(D),\alpha'_D,V'(D))}=\alpha'_D,$$
だから，$\alpha*\id{W}=\alpha'$が成り立つ．


Part 2: 一意性の証明:
関手$\func{W'}{\DD}{(F,G)}$が$U\circ W'=U'$かつ$V\circ W'=V'$かつ$\alpha*\id{W'}=\alpha'$を満たすならば，$D\in\obb{D}$に対して
$$W'(D)=(U(W'(D)),\alpha_{W'(D)},V(W'(D)))=(U'(D),(\alpha*\id{W'})_D,V'(D))=(U'(D),\alpha'_D,V'(D))=W(D),$$
であり，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$に対して$W'(d)=(U(W'(d)),V(W'(d)))=W(d)$だから，$W'=W$を得る．

定値関手とそのコンマ圏

小圏$\one$を
$$\ob{\one}=\{0\},\,\,\,\mor{\one}{0}{0}=\{0\},\,\,\,0\circ0=0,\,\,\id{0}=0,$$
で定める．

$\one$が小圏であること:
$$\id{0}\circ0=0\circ0=0,\,\,\,0\circ\id{0}=0\circ0=0,$$
及び
$$0\circ(0\circ0)=0\circ0=(0\circ0)\circ0,$$
が成り立つので，$\one$は小圏をなす．

$\one$は$\catcat$での終対象である．

圏$\DD$を任意に取る．

Part 1: 関手$\DD\to\one$の存在性の証明:
関手$\func{\Delta_0=\Delta_{0,\DD}}{\DD}{\one}$を以下で定める:
$\func{\Delta_0}{\obb{D}}{\ob{\one}}$を，$D\inn{D}$に対して$0\in\ob{\one}$を充てることで定める．
$D,D'\inn{D}$に対して，$\func{\Delta_0}{\morr{D}{D}{D'}}{\mor{\one}{\Delta_0(D)}{\Delta_0(D')}}$を，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$に対して$0$の$\one$での恒等射$\id{0}$を充てることで定める．

$D,D'\inn{D}$に対して$\mor{\one}{\Delta_0(D)}{\Delta_0(D')}=\mor{\one}{0}{0}$が成り立つので，上の対応はきちんと定まっている．


$\Delta_0$が$\DD$から$\mathbf{1}$への関手であること:
$D\inn{D}$に対して,
$$\Delta_0(\id{D})=\id{0}=\id{\Delta_0(D)},$$
であり，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$,$\func{d'}{D'}{D''}$に対して，
$$\Delta_0(d'\circ d)=\id{0}=\id{0}\circ\id{0}=\Delta_0(d')\circ\Delta_0(d),$$
だから，$\Delta_0$は$\DD$から$\mathbf{1}$への関手である．


Part 2: 関手$\DD\to\one$の一意性の証明:
関手$\func{\Delta'}{\DD}{\one}$を取るとき，$D\inn{D}$に対して ，$\Delta'(D)\in\ob{\one}=\{0\}$より$\Delta'(D)=0=\Delta_0(D)$であり，$\DD$での射$\func{d}{D}{D'}$に対して，
$$\Delta'(d)\in\mor{\one}{\Delta'(D)}{\Delta'(D')}=\mor{\one}{0}{0}=\{0\}=\{\id{0}\},$$
より$\Delta'(d)=\id{0}=\Delta_0(d)$だから，$\Delta'=\Delta_0$である．

ゆえに，$\one$は$\catcat$での終対象である．

$\Delta_0$を$0$への定値関手 (constant functor) とよぶことがある．
以下では圏$\DD$に対して$\Delta_{0,\DD}$を$\Delta_\DD$で表す．

圏$\AA$,$\BB$に対して，$\Delta_\AA$と$\Delta_\BB$のコンマ圏$(\Delta_\AA,\Delta_\BB)$が定まる．コンマ圏の定義を思い出すと，

  • $(\Delta_\AA,\Delta_\BB)$の対象は，$A\inn{A}$,$B\inn{B}$と$\one$での射$\func{f}{\Delta_\AA(A)}{\Delta_\BB(B)}$からなる組$(A,f,B)$である．
    $$\mor{\one}{\Delta_\AA(A)}{\Delta_\BB(B)}=\mor{\one}{0}{0}=\{0\},$$
    だから，これは$(A,0,B)$に等しい．ゆえに，$\ob{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}=\obb{A}\times\{0\}\times\obb{B}$である．

  • $(\Delta_\AA,\Delta_\BB)$の対象$(A,0,B)$,$(A',0,B')$に対して，$(A,0,B)$から$(A',0,B')$への$(\Delta_\AA,\Delta_\BB)$での射は，$\AA$での射$\func{a}{A}{A'}$と$\BB$での射$\func{b}{B}{B'}$の組$(a,b)$であって四角形
    \begin{xy} \xymatrix@=36pt{\Delta_\AA(A)\ar[r]^-0\ar[d]_-{\Delta_\AA(a)}&\Delta_\BB(B)\ar[d]^-{\Delta_\BB(b)}\\ \Delta_\AA(A')\ar[r]^-0&\Delta_\BB(B')} \end{xy}
    を可換にするものである．これは
    \begin{xy} \xymatrix@=36pt{0\ar[r]^-0\ar[d]_-{\id{0}}&0\ar[d]^-{\id{0}}\\ 0\ar[r]^-0&0} \end{xy}
    に等しく，恒等射の性質からこの四角形は可換である．従って，この条件は自動的に満たされる．ゆえに，
    $$\mor{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}{(A,0,B)}{(A',0,B')}=\mor{\AA}{A}{A'}\times\mor{\BB}{B}{B'}=\mor{(\AA\times\BB)}{(A,B)}{(A',B')},$$
    である．

関手$\func{U}{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}{\AA}$,$\func{V}{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}{\BB}$はそれぞれ，$(A,0,B)\in\ob{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}$に対して
$$U(A,0,B)=A,\,\,\,V(A,0,B)=B,$$
及び，$(\Delta_\AA,\Delta_\BB)$での射$\func{(a,b)}{(A,0,B)}{(A',0,B')}$に対して
$$U(a,b)=a,\,\,\,V(a,b)=b,$$
で定義され，自然変換$\alpha\,\colon\Delta_\AA\circ U\Rightarrow\Delta_\BB\circ V$は，$(A,0,B)\in\ob{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}$に対して$\alpha_{(A,0,B)}=0$で定義される．

定値関手と定値関手のコンマ圏は圏の積である

上の例で与えたコンマ圏$(\Delta_\AA,\Delta_\BB)$の対象と射の具体的な表示を見れば，これが$\AA$と$\BB$の (具体的に構成された) 積$\AA\times\BB$と同型であることが推測される．実際，詳しくは述べないが，圏同型$\theta\,\colon(\Delta_\AA,\Delta_\BB)\cong\AA\times\BB$が，$\func{\theta}{\ob{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}}{\ob{\AA\times\BB}}$を標準的な全単射
$$\ob{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}=\obb{A}\times\{0\}\times\obb{B}\cong\obb{A}\times\obb{B}=\ob{\AA\times\BB},(A,0,B)\mapsto(A,B),$$
として，$(A,0,B),(A',0,B')\in\ob{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}$に対して，
$$\func{\theta}{\mor{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}{(A,0,B)}{(A',0,B')}}{\mor{(\AA\times\BB)}{\theta(A,0,B)}{\theta(A',0,B')}}$$
を$\mor{(\AA\times\BB)}{(A,B)}{(A',B')}$の恒等写像
\begin{align} \mor{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}{(A,0,B)}{(A',0,B')} &=\mor{(\AA\times\BB)}{(A,B)}{(A',B')}\\ &\overset{\id{}}{\to}\mor{(\AA\times\BB)}{(A,B)}{(A',B')}\\ &=\mor{(\AA\times\BB)}{\theta(A,0,B)}{\theta(A',0,B')}, \end{align}
とすることで定まる．

$\AA\times\BB$が$\AA$と$\BB$の$\catcat$での積であることを認めれば，圏同型，すなわち$\catcat$での同型$(\Delta_\AA,\Delta_\BB)\cong\AA\times\BB$の存在は以下の命題 (と極限の性質) から従う:

積の普遍性

$((\Delta_\AA,\Delta_\BB),U,V)$は$\AA$と$\BB$の$\catcat$での積である．

圏$\DD$と関手$\func{F}{\DD}{\AA}$,$\func{G}{\DD}{\BB}$を任意に取る．$\Delta_\AA\circ F$と$\Delta_\BB\circ G$は$\DD$から$\one$への関手だから命題 3 よりこれらは$\Delta_\DD$に等しく，$\id{\Delta_\DD}$が$\Delta_\AA\circ F$から$\Delta_\BB\circ G$への自然変換として定まる:
\begin{xy} \xymatrix@=36pt{\DD\ar[d]_-F\ar[r]^-G&\BB\ar[d]^-{\Delta_\BB}\\ \AA\ar[r]^-{\Delta_\AA}\ar@2[ru]^-{\id{\Delta_\DD}}&\one} \end{xy}
命題 2 から関手$\func{W}{\DD}{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}$が存在して，$U\circ W=F$かつ$V\circ W=G$かつ$\alpha*\id{W}=\id{\Delta_\DD}$を満たす．
$U\circ W'=F$かつ$V\circ W'=G$を満たすような関手$\func{W'}{\DD}{(\Delta_\AA,\Delta_\BB)}$を取るとき，$D\inn{D}$に対して
$$(\alpha*\id{W'})_D=\alpha_{W'(D)}=0=\id{0}=\id{\Delta_\DD(D)}=\bigl(\id{\Delta_\DD})_D,$$
だから$\alpha*\id{W'}=\id{\Delta_\DD}$であり，命題 2 より$W'=W$が成り立つ．従って，$((\Delta_\AA,\Delta_\BB),U,V)$は$\AA$と$\BB$の$\catcat$での積である．

まとめ

ご指摘やご質問はコメント欄に書き込んでいただくか，私の Twitter アカウント ( @shota__math ) までご連絡ください．

最後まで読んで頂きありがとうございました．

参考文献

[1]
F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra I: Basic Category Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, no. 50, Cambridge University Press, Cambridge, 1994
投稿日：2022年11月23日

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定値関手と定値関手のコンマ圏は圏の積である