こんにちは,龍孫江です.「はじめての可換環」第1回の問題はこちらです.
整数
(1) 2つの
(2)
数学においてまず定義から始めるのは定跡です.定義というのはそれが何なのかを規定することです.定義から語り始めて議論を積み重ね,どこまでも広がる世界が堪能できるのは数学の大いなる魅力のひとつではありますが,しかし「はじめての可換環」と冠して話し始めるのに可換環の定義から,というのはちょっと急き過ぎの気もするのです.というのも,定義というのはしばしば,多くの人が考えて抽出されたエッセンスだからです.何の必要があってそう定義するのか,文面から直ちに読み取れる人はそんなに多くはありません.そこで,まずは可換環の典型例である整数の集合と四則演算に関する議論から説き始め,定義を要する機が熟すのを待ちましょう.
とある数学者は「神は自然数のみを創り給うた」と言ったそうです.自然数以外の数の体系は人間がその利便性のために作ったものだとも断じていたとかいないとか.彼らの世界における「神」の位置づけとか人々の受け止めについては詳しくわからないのでこれ以上の言及は控えますが,数体系の拡張が自然数から始まるという指摘には首肯せざるをえません.そこで,今回の話も自然数から始めることにしましょう.
2つの数から新たな数を作り出す規則を演算,正確には2項演算といいます.演算は作ろうと思えばきりがありませんが,自然数に定義される代表的な演算としては加法(足し算),減法(引き算),乗法(掛け算),除法(割り算)の4つがあります.これらを総称して四則演算と呼びます.数学はあまり生活とは関係ないと言われますが,四則演算を活用する状況は日常生活の中でもすぐに見つけられるでしょう.
なお,2つの数に対し,加法,減法,乗法,除法の結果をそれぞれ和,差,積,商と呼び,例えば2数に加法を施すことをしばしば「両者の和をとる」のように表します.
しかし自然数だけを考えていると,この4つの演算にはしばしば不都合が生じることがわかります.不都合というのは,自然数同士に演算を施したのに結果が自然数にならない場合があることです.
長い時間をかけて人々は
大きな自然数から小さな自然数を引くときには,結果(差)は自然数の範囲で収まります.小さな自然数から大きな自然数を引くとなると,結果は自然数の範囲には見つかりません.負の数は自然数同士の減法を不自由なくするべく導入されたという動機を思い出すと,これはご利益というか直接の帰結ですね.
減法という演算の不自由さを解消すべく負の数を導入したあと,課題となるのは負の数を含む演算はどうなるか?です.負の数を足す,負の数を引くとはどういう操作でしょうか.例えば
減法と同様に,自然数同士の除法も,結果が自然数の範囲に収まるとは限りませんでした.減法が成立するよう整数という体系を作ったのに倣って,整数をさらに拡張して四則演算総てがきちんと成立するような数の体系を作ることはできないのでしょうか? これが当面の問題です.
なお,一応の答えはあります.なんとなく察しがつく方もいらっしゃるでしょうが,今は措きます.後のお楽しみということで.
さて,これから「はじめての可換環」を始めるにあたって頻出の考え方をひとつお伝えします.それは
という考え方です.集合という概念を道具として使うのです.ある性質を充たす個々のものを考えることと,そのようなものの集合を考えることの違いは言葉にすると微妙なのですが,強いて言えば個々のものの特徴に引っ張られず,考えたい性質だけを抽出して考えられるとでも言えるでしょうか.
この「はじめての可換環」でもいろいろな集合を扱っていくのですが,最初の集合を導入します.それは総ての整数がなす集合です.この集合を
この考え方を適用してみましょう.除法ができるとは限らないのですから,除法ができる(商が整数になる)整数の組は特別な組です.とはいえ,ただ「除法ができる」だけではまとまりがなさそうなので,割る数を揃えてそのような組を集めてみましょう.つまり,整数
を考えます.
.整数
この事実を踏まえると,
2つの