文献あり

極限が関数の局所的な性質であることをちゃんと考えてみる

微分積分学の勉強をしていると，いわゆる $ϵ$ - $δ$ 論法を用いた極限の定義が出てきます。
関数 $f (x)$ の $x \to a$ での極限が $α$ であることを，「任意の $ϵ > 0$ に対して，ある $δ > 0$ が存在して， $0 < | x - a | < δ$ を満たすようなすべての $x$ に対して $| f (x) - α | < ϵ$ が成り立つ。」という条件で定義するおなじみのあれです。
（この記事では，関数 $f (x)$ は $R$ の部分集合で定義された実数値関数を考え，その定義域を $D (f)$ で表すことにします。）

極限の定義で前提となっているのは，関数 $f (x)$ が“ $x = a$ の周りで定義されている”ということです。
これは，「ある $δ_{1} > 0$ が存在して， $A = (a - δ_{1}, a + δ_{1}) ∖ {a} \subset D (f)$ が成り立つ。」という条件で表すことができます。
そこで，改めて， $(f, δ_{1})$ という組を考え，関数の“ $x = a$ の周りでの様子”を見ていこうと思います。

いま，別の関数 $g (x)$ が，これまた $x = a$ の周りで定義されているとします。
つまり，ある $δ_{2} > 0$ が存在して， $B = (a - δ_{2}, a + δ_{2}) ∖ {a} \subset D (g)$ が成り立つとします。
このとき，もし， $A \cap B$ 上 $f (x) = g (x)$ なら，関数の“ $x = a$ の周りでの様子”という意味で， $(f, δ_{1})$ と $(g, δ_{2})$ とは同一視してよいでしょう。

関数の極限とは，正確には，この同値類に対して与えられるものだと考えたいところです。
それを踏まえて，以下の定義を述べておきます：

関数の極限

$(f, δ_{1})$ を上述の通りとし， $α \in R$ とする。
任意の $ϵ > 0$ に対して，ある $δ_{1} > δ > 0$ が存在して， $0 < | x - a | < δ$ を満たすようなすべての $x$ に対して $| f (x) - α | < ϵ$ が成り立つとき，関数 $f (x)$ の $x \to a$ での極限は $α$ であるという。
この条件が成り立つか否かは，同値な $(f, δ_{1})$ の取り方に依らない。