行列式の特徴づけと応用

1. 交代性について
   まず、行列$A$の$i$列目と$j$列目を入れ替えた行列を$B=\left\{b_{kl}\right\}_{1\leq k,l\leq n}$とする。この行列式$\det B$は
   $$\det B=\sum_{\tau\in\mathfrak{S}_{n}}\operatorname{sgn}\tau\ b_{1\tau(1)}\cdots b_{i\tau(i)}\cdots b_{j\tau(j)}\cdots b_{n\tau(n)}$$
   となるが、$B$の定義より$a_{1\tau(1)}=b_{1\tau(1)},\dots,a_{j\tau(i)}=b_{i\tau(i)},\dots,a_{i\tau(j)}=b_{j\tau(j)},\dots,a_{n\tau(n)}=b_{n\tau(n)}$が成り立つので
   $$\det B=\sum_{\tau\in\mathfrak{S}_{n}}\operatorname{sgn}\tau\ a_{1\tau(1)}\cdots a_{j\tau(i)}\cdots a_{i\tau(j)}\cdots a_{n\tau(n)}$$
   となる。ここで、$\sigma\in\mathfrak{S}_{n}$を$\sigma(1)=\tau(1),\dots,\sigma(i)=\tau(j),\dots\sigma(j)=\tau(i),\dots\sigma(n)=\tau(n)$と定めると、$\sigma=\tau(i\ j)$が成り立ち、$\tau$が$\mathfrak{S}_{n}$の元全てを動くとき$\sigma$も$\mathfrak{S}_{n}$の元全てを動くことが分かる。よって
   $$\det B=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\operatorname{sgn}\tau\ a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{j\sigma(j)}\cdots a_{n\sigma(n)}$$
   また$\operatorname{sgn}\sigma = \operatorname{sgn}\tau(i\ j) =-\operatorname{sgn}\tau$なので
   $$\det B=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}-\operatorname{sgn}\sigma\ a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{j\sigma(j)}\cdots a_{n\sigma(n)}=-\det A$$
   となって証明が完了する。

2. $n$重線型性について
   $\displaystyle \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}$の線型性に注意すると
   \begin{align} &\det \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} & \cdots & s\bm{a}'_{i}+t\bm{a}''_{i} & \cdots & \bm{a}_{n} \end{pmatrix}\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\operatorname{sgn}\sigma\ a_{1\sigma(1)}\cdots \left(sa'_{i\sigma(i)}+t'a_{i\sigma(i)}\right)\cdots a_{n\sigma(n)}\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\ope{sgn} \sigma \ a_{1\sigma(1)}\cdots sa'_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}+\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\ope{sgn} \sigma \ a_{1\sigma(1)}\cdots ta''_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\ &=s\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\ope{sgn} \sigma \ a_{1\sigma(1)}\cdots a'_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}+t\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\ope{sgn} \sigma \ a_{1\sigma(1)}\cdots a''_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\ &=s\det \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} & \cdots & \bm{a}'_{i} & \cdots & \bm{a}_{n} \end{pmatrix}+t\det \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} & \cdots & \bm{a}''_{i} & \cdots & \bm{a}_{n} \end{pmatrix} \end{align}
   となって証明が完了する。

3. $\det E_{n}=1$について
   行列式の定義より、$a_{1\sigma(1)},\cdots,a_{n\sigma(n)}$のいずれか1つでも$0$であればその$\sigma$についての項は$0$になる。ここで、単位行列$E_{n}$について$a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$が$0$とならないのは$\sigma=(1)$のときのみであるから
   $$\det E_{n}=\operatorname{sgn}(1)\ 1\cdots 1=1$$
   となって証明が完了する。

交代性の等式において$\bm{a}_{i}=\bm{a}_{j}$とすれば$\det A=-\det A$となって$\det A=0$が分かる。

$\sigma(i)=1$となる$i$をとって$i$列目を1列ずつ左にずらしていく。この作業を$n$(実際には$n-1$で終わる)まで繰り返すことで、交代性の等式から結論を得る(置換の符号は一意的であることに注意)。

各$j(1\leq j \leq n)$に対して$\bm{a}_{j}$は基本ベクトル$\bm{e}_{1},\dots,\bm{e}_{n}$を用いて
$$\bm{a}_{j}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\bm{e}_{i}$$
と表せる。これと$n$重線型性を用いて$F(\bm{a}_{1},\dots,\bm{a}_{n})$を展開すると
\begin{align} F(\bm{a}_{1},\dots,\bm{a}_{n})&=F\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\bm{e}_{i},\dots,\sum_{i=1}^{n}a_{in}\bm{e}_{i}\right)\\ \vdots\\ &=\sum_{i_{1}=1}^{n}a_{i_{1}1}F\left(\bm{e}_{i_{1}},\dots,\sum_{i=1}^{n}a_{in}\bm{e}_{i}\right)\\ &=\sum_{i_{1}=1}^{n}\dots\sum_{i_{n}=1}^{n}a_{i_{1}1}\cdots a_{i_{n}n}F(\bm{e}_{i_{1}},\dots,\bm{e}_{i_{n}}) \end{align}
となる(例2の等式の3行目を参照)。ここで、$i_{1}$から$i_{n}$のうち少なくとも1つは同じものを選んだ時は、交代性の系から$F(\bm{e}_{i_{1}},\dots,\bm{e}_{i_{n}})$は$0$になり、$i_{1}$から$i_{n}$がすべて異なるときはある$\sigma\in\mathfrak{S}_{n}$が存在して、$\sigma=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & n \\ i_{1} & \cdots & i_{n} \end{pmatrix}$となる。よって、再び交代性と$F(\bm{e}_{1},\dots,\bm{e}_{n})=1$から
\begin{align} F(\bm{a}_{1},\dots,\bm{a}_{n})&=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}F(\bm{e}_{\sigma(1)},\dots,\bm{e}_{\sigma(n)})\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\operatorname{sgn}\sigma\ a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}F(\bm{e}_{1},\dots,\bm{e}_{n})\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\operatorname{sgn}\sigma\ a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n} \end{align}

補題4から$\displaystyle \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\operatorname{sgn}\sigma\ a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n} =\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\ope{sgn} \sigma \ a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$なので
\begin{align} F(\bm{a}_{1},\dots,\bm{a}_{n})&=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{n}}\ope{sgn} \sigma \ a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\ &=\det \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} & \cdots & \bm{a}_{n} \end{pmatrix} \end{align}
となって証明が完了する。

$B=\begin{pmatrix} \bm{b}_{1} & \cdots & \bm{b}_{n} \end{pmatrix}$と分解し、写像$F$を
$$F(\bm{b}_{1},\dots,\bm{b}_{n}):=\det \begin{pmatrix} A\bm{b}_{1} & \cdots & A\bm{b}_{n} \end{pmatrix}$$
で定めると、この$F$は定理4の条件(i),(ii)を満たす。