Queen Property のお話

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この記事では, Queen Property のお話をしていこうと思います.

Queen Property なんて聞いたことないよっていう方もいるかもしれません. それもそのはずです, 私の考えた言葉なので.

ではまず, この名前の元となった, King Property について紹介します.

$$ \displaystyle\int_0^af(x)\,dx=\int_0^af(a-x)\,dx$$

所謂「区間反転」というやつです. この2つをさらに足してうまく解くという問題もあります.
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(例題) $\displaystyle I=\int_0^{\fracπ2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$

$\displaystyle \int_0^{\fracπ2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx=\int_0^{\fracπ2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$ なので,

$\displaystyle I=\frac12\int_0^{\fracπ2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\frac12\int_0^{\fracπ2} dx=\fracπ4$

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では本題の, Queen Property を紹介します.

$$ \displaystyle\sum_{k=0}^nf(k)=\sum_{k=0}^nf(n-k)$$

こう書いてしまうととても当たり前に見えてしまいますが, 上の例題と同じようにすると, ちょこっと面白いことができます.
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(例題) $\displaystyle S=\sum_{k=0}^n\frac{k!}{k!+(n-k)!}$

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{k!}{k!+(n-k)!}=\sum_{k=0}^n\frac{(n-k)!}{k!+(n-k)!}$ なので,

$\displaystyle S=\frac12\sum_{k=0}^n\frac{k!+(n-k)!}{k!+(n-k)!}=\frac12\sum_{k=0}^n1=\frac{n+1}2$

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読んで下さってありがとうございました. これを使った面白い問題が作れたら楽しそうです.
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(追記)

面白い問題がありました！

$\displaystyle S=\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}^2=\sum_{k=0}^n(n-k)\binom{n}{k}^2$ なので,
$\displaystyle S=\frac n2\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\frac n2\binom{2n}{n}$