極限と余積の交換

圏論

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これは圏論アドベントカレンダーの2日目の記事です。

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まえがき

集合の圏 $Set$ において、積と余積は交換しない。実際、
$(X + Y) \times (Z + W) ≅ (X \times Z) + (X \times W) + (Y \times Z) + (Y \times W) ≇ (X \times Z) + (Y \times W)$

ところが、 $Set$ において, イコライザやpullbackは余積と交換する。
これを(少し一般化した形で)示すのが、この記事の目標。

連結極限

連結圏

圏 $C$ が連結
$\overset{d e f}{\Leftrightarrow}$ $C \neq \emptyset$ かつ, 任意の $X, Y \in C$ に対し
ジグザグ $X \to \cdot \leftarrow \cdot \to \dots \leftarrow \cdot \to \cdot \leftarrow Y$ in $C$ が存在.
連結(余)極限とは, 図式圏が連結な(余)極限のこと.

連結極限

イコライザの図式圏
$\cdot \cdot$
は連結. したがってイコライザは連結極限.
pullbackの図式圏
$\cdot \cdot \cdot$
は連結. したがってpullbackは連結極限.

定数図式の連結極限

$I$ :連結圏, $C \in C$ に対し,
$\underset{I \in I}{Lim} C ≅ C$
が成り立つ. 余極限についても同様のことが成り立つ.

省略.

$T$ :圏 $C$ 上のモナド, $I$ :小圏とし, $C \overset{T}{\to} C$ が $I$ 型余極限を保つとする.
このとき, Eilenberg-Moore圏 $C^{T}$ は $I$ 型余極限を持ち, 忘却 $C^{T} \to C$ は $I$ 型余極限を保つ.

HoCA2 のProp4.3.2, もしくは Context のThm5.6.5(ii) を参照.

$C$ :完備かつ余完備な圏, $C \in C$ に対し, 次が成り立つ.
(1) 余スライス圏からの忘却 $C / C \to C$ は, 連結余極限を保つ.

スライス圏からの忘却 $C / C \to C$ は, 連結極限を保つ.

(2)は(1)の双対命題なので, (1)のみ示す.
$C$ 上のモナド $T (X) := C + X (X \in C)$ を考えると, $C^{T} ≅ C / C$ となっている.

$C$ における任意の連結余極限 $\underset{I \in I}{Colim} X_{I}$ に対し, 補題1を使うことで
$\begin{aligned} T (\underset{I \in I}{Colim} X_{I}) & = C + \underset{I \in I}{Colim} X_{I} \\ ≅ \underset{I \in I}{Colim} C + \underset{I \in I}{Colim} X_{I} \\ ≅ \underset{I \in I}{Colim} (C + X_{I}) \\ = \underset{I \in I}{Colim} T (X_{I}) \end{aligned}$
が成り立つので, $T$ は連結余極限を保つ. したがって定理2より $C / C ≅ C^{T} \to C$ は連結余極限を保つ.

連結極限と余積の交換

$I \in Set$ に対し, 圏同値 $K : Set / I ≃ [I, Set]$ であって次を(up to isoで)可換にするものが存在する.
$Set / I K ≃ U [I, Set] \underset{i \in I}{∐} Set$
ここで, $[I, Set]$ は $I$ を離散圏とみなしたときの関手圏. $U$ はスライス圏からの忘却関手. $\underset{i \in I}{∐}$ は余積をとる関手.

$(X \overset{f}{\to} I) \overset{K}{\mapsto} {f^{- 1} (i)}_{i \in I}$ により $K$ を定めれば良い.

連結極限と余積の交換

任意の $I \in Set$ に対し, 余積をとる関手 $[I, Set] \overset{\underset{i \in I}{∐}}{⟶} Set$ は連結極限を保つ.

補題3と定理2系(2)から従う.

反例

$Set$ 以外の圏においては, 連結極限と余積が交換するとは限らない.
以下で, 可換環の圏 $CRing$ においてイコライザと余積が交換しない例を構成する.

$CRing$ におけるイコライザ
$Z Δ Z \times Z π π^{'} Z \dots (*)$
を考える. ここで $Δ$ は対角射, $π, π^{'}$ は射影.
$CRing$ において $(*)$ と $(*)$ の余積をとることで, 次の図式を得る. (可換環の余積がAbel群のテンソル積で与えられることに注意)
$Z i (Z \times Z) \otimes_{Z} (Z \times Z) p q Z \dots (* *)$
$i$ は $i (n) = (n, n) \otimes (1, 1)$ なる環準同型, $p$ は $p ((a, b) \otimes (c, d)) = a c$ をみたす一意的な環準同型, $q$ は $q ((a, b) \otimes (c, d)) = b d$ をみたす一意的な環準同型である.

ここで, $x := (2, 1) \otimes (1, 2) \in Z^{2} \otimes Z^{2}$ は $p (x) = 2 = q (x)$ をみたすので, $x$ は $p, q$ のイコライザに属す. ところが, 次の補題により $x$ は $i$ の像に含まれない.
したがって, $(* *)$ はイコライザになっていない.

任意の $n \in Z$ に対し, $(n, n) \otimes (1, 1) \neq (2, 1) \otimes (1, 2)$ in $Z^{2} \otimes Z^{2}$

写像 $h : Z^{2} \times Z^{2} \to Z$ を $h ((a, b), (c, d)) := a d + b c$ と定義する.
$h$ は $Z$ -双線型になっているので, $f ((a, b) \otimes (c, d)) = a d + b c$ となるようなAbel群の射 $f : Z^{2} \otimes Z^{2} \to Z$ が一意に存在する.
すると $f ((n, n) \otimes (1, 1)) = 2 n \neq 5 = f ((2, 1) \otimes (1, 2))$ なので, 特に $(n, n) \otimes (1, 1) \neq (2, 1) \otimes (1, 2)$ が従う.