が素数となるのであればは互いに素である。
よりとすればよいので、
となる。
このときである。
がの約数となるためには、はの倍数ではなく、かつが桁であるためにはが必要条件である。
ただしの場合に限りとなる。
の場合、は素数となるので約数は自明なものに限る。したがってとなるのでよりとなり、このときとなるのでとなる。
のときである。
よって
なのでよりが成り立つ。
したがってが成り立つのでとなる。となるので、を得る。従ってである。
がの約数となるような条件を満たすはのみである。
とするとである。と仮定するとよりはの倍数となる。はの倍数となりとなるので矛盾する。
とするとである。と仮定するとよりはの倍数となる。はの倍数なのでとおく。が成り立つのはが奇数の場合に限る。さらにが素数となるのはの場合のみである。
すなわちのみである。