文献あり

定値関手と定値関手のコンマ圏は圏の積である

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導入

久しぶりに記事を書きました．コンマ圏の定義を学んだので，二つの圏の積がコンマ圏の特別な場合であるということを (圏論の) 初学者向けに書きました．

この記事を通して， $A, B, C, \dots$ で表される圏は全て小圏であることを仮定する．関手といったら共変関手のことを意味する． $Cat$ で小圏とその間の関手からなる圏を表す．全単射や圏同型 (が存在すること) を「 $≅$ 」で表すことがある．記号は主に [1] で扱われているものを用いた．

コンマ圏の構成

コンマ圏

$A$ , $B$ , $C$ を圏として， $F : A \to C$ , $G : B \to C$ を関手とする．
$F$ と $G$ のコンマ圏 (comma category) $(F, G)$ を以下で定める:

$(F, G)$ の対象は， $A \in | A |$ , $B \in | B |$ と $C$ での射 $f : F (A) \to G (B)$ からなる組 $(A, f, B)$ である．
$(F, G)$ の対象 $(A, f, B)$ , $(A^{'}, f^{'}, B^{'})$ に対して， $(A, f, B)$ から $(A^{'}, f^{'}, B^{'})$ への $(F, G)$ での射は， $A$ での射 $a : A \to A^{'}$ と $B$ での射 $b : B \to B^{'}$ の組 $(a, b)$ であって四角形
$F (A) f F (a) G (B) G (b) F (A^{'}) f^{'} G (B^{'})$
を可換にするものである．
$(F, G)$ での射 $(a, b) : (A, f, B) \to (A^{'}, f^{'}, B^{'})$ , $(a^{'}, b^{'}) : (A^{'}, f^{'}, B^{'}) \to (A^{″}, f^{″}, B^{″})$ に対して， $(a, b)$ と $(a^{'}, b^{'})$ の $(F, G)$ での合成を $(a^{'}, b^{'}) \circ (a, b) = (a^{'} \circ a, b^{'} \circ b)$ で定める．
$(F, G)$ の対象 $(A, f, B)$ に対して， $(A, f, B)$ の $(F, G)$ での恒等射を $1_{(A, f, B)} = (1_{A}, 1_{B})$ で定める．

細部の確認については，以下にまとめた．

(a^{'} \circ a, b^{'} \circ b)

が

(A, f, B)

から

(A^{″}, f^{″}, B^{″})

への

(F, G)

での射であること:

(a, b)

は

(A, f, B)

から

(A^{'}, f^{'}, B^{'})

への

(F, G)

での射だから，

a

は

A

から

A^{'}

への

A

での射であり，

b

は

B

から

B^{'}

への

B

での射であり，四角形

F (A) f F (a) G (B) G (b) F (A^{'}) f^{'} G (B^{'})

は可換である．同様に，

(a^{'}, b^{'})

は

(A^{'}, f^{'}, B^{'})

から

(A^{″}, f^{″}, B^{″})

への

(F, G)

での射だから，

a^{'}

は

A^{'}

から

A^{″}

への

A

での射であり，

b^{'}

は

B^{'}

から

B^{″}

への

B

での射であり，四角形

F (A^{'}) f^{'} F (a^{'}) G (B^{'}) G (b^{'}) F (A^{″}) f^{″} G (B^{″})

は可換である．まず，

a

と

a^{'}

の

A

での合成

a^{'} \circ a : A \to A^{″}

と

b

b^{'}

の

B

での合成

b^{'} \circ b : B \to B^{″}

が定まる．図式

F (A) f F (a) F (a^{'} \circ a) G (B) G (b) G (b^{'} \circ b) F (A^{'}) f^{'} F (a^{'}) G (B^{'}) G (b^{'}) F (A^{″}) f^{″} G (B^{″})

において，内側の二つの四角形は上での議論から可換で，左右の三角形は

F

と

G

の関手性から可換だから，外側の四角形も可換であり，

(a^{'} \circ a, b^{'} \circ b)

は

(A, f, B)

から

(A^{″}, f^{″}, B^{″})

への

(F, G)

での射である．

(1_{A}, 1_{B})

が

(A, f, B)

の

(F, G)

での自己射であること:

1_{A}

は

A

の

A

での自己射で，

1_{B}

は

B

の

B

での自己射である．図式

F (A) f 1_{F (A)} F (1_{A}) G (B) 1_{G (B)} G (1_{B}) F (A) f G (B)

において，内側の四角形は恒等射の性質から可換で，左右の三角形は

F

と

G

の関手性から可換だから，外側の四角形も可換であり，

(1_{A}, 1_{B})

は

(A, f, B)

の

(F, G)

での自己射である．

(F, G)

が圏であること:

(F, G)

での射

\begin{aligned} (a, b) & : (A, f, B) \to (A^{'}, f^{'}, B^{'}), \\ (a^{'}, b^{'}) & : (A^{'}, f^{'}, B^{'}) \to (A^{″}, f^{″}, B^{″}), \\ (a^{″}, b^{″}) & : (A^{″}, f^{″}, B^{″}) \to (A^{‴}, f^{‴}, B^{‴}), \end{aligned}

を取るとき，

A

B

が圏をなすことから，

\begin{aligned} 1_{(A^{'}, f^{'}, B^{'})} \circ (a, b) & = (1_{A^{'}}, 1_{B^{'}}) \circ (a, b) = (1_{A^{'}} \circ a, 1_{B^{'}} \circ b) = (a, b), \\ (a, b) \circ 1_{(A, f, B)} & = (a, b) \circ (1_{A}, 1_{B}) = (a \circ 1_{A}, b \circ 1_{B}) = (a, b), \end{aligned}

及び

\begin{aligned} (a^{″}, b^{″}) \circ [(a^{'}, b^{'}) \circ (a, b)] & = (a^{″}, b^{″}) \circ (a^{'} \circ a, b^{'} \circ b) = (a^{″} \circ (a^{'} \circ a), b^{″} \circ (b^{'} \circ b)) \\ = ((a^{″} \circ a^{'}) \circ a, (b^{″} \circ b^{'}) \circ b) = (a^{″} \circ a^{'}, b^{″} \circ b^{'}) \circ (a, b) \\ = [(a^{″}, b^{″}) \circ (a^{'}, b^{'})] \circ (a, b), \end{aligned}

が成り立つので，

(F, G)

は圏をなす．

圏 $A$ , $B$ , $C$ と関手 $F : A \to C$ , $G : B \to C$ をしばらく固定して，コンマ圏 $(F, G)$ が標準的な関手と自然変換を備えていることを見ていこう．

関手 $U : (F, G) \to A$ が以下で定まる:

$U : | (F, G) | \to | A |$ を， $(A, f, B) \in | (F, G) |$ に対して $A \in | A |$ を充てることで定める．
$(A, f, B), (A^{'}, f^{'}, B^{'}) \in | (F, G) |$ に対して，
$U : (F, G) ((A, f, B), (A^{'}, f^{'}, B^{'})) \to A (U (A, f, B), U (A^{'}, f^{'}, B^{'}))$
を， $(F, G)$ での射 $(a, b) : (A, f, B) \to (A^{'}, f^{'}, B^{'})$ に対して $A$ での射 $a : A \to A^{'}$ を充てることで定める．

$(A, f, B), (A^{'}, f^{'}, B^{'}) \in | (F, G) |$ に対して $A (U (A, f, B), U (A^{'}, f^{'}, B^{'})) = A (A, A^{'})$ が成り立つので，上の対応はきちんと定まっている．

U

が

(F, G)

から

A

への関手であること:

(A, f, B) \in | (F, G) |

に対して，

U (1_{(A, f, B)}) = U (1_{A}, 1_{B}) = 1_{A} = 1_{U (A, f, B)},

であり，

(F, G)

での射

(a, b) : (A, f, B) \to (A^{'}, f^{'}, B^{'})

(a^{'}, b^{'}) : (A^{'}, f^{'}, B^{'}) \to (A^{″}, f^{″}, B^{″})

に対して，

U ((a^{'}, b^{'}) \circ (a, b)) = U (a^{'} \circ a, b^{'} \circ b) = a^{'} \circ a = U (a^{'}, b^{'}) \circ U (a, b),

だから，

U

は

(F, G)

から

A

への関手である．

関手 $V : (F, G) \to B$ が以下で定まる:

$V : | (F, G) | \to | B |$ を， $(A, f, B) \in | (F, G) |$ に対して $B \in | B |$ を充てることで定める．
$(A, f, B), (A^{'}, f^{'}, B^{'}) \in | (F, G) |$ に対して，
$V : (F, G) ((A, f, B), (A^{'}, f^{'}, B^{'})) \to B (V (A, f, B), V (A^{'}, f^{'}, B^{'}))$
を， $(F, G)$ での射 $(a, b) : (A, f, B) \to (A^{'}, f^{'}, B^{'})$ に対して $B$ での射 $b : B \to B^{'}$ を充てることで定める．

$V$ が $(F, G)$ から $B$ への関手として定まっていることも $U$ と同様に確認されるので，ここでは省略する．

$F \circ U$ から $G \circ V$ への自然変換 $α$ が， $(A, f, B) \in | (F, G) |$ に対して $α_{(A, f, B)} = f$ で定まる．
$(F, G) U V B G A F α C$

$(A, f, B) \in | (F, G) |$ に対して， $f$ は $F (A) = (F \circ U) (A, f, B)$ から $G (B) = (G \circ V) (A, f, B)$ への $C$ での射だから， $C$ での射の族
${α_{(A, f, B)} : (F \circ U) (A, f, B) \to (G \circ V) (A, f, B)}_{(A, f, B) \in | (F, G) |}$
が定まっている．

α = {α_{(A, f, B)}}_{(A, f, B)}

が

F \circ U

から

G \circ V

への自然変換であること:

(F, G)

での射

(a, b) : (A, f, B) \to (A^{'}, f^{'}, B^{'})

に対して，四角形

(F \circ U) (A, f, B) α_{(A, f, B)} (F \circ U) (a, b) (G \circ V) (A, f, B) (G \circ V) (a, b) (F \circ U) (A^{'}, f^{'}, B^{'}) α_{(A^{'}, f^{'}, B^{'})} (G \circ V) (A^{'}, f^{'}, B^{'})

は

F (A) f F (a) G (B) G (b) F (A^{'}) f^{'} G (B^{'})

に等しく，

(F, G)

での射の定義よりこれは可換だから，

α

は

F \circ U

から

G \circ V

への自然変換である．

コンマ圏の特徴付けを述べる前に，自然変換のGodement積 (または水平合成) とよばれる演算 (の簡単な場合) を紹介する．以下で定義する自然変換 $β * 1_{H}$ は $β * H$ と略記され， $β$ と $H$ のwhiskeringとよばれることもある．

恒等自然変換とのGodement積

圏 $E$ , $E^{'}$ , $E^{″}$ と関手 $H : E \to E^{'}$ , $J, K : E^{'} \to E^{″}$ と自然変換 $β : J \Rightarrow K$ に対して， $J \circ H$ から $K \circ H$ への自然変換 $β * 1_{H}$ が， $E \in | E |$ に対して $(β * 1_{H})_{E} = β_{H (E)}$ で定まる．

$E \in | E |$ に対して $β_{H (E)}$ は $J (H (E)) = (J \circ H) (E)$ から $K (H (E)) = (K \circ H) (E)$ への $E^{″}$ での射だから， $E^{″}$ での射の族
${(β * 1_{H})_{E} : (J \circ H) (E) \to (K \circ H) (E)}_{E \in | E |}$
が定まっている．

$E$ での射 $e : E \to E^{'}$ に対して，四角形
$(J \circ H) (E) (β * 1_{H})_{E} (J \circ H) (e) (K \circ H) (E) (K \circ H) (e) (J \circ H) (E^{'}) (β * 1_{H})_{E^{'}} (K \circ H) (E^{'})$
は
$J (H (E)) β_{H (E)} J (H (e)) K (H (E)) K (H (e)) J (H (E^{'})) β_{H (E^{'})} K (H (E^{'}))$
に等しく， $β$ の自然性よりこれは可換だから， $β * 1_{H} = {(β * 1_{H})_{E}}_{E \in | E |}$ は $J \circ H$ から $K \circ H$ への自然変換である．

以下の命題は， $((F, G), U, V, α)$ が，関手と自然変換からなる
$∙ B G A F C$
という形のデータの中で普遍的であるということを主張している:

コンマ圏の普遍性

圏 $D$ と関手 $U^{'} : D \to A$ , $V^{'} : D \to B$ と自然変換 $α^{'} : F \circ U^{'} \Rightarrow G \circ V^{'}$
$D U^{'} V^{'} B G A F α^{'} C$
に対して，関手 $W : D \to (F, G)$ が一意に存在して， $U \circ W = U^{'}$ かつ $V \circ W = V^{'}$ であり，
$α * 1_{W} : F \circ U^{'} = F \circ U \circ W \Rightarrow G \circ V \circ W = G \circ V^{'}$
は $α^{'}$ に等しい．

$(A, f, B) \in | (F, G) |$ に対して $(A, f, B) = (U (A, f, B), α_{(A, f, B)}, V (A, f, B))$ であり， $(F, G)$ での射 $(a, b) : (A, f, B) \to (A^{'}, f^{'}, B^{'})$ に対して $(a, b) = (U (a, b), V (a, b))$ であることに注意する．

Part 1: 存在性の証明:

関手

W : D \to (F, G)

を以下で定める:

W : | D | \to | (F, G) |

を，

D \in | D |

に対して

(U^{'} (D), α_{D}^{'}, V^{'} (D)) \in | (F, G) |

を充てることで定める．

(A, f, B), (A^{'}, f^{'}, B^{'}) \in | (F, G) |

に対して，

W : D (d, d^{'}) \to (F, G) (W (d), W (d^{'}))

を，

D

での射

d : D \to D^{'}

に対して，

(F, G)

での射

(U^{'} (d), V^{'} (d)) : W (d) \to W (d^{'})

を充てることで定める．

W

がきちんと定まっていること:

D \in | D |

に対して，

U^{'} (D) \in | A |

かつ

V^{'} (D) \in | B |

であり，

α_{D}^{'}

は

(F \circ U^{'}) (D) = F (U^{'} (D))

から

(G \circ V^{'}) (D) = G (V^{'} (D))

への

C

での射だから，

(U^{'} (D), α_{D}^{'}, V^{'} (D)) \in | (F, G) |

である．
また，

D

での射

d : D \to D^{'}

に対して，

U^{'} (d)

は

U^{'} (D)

から

U^{'} (D^{'})

への

A

での射であり，

V^{'} (d)

は

V^{'} (D)

から

V^{'} (D^{'})

への

B

での射であり，

α^{'}

の自然性から四角形

(F \circ U^{'}) (D) α_{D}^{'} (F \circ U^{'}) (d) (G \circ V^{'}) (D) (G \circ V^{'}) (d) (F \circ U^{'}) (D^{'}) α_{D^{'}}^{'} (G \circ V^{'}) (D^{'})

は可換である．これは

F (U^{'} (D)) α_{D}^{'} F (U^{'} (d)) G (V^{'} (D)) G (V^{'} (d)) F (U^{'} (D^{'})) α_{D^{'}}^{'} G (V^{'} (D^{'}))

に等しいので，

(U^{'} (d), V^{'} (d))

は

(U^{'} (D), α_{D}^{'}, V^{'} (D))

から

(U^{'} (D^{'}), α_{D^{'}}^{'}, V^{'} (D^{'}))

への，すなわち

W (d)

から

W (d^{'})

への

(F, G)

での射である．

W

が

D

から

(F, G)

への関手であること:

U^{'}

と

V^{'}

の関手性から，

D \in | D |

に対して

W (1_{D}) = (U^{'} (1_{D}), V^{'} (1_{D})) = (1_{U^{'} (D)}, 1_{V^{'} (D)}) = 1_{(U^{'} (D), α_{D}^{'}, V^{'} (D))} = 1_{W (D)},

であり，

D

での射

d : D \to D^{'}

d^{'} : D^{'} \to D^{″}

に対して

\begin{aligned} W (d^{'} \circ d) & = (U^{'} (d^{'} \circ d), V^{'} (d^{'} \circ d)) = (U^{'} (d^{'}) \circ U^{'} (d), V^{'} (d^{'}) \circ V^{'} (d)) \\ = (U^{'} (d^{'}), V^{'} (d^{'})) \circ (U^{'} (d), V^{'} (d)) = W (d^{'}) \circ W (d), \end{aligned}

である．ゆえに，

W

は

D

から

(F, G)

への関手である．

W

が与えられた条件を満たすこと:

D \in | D |

に対して

(U \circ W) (D) = U (U^{'} (D), α_{D}^{'}, V^{'} (D)) = U^{'} (D),

であり，

D

での射

d : D \to D^{'}

に対して

(U \circ W) (d) = U (U^{'} (d), V^{'} (d)) = U^{'} (d),

だから，

U \circ W = U^{'}

が成り立つ．

V \circ W = V^{'}

が成り立つことも同様に分かる．
また，

D \in | D |

に対して

(α * 1_{W})_{D} = α_{W (D)} = α_{(U^{'} (D), α_{D}^{'}, V^{'} (D))} = α_{D}^{'},

だから，

α * 1_{W} = α^{'}

が成り立つ．

Part 2: 一意性の証明:

関手

W^{'} : D \to (F, G)

が

U \circ W^{'} = U^{'}

かつ

V \circ W^{'} = V^{'}

かつ

α * 1_{W^{'}} = α^{'}

を満たすならば，

D \in | D |

に対して

W^{'} (D) = (U (W^{'} (D)), α_{W^{'} (D)}, V (W^{'} (D))) = (U^{'} (D), (α * 1_{W^{'}})_{D}, V^{'} (D)) = (U^{'} (D), α_{D}^{'}, V^{'} (D)) = W (D),

であり，

D

での射

d : D \to D^{'}

に対して

W^{'} (d) = (U (W^{'} (d)), V (W^{'} (d))) = W (d)

だから，

W^{'} = W

を得る．

定値関手とそのコンマ圏

小圏 $1$ を
$| 1 | = {0}, 1 (0, 0) = {0}, 0 \circ 0 = 0, 1_{0} = 0,$
で定める．

1

が小圏であること:

1_{0} \circ 0 = 0 \circ 0 = 0, 0 \circ 1_{0} = 0 \circ 0 = 0,

及び

0 \circ (0 \circ 0) = 0 \circ 0 = (0 \circ 0) \circ 0,

が成り立つので，

1

は小圏をなす．

$1$ は $Cat$ での終対象である．

圏 $D$ を任意に取る．

Part 1: 関手

D \to 1

の存在性の証明:

関手

Δ_{0} = Δ_{0, D} : D \to 1

を以下で定める:

Δ_{0} : | D | \to | 1 |

を，

D \in | D |

に対して

0 \in | 1 |

を充てることで定める．

D, D^{'} \in | D |

に対して，

Δ_{0} : D (D, D^{'}) \to 1 (Δ_{0} (D), Δ_{0} (D^{'}))

を，

D

での射

d : D \to D^{'}

に対して

0

の

1

での恒等射

1_{0}

を充てることで定める．

D, D^{'} \in | D |

に対して

1 (Δ_{0} (D), Δ_{0} (D^{'})) = 1 (0, 0)

が成り立つので，上の対応はきちんと定まっている．

Δ_{0}

が

D

から

1

への関手であること:

D \in | D |

に対して,

Δ_{0} (1_{D}) = 1_{0} = 1_{Δ_{0} (D)},

であり，

D

での射

d : D \to D^{'}

d^{'} : D^{'} \to D^{″}

に対して，

Δ_{0} (d^{'} \circ d) = 1_{0} = 1_{0} \circ 1_{0} = Δ_{0} (d^{'}) \circ Δ_{0} (d),

だから，

Δ_{0}

は

D

から

1

への関手である．

Part 2: 関手

D \to 1

の一意性の証明:

関手

Δ^{'} : D \to 1

を取るとき，

D \in | D |

に対して，

Δ^{'} (D) \in | 1 | = {0}

より

Δ^{'} (D) = 0 = Δ_{0} (D)

であり，

D

での射

d : D \to D^{'}

に対して，

Δ^{'} (d) \in 1 (Δ^{'} (D), Δ^{'} (D^{'})) = 1 (0, 0) = {0} = {1_{0}},

より

Δ^{'} (d) = 1_{0} = Δ_{0} (d)

だから，

Δ^{'} = Δ_{0}

である．

ゆえに，

1

は

Cat

での終対象である．

$Δ_{0}$ を $0$ への定値関手 (constant functor) とよぶことがある．
以下では圏 $D$ に対して $Δ_{0, D}$ を $Δ_{D}$ で表す．

圏 $A$ , $B$ に対して， $Δ_{A}$ と $Δ_{B}$ のコンマ圏 $(Δ_{A}, Δ_{B})$ が定まる．コンマ圏の定義を思い出すと，

$(Δ_{A}, Δ_{B})$ の対象は， $A \in | A |$ , $B \in | B |$ と $1$ での射 $f : Δ_{A} (A) \to Δ_{B} (B)$ からなる組 $(A, f, B)$ である．
$1 (Δ_{A} (A), Δ_{B} (B)) = 1 (0, 0) = {0},$
だから，これは $(A, 0, B)$ に等しい．ゆえに， $| (Δ_{A}, Δ_{B}) | = | A | \times {0} \times | B |$ である．
$(Δ_{A}, Δ_{B})$ の対象 $(A, 0, B)$ , $(A^{'}, 0, B^{'})$ に対して， $(A, 0, B)$ から $(A^{'}, 0, B^{'})$ への $(Δ_{A}, Δ_{B})$ での射は， $A$ での射 $a : A \to A^{'}$ と $B$ での射 $b : B \to B^{'}$ の組 $(a, b)$ であって四角形
$Δ_{A} (A) 0 Δ_{A} (a) Δ_{B} (B) Δ_{B} (b) Δ_{A} (A^{'}) 0 Δ_{B} (B^{'})$
を可換にするものである．これは
$00 1_{0} 0 1_{0} 000$
に等しく，恒等射の性質からこの四角形は可換である．従って，この条件は自動的に満たされる．ゆえに，
$(Δ_{A}, Δ_{B}) ((A, 0, B), (A^{'}, 0, B^{'})) = A (A, A^{'}) \times B (B, B^{'}) = (A \times B) ((A, B), (A^{'}, B^{'})),$
である．

関手 $U : (Δ_{A}, Δ_{B}) \to A$ , $V : (Δ_{A}, Δ_{B}) \to B$ はそれぞれ， $(A, 0, B) \in | (Δ_{A}, Δ_{B}) |$ に対して
$U (A, 0, B) = A, V (A, 0, B) = B,$
及び， $(Δ_{A}, Δ_{B})$ での射 $(a, b) : (A, 0, B) \to (A^{'}, 0, B^{'})$ に対して
$U (a, b) = a, V (a, b) = b,$
で定義され，自然変換 $α : Δ_{A} \circ U \Rightarrow Δ_{B} \circ V$ は， $(A, 0, B) \in | (Δ_{A}, Δ_{B}) |$ に対して $α_{(A, 0, B)} = 0$ で定義される．

定値関手と定値関手のコンマ圏は圏の積である

上の例で与えたコンマ圏 $(Δ_{A}, Δ_{B})$ の対象と射の具体的な表示を見れば，これが $A$ と $B$ の (具体的に構成された) 積 $A \times B$ と同型であることが推測される．実際，詳しくは述べないが，圏同型 $θ : (Δ_{A}, Δ_{B}) ≅ A \times B$ が， $θ : | (Δ_{A}, Δ_{B}) | \to | A \times B |$ を標準的な全単射
$| (Δ_{A}, Δ_{B}) | = | A | \times {0} \times | B | ≅ | A | \times | B | = | A \times B |, (A, 0, B) \mapsto (A, B),$
として， $(A, 0, B), (A^{'}, 0, B^{'}) \in | (Δ_{A}, Δ_{B}) |$ に対して，
$θ : (Δ_{A}, Δ_{B}) ((A, 0, B), (A^{'}, 0, B^{'})) \to (A \times B) (θ (A, 0, B), θ (A^{'}, 0, B^{'}))$
を $(A \times B) ((A, B), (A^{'}, B^{'}))$ の恒等写像
$\begin{aligned} (Δ_{A}, Δ_{B}) ((A, 0, B), (A^{'}, 0, B^{'})) & = (A \times B) ((A, B), (A^{'}, B^{'})) \\ \overset{1_{}}{\to} (A \times B) ((A, B), (A^{'}, B^{'})) \\ = (A \times B) (θ (A, 0, B), θ (A^{'}, 0, B^{'})), \end{aligned}$
とすることで定まる．

$A \times B$ が $A$ と $B$ の $Cat$ での積であることを認めれば，圏同型，すなわち $Cat$ での同型 $(Δ_{A}, Δ_{B}) ≅ A \times B$ の存在は以下の命題 (と極限の性質) から従う:

積の普遍性

$((Δ_{A}, Δ_{B}), U, V)$ は $A$ と $B$ の $Cat$ での積である．

圏 $D$ と関手 $F : D \to A$ , $G : D \to B$ を任意に取る． $Δ_{A} \circ F$ と $Δ_{B} \circ G$ は $D$ から $1$ への関手だから命題 3 よりこれらは $Δ_{D}$ に等しく， $1_{Δ_{D}}$ が $Δ_{A} \circ F$ から $Δ_{B} \circ G$ への自然変換として定まる:
$D F G B Δ_{B} A Δ_{A} 1_{Δ_{D}} 1$
命題 2 から関手 $W : D \to (Δ_{A}, Δ_{B})$ が存在して， $U \circ W = F$ かつ $V \circ W = G$ かつ $α * 1_{W} = 1_{Δ_{D}}$ を満たす．
$U \circ W^{'} = F$ かつ $V \circ W^{'} = G$ を満たすような関手 $W^{'} : D \to (Δ_{A}, Δ_{B})$ を取るとき， $D \in | D |$ に対して
$(α * 1_{W^{'}})_{D} = α_{W^{'} (D)} = 0 = 1_{0} = 1_{Δ_{D} (D)} = (1_{Δ_{D}})_{D},$
だから $α * 1_{W^{'}} = 1_{Δ_{D}}$ であり，命題 2 より $W^{'} = W$ が成り立つ．従って， $((Δ_{A}, Δ_{B}), U, V)$ は $A$ と $B$ の $Cat$ での積である．

まとめ

ご指摘やご質問はコメント欄に書き込んでいただくか，私の Twitter アカウント ( @shota__math ) までご連絡ください．

最後まで読んで頂きありがとうございました．

参考文献

[1]

F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra I: Basic Category Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, no. 50, Cambridge University Press, Cambridge, 1994

投稿日：2022年11月23日

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