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大学数学基礎解説
文献あり

5882353

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A2+B2=10nA+Bを満たす正の整数A,B,nを求めよ。

簡単に見つかる解はA=10nB=1である。従ってこれ以外の解を見つけることが目標である。解が見つかったと仮定する。
A2+B2=10nA+Bを変形すると(2A10n)2+(2B1)2=102n+1となるが102n+1が素数であれば(10n)2+12以外の二平方和による表し方はない。合成数であればその素因数は4n+1の型をしており、平方和で表すことができる。ディオファントスの等式を利用すると二平方和による表現が複数可能となる。(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(aybx)2=(axby)2+(ay+bx)2
102n+1は奇数なので二平方和X2+Y2で表すと、一方は偶数で他方は奇数となる。2B1は正の奇数なので2B1=Yとしてよい。2A10nは負になることもありうるので、2A10n=±Xである。A=10n+X2とするときC=10nA=10nX2と表すことができる。

ABを既約分数でabと表すとAB=B110nAより、正の整数x,yA=ax,B=bx,B1=ay,10nA=byを満たす数が存在する。
このときax+by=10n,bxay=1より(ax+by)2+(bxay)2=102n+1となるが、ディオファントスの恒等式(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(bxay)2により102n+1は合成数であり、分解されたそれぞれの数もまた平方数の和で表すことができる。従って問題1の解は102n+1の約数を調べることで見つけることができる。

★解の探索方法
p=4n+1を素数とする。p=a2+b2の形で表すことができる。
フェルマーの小定理により1pの循環節の長さは4nの約数となる。
すなわち10p11(modp)である。ただしp5とする。
1p=M104n1
ここでMは循環節である。
循環節の長さが最大の4nである場合について考える。このときp102n1の約数ではない。したがってp102n+1の素因数である。
ax+by=10n,bxay=1を解くとx=10na+ba2+b2,y=10nbaa2+b2を得る。x,yがともに整数なるときax=A,bx=Bが求める解となる。またby=10nA=C,bx=BC2+B2=10nC+Bを満たすので解とみなせる。

p=17=42+12について1pを計算すると0.0588235294117647という循環小数が得られる。
588235294117647÷(1081)=5882353となり、588235317=108+1である。
5882353=108+117=5882352941176471081
x=4104+142+12=2353によりA=9412,B=2353が解として得られる。また、y=1104442+12=588によりC=588,B=2353も条件を満たす。
ちなみに5882353は素数である。

問題1の解となるようなA,Bについて10nA+Bが素数となるのは、Bn桁と仮定するとき1015882353のみである。

5882353:この数は面白い

 10nA+Bが素数となるのであればA,Bは互いに素である。
AB=abよりx=1とすればよいので、
(A2+B2)(1+y2)=(A+By)2+(BAy)2=102n+1となる。
このときA+By=10n,BAy=1である。
A2+B2=10nA+B102n+1の約数となるためには、B10の倍数ではなく、かつBn桁であるためには10n1<B<10nが必要条件である。
ただしn=1の場合に限り1B<10となる。
n=1の場合、102+1=101は素数となるので約数は自明なものに限る。したがってy=0となるのでBAy=BよりB=1となり、このときA=10となるのでA2+B2=101となる。

n2のとき10n1<B<10nである。
よって102n2<B(B1)<102n
y1なのでBBy=10nAより10n1<10nA<10nが成り立つ。
したがって10n2<B(B1)10nA<10n+1が成り立つので10n2<Aとなる。102n2<10nA<10nA+B=A2+B2=102n+11+y2となるので、1+y2<102n+1102n2<101を得る。従ってy9である。
1+y2102n+1の約数となるような条件を満たすy4,6のみである。

y=6とすると1+y2=37である。102n+10(mod37)と仮定すると1031(mod37)より4n3の倍数となる。n3の倍数となり10n10(mod37)となるので矛盾する。

y=4とすると1+y2=17である。102n+10(mod17)と仮定すると108+10(mod17)より4n16の倍数となる。n4の倍数なのでn=4mとおく。108m+10(mod17)が成り立つのはmが奇数の場合に限る。さらに108m+117が素数となるのはm=1の場合のみである。
すなわち5882353のみである。

参考文献

投稿日:2022122
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