Bessel関数の4つの積の積分2
前の記事
で, 変形Bessel関数に関する2つの積分
\begin{align}
\int_0^{\infty}tI_{\nu}(t)K_{\nu}(t)^3\,dt&=\frac{\pi\left(\psi\left(\frac 12\right)-\psi\left(\frac 12-\nu\right)\right)}{8\sin\pi\nu}\\
\int_0^{\infty}tK_{\nu}(t)^4\,dt&=\frac{\pi^2\left(2\psi\left(\frac 12\right)-\psi\left(\frac 12+\nu\right)-\psi\left(\frac 12-\nu\right)\right)}{16\sin^2\pi\nu}
\end{align}
Bessel関数についても同じような積分を考えたいが, 3つの積分
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^4\,dt\\
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^2Y_{\nu}(t)^2\,dt\\
&\int_0^{\infty}tY_{\nu}(t)^4\,dt
\end{align}
は発散してしまうという問題がある. しかし,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^3Y_{\nu}(t)\,dt\\
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)^3\,dt
\end{align}
は$|\nu|$を小さくとると条件収束しているようである. よって, まずはそれらを考える. 以下は
前の記事
で用いた補題2である.
\begin{align}
F(s)&=\int_0^{\infty}t^{s-1}f(t)\,dt\\
G(s)&=\int_0^{\infty}t^{s-1}g(t)\,dt
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}tf(t)g(t)\,dt&=\frac 1{\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}F(2u)G(2-2u)\,du
\end{align}
が成り立つ.
以下は 前の記事 で用いた補題2である.
\begin{align} \int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)^2\,dt&=\frac{\Gamma\left(\frac s2+\nu\right)\Gamma\left(\frac 12-\frac s2\right)}{2\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+1-\frac s2\right)\Gamma\left(1-\frac s2\right)}\\ \int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)\,dt&=-\frac{\Gamma\left(\frac s2\right)\Gamma\left(\frac s2+\nu\right)}{2\sqrt{\pi}\Gamma\left(1+\nu-\frac s2\right)\Gamma\left(\frac 12+\frac s2\right)}\\ \int_0^{\infty}t^{s-1}(Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2)\,dt&=\frac{\Gamma\left(\frac s2\right)\Gamma\left(\nu+\frac s2\right)\Gamma\left(\frac s2-\nu\right)}{\pi^{\frac 32}\Gamma\left(\frac{1}2+\frac s2\right)}\cos\pi\left(\nu-\frac s2\right) \end{align}
まずはこれらを用いて以下を示す.
\begin{align} \int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^3Y_{\nu}(t)\,dt&=-\frac 1{4\pi}\\ \int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)^3\,dt&=\frac{\cot\pi\nu}{\pi^2}\left(\psi\left(\nu+\frac 12\right)-\psi\left(\frac 12\right)\right)-\frac 3{4\pi} \end{align}
$f(t)=J_{\nu}(t)Y_{\nu}(t),g(t)=J_{\nu}(t)^2$として補題1, 補題2を用いると
\begin{align}
\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^3Y_{\nu}(t)\,dt&=-\frac 1{2\pi i}\frac 1{2\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(u)\Gamma(u+\nu)}{\Gamma(1+\nu-u)\Gamma\left(\frac 12+u\right)}\frac{\Gamma(1+\nu-u)\Gamma\left(u-\frac 12\right)}{\Gamma(\nu+u)\Gamma(u)}\,du\\
&=-\frac 1{2\pi i}\frac 1{2\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{1}{u-\frac 12}\,du\\
&=-\frac 1{2\pi i}\frac 1{2\pi}PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{u}\,du-\frac 1{4\pi}\qquad u\to \frac 12+iu\\
&=-\frac 1{4\pi}
\end{align}
となって一つ目の式が得られる. ここにおいて,
\begin{align}
PV\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{u}\,du
\end{align}
は通常の意味では収束していないので,
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}PV\int_{-N}^{N}\frac{1}{u}\,du=0
\end{align}
のように解釈するものとする. これは
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^sJ_{\nu}(t)^3Y_{\nu}(t)\,dt
\end{align}
に対して同様の議論を行って$s\searrow 1$とすれば正当化できる. 次に, $f(t)=Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2, g(t)=J_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)$として補題1, 補題2を用いると, Mellin-Barnes積分を積分路の右側の極に関して展開して,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)(Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2)\,dt\\
&=-\frac 1{2\pi i}\frac 1{\pi^2}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(u)\Gamma(u+\nu)\Gamma(u-\nu)}{\Gamma\left(\frac 12+u\right)}\cos\pi(u-\nu)\frac{\Gamma(1-u)\Gamma(1-u+\nu)}{\Gamma(u+\nu)\Gamma\left(\frac 32-u\right)}\,du\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cos\pi u\cos\pi(u-\nu)}{\left(u-\frac 12\right)\sin\pi u\sin\pi(u-\nu)}\,du\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cos\pi\nu}{\left(u-\frac 12\right)\sin\pi u\sin\pi(u-\nu)}\,du-\frac 1{2\pi i}\frac 1{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{1}{u-\frac 12}\,du\\
&=\frac{\cot\pi\nu}{\pi^2}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{n+\frac 12}-\frac 1{n+\frac 12+\nu}\right)-\frac 1{2\pi}\\
&=\frac{\cot\pi\nu}{\pi^2}\left(\psi\left(\nu+\frac 12\right)-\psi\left(\frac 12\right)\right)-\frac 1{2\pi}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)^3\,dt&=\frac{\cot\pi\nu}{\pi^2}\left(\psi\left(\nu+\frac 12\right)-\psi\left(\frac 12\right)\right)-\frac 3{4\pi}
\end{align}
を得る.
特に, 1つ目の式が$\nu$に依存していないのは興味深い. 次に,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^4\,dt\\
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^2Y_{\nu}(t)^2\,dt\\
&\int_0^{\infty}tY_{\nu}(t)^4\,dt
\end{align}
は発散しているが, その差を考えることによって収束する積分を得ることを考える. $f(t)=g(t)=J_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)$として補題1, 補題2を適用すると,
\begin{align}
\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^2Y_{\nu}(t)^2\,dt&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{2\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(u)\Gamma\left(u+\nu\right)}{\Gamma(\nu+1-u)\Gamma\left(\frac 12+u\right)}\frac{\Gamma(1-u)\Gamma\left(1+\nu-u\right)}{\Gamma(\nu+u)\Gamma\left(\frac 32-u\right)}\,du\\
&=-\frac 1{2\pi i}\frac 1{2\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cos\pi u}{\left(u-\frac 12\right)\sin\pi u}\,du
\end{align}
また, $f(t)=Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2, g(t)=J_{\nu}(t)^2$として補題1, 補題2を適用すると,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^2(Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2)\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{\pi^2}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(u)\Gamma(u+\nu)\Gamma(u-\nu)}{\Gamma\left(\frac 12+u\right)}\cos\pi(u-\nu)\frac{\Gamma(1+\nu-u)\Gamma\left(u-\frac 12\right)}{\Gamma(\nu+u)\Gamma(u)}\,du\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cos\pi(u-\nu)}{\left(u-\frac 12\right)\sin\pi(u-\nu)}\,du
\end{align}
となる. これらの積分は発散しているが, これらを次のように足し合わせると収束し, 右側の極に関して展開すると,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^2(3Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2)\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cot\pi(u-\nu)-\cot\pi u}{u-\frac 12}\,du\\
&=\frac 1{\pi^2}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{n+\frac 12}-\frac 1{n+\frac 12+\nu}\right)\\
&=\frac 1{\pi^2}\left(\psi\left(\frac 12+\nu\right)-\psi\left(\frac 12\right)\right)
\end{align}
を得る. ここにおいて, 発散する積分を足し合わせるということを行ったが, これは
\begin{align}
&\int_0^{\infty}t^sJ_{\nu}(t)^2Y_{\nu}(t)^2\,dt\\
&\int_0^{\infty}t^sJ_{\nu}(t)^2(Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2)\,dt
\end{align}
で同様のことを行ってから$s\searrow 1$とすれば正当化される. 同様に, $f(t)=g(t)=Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2$として補題1, 補題2を適用すると,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}t(Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2)^2\,dt\\
&=-\frac 1{2\pi i}\frac{2}{\pi^3}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(u)\Gamma(u-\nu)\Gamma(u+\nu)}{\Gamma\left(\frac 12+u\right)}\cos\pi(u-\nu)\frac{\Gamma(1-u)\Gamma(1-u-\nu)\Gamma(1-u+\nu)}{\Gamma\left(\frac 32-u\right)}\cos\pi(u+\nu)\,du\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac{2}{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cot\pi u\cot\pi(u-\nu)\cot\pi(u+\nu)}{u-\frac 12}\,du
\end{align}
であるから, 先ほどの式
\begin{align}
\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^2Y_{\nu}(t)^2\,dt&=-\frac 1{2\pi i}\frac 1{2\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cot\pi u}{u-\frac 12}\,du
\end{align}
の4倍を引くと,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}t(J_{\nu}(t)^4-6J_{\nu}(t)^2Y_{\nu}(t)^2+Y_{\nu}(t)^4)\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac{2}{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cot\pi u(\cot\pi(u-\nu)\cot\pi(u+\nu)+1)}{u-\frac 12}\,du\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac{2\cos2\pi\nu}{\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\cot\pi u}{\left(u-\frac 12\right)\sin\pi(u-\nu)\sin\pi(u+\nu)}\,du\\
&=\frac{2\cos2\pi\nu}{\pi^2}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{\sin^2\pi\nu}\frac 1{n+\frac 12}-\frac{\cot\pi\nu}{\sin 2\pi\nu}\frac 1{n+\frac 12+\nu}-\frac{\cot\pi\nu}{\sin 2\pi\nu}\frac 1{n+\frac 12-\nu}\right)\\
&=\frac{\cos2\pi\nu}{\pi^2\sin^2\pi\nu}\sum_{0\leq n}\left(\frac 2{n+\frac 12}-\frac 1{n+\frac 12+\nu}-\frac 1{n+\frac 12-\nu}\right)\\
&=\frac{\cos2\pi\nu}{\pi^2\sin^2\pi\nu}\left(\psi\left(\frac 12+\nu\right)+\psi\left(\frac 12-\nu\right)-2\psi\left(\frac 12\right)\right)
\end{align}
となる. よって以下が得られた.
\begin{align} \int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^2(3Y_{\nu}(t)^2-J_{\nu}(t)^2)\,dt&=\frac 1{\pi^2}\left(\psi\left(\frac 12+\nu\right)-\psi\left(\frac 12\right)\right)\\ \int_0^{\infty}t(J_{\nu}(t)^4-6J_{\nu}(t)^2Y_{\nu}(t)^2+Y_{\nu}(t)^4)\,dt &=\frac{\cos2\pi\nu}{\pi^2\sin^2\pi\nu}\left(\psi\left(\frac 12+\nu\right)+\psi\left(\frac 12-\nu\right)-2\psi\left(\frac 12\right)\right) \end{align}
定理3, 定理4において特に, $\nu\to 0$とすると以下の積分を得る.
\begin{align}
\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)^3Y_{\nu}(t)\,dt&=\int_0^{\infty}tJ_{\nu}(t)Y_{\nu}(t)^3\,dt=-\frac 1{4\pi}\\
\int_0^{\infty}tJ_0(t)^2(3Y_0(t)^2-J_0(t)^2)\,dt&=0\\
\int_0^{\infty}t(J_0(t)^4-6J_0(t)^2Y_0(t)^2+Y_0(t)^4)\,dt
&=-\frac{14\zeta(3)}{\pi^4}
\end{align}
これらは, Legendre関数の4つの積の積分に関するZhouの2018年の論文において用いられているものである.
