陰関数の極値とマクローリン展開

はじめに

今回取り上げる問題は、陰関数とその関数の極値が与えられた時に、その極値が極大であるか極小であるかを判定する問題です。マクローリン展開も使う面白い問題なっているので、ぜひ考えてみてください。ちなみに、東京大学の編入問題の改題です。

問題

考え方

極値をとる$x=1$の周りでマクローリン展開をして、周辺の挙動を調べればよい。周辺がすべて$y(1)$よりも大きい(小さい)値であれば、$x=1$では極小(極大)であることがわかる。また、極値では1階微分は0になってしまうので、2次の項まで展開する必要がある。

解答

$y(1)$を求める

与式に$x=1$を代入し、$y_0=y(1)$とすれば、
$$\begin{array}{}\text{(1)}& y_0^3+3y_0^2+y_0-1=0\end{array}$$
が従う。また、与式の両辺を微分すると
$$\begin{array}{}\text{(2)}& 3y^2{y}^{\prime }+3y^2+6xy{y}^{\prime }+3x^{2}y+x^{3}y{y}^{\prime }=0\end{array}$$
であるため、これに$y^{\prime }(1)=0$および$y(1)=y_0$、$x=1$を代入すれば、
$$\begin{array}{}\text{(3)}& 3y_0^2+3y_0=0\end{array}$$
(3)より$y_0=0,-1$が従うが、これを(1)に代入すると、$y_0=0$は不適であることが従う。よって、$y_0=-1$となる

$y^{″}(1)$を求める

次に2階微分を求めるために(2)の両辺をさらに微分して、$x=1,y^{\prime }(1)=0,y(1)=-1$を代入すると、$y_2=y^{″}(1)$は
$$3y_2-6y_2-6+y_2=0$$
となり、$y_2=-3$が従う。

マクローリン展開

以上の結論から$y(x)$を2次の項まで展開すると
$$\begin{array}{rcl}y(x)& =& y(1)+y^{\prime }(1)(x-1)+\frac{1}{2}{y}^{″}(1)(x-1{)}^2\\ & =& -1-\frac{3}{2}(x-1{)}^2\end{array}$$
よって、$x=1$における$y(x)$は極小値であることがわかる。周辺の値は2項目によって必ず$-1$より小さい。

おわりに

いかがでしたでしょうか。この判定方法は、増減表を使わない斬新のやり方ですね。このような柔軟な思想は応用問題では特に重要なので、編入する方はぜひ様々な種類の問題に触れて、新しい考え方を学んでみるといいと思います。