Queen Property のお話

この記事では, Queen Property のお話をしていこうと思います.

Queen Property なんて聞いたことないよっていう方もいるかもしれません. それもそのはずです, 私の考えた言葉なので.

ではまず, この名前の元となった, King Property について紹介します.

$${\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx}$$

所謂「区間反転」というやつです. この2つをさらに足してうまく解くという問題もあります.
$$

(例題) ${\displaystyle I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$ なので,

${\displaystyle I=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx=\frac{\pi }{4}}$

では本題の, Queen Property を紹介します.

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f(k)=\sum _{k=0}^{n}f(n-k)}$$

こう書いてしまうととても当たり前に見えてしまいますが, 上の例題と同じようにすると, ちょこっと面白いことができます.
$$

(例題) ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^n\frac{k!}{k!+(n-k)!}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{k!}{k!+(n-k)!}=\sum _{k=0}^n\frac{(n-k)!}{k!+(n-k)!}}$ なので,

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^n\frac{k!+(n-k)!}{k!+(n-k)!}=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n}1=\frac{n+1}{2}}$

読んで下さってありがとうございました. これを使った面白い問題が作れたら楽しそうです.
$$

(追記)

面白い問題がありました！

${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{n}k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2=\sum _{k=0}^n(n-k){(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2}$ なので,
${\displaystyle S=\frac{n}{2}\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2=\frac{n}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$