微分積分学の勉強をしていると，いわゆる$\epsilon$-$\delta$論法を用いた極限の定義が出てきます。
関数$ f (x) $の$ x \to a $での極限が$ \alpha $であることを，「任意の$ \epsilon > 0 $に対して，ある$ \delta > 0 $が存在して，$ 0 < \lvert x - a \rvert < \delta $を満たすようなすべての$ x $に対して$ \lvert f (x) - \alpha \rvert < \epsilon $が成り立つ。」という条件で定義するおなじみのあれです。
（この記事では，関数$ f (x) $は$ \mathbb{R} $の部分集合で定義された実数値関数を考え，その定義域を$ D (f) $で表すことにします。）
極限の定義で前提となっているのは，関数$ f (x) $が“$ x = a $の周りで定義されている”ということです。
これは，「ある$ \delta_1 > 0 $が存在して，$ A = (a - \delta_1, a + \delta_1) \setminus \{ a \} \subset D (f) $が成り立つ。」という条件で表すことができます。
そこで，改めて，$ (f, \delta_1) $という組を考え，関数の“$ x = a $の周りでの様子”を見ていこうと思います。
いま，別の関数$ g (x) $が，これまた$ x = a $の周りで定義されているとします。
つまり，ある$ \delta_2 > 0 $が存在して，$ B = (a - \delta_2, a + \delta_2) \setminus \{ a \} \subset D (g) $が成り立つとします。
このとき，もし，$ A \cap B $上$ f (x) = g (x) $なら，関数の“$ x = a $の周りでの様子”という意味で，$ (f, \delta_1) $と$ (g, \delta_2) $とは同一視してよいでしょう。
関数の極限とは，正確には，この同値類に対して与えられるものだと考えたいところです。
それを踏まえて，以下の定義を述べておきます：
$ (f, \delta_1) $を上述の通りとし，$ \alpha \in \mathbb{R} $とする。
任意の$ \epsilon > 0 $に対して，ある$ \delta_1 > \delta > 0 $が存在して，$ 0 < \lvert x - a \rvert < \delta $を満たすようなすべての$ x $に対して$ \lvert f (x) - \alpha \rvert < \epsilon $が成り立つとき，関数$ f (x) $の$ x \to a $での極限は$ \alpha $であるという。
この条件が成り立つか否かは，同値な$ (f, \delta_1) $の取り方に依らない。