1次コホモロジーの計算例

${\mathbb{C}}^2\setminus \{0\}$上の正則関数のなす層$\mathcal{O}$のコホモロジーを計算する。
$P:=\{0\}$とおく。局所コホモロジー論により、次の長完全系列が得られる。
$$\begin{array}{rl}0& \to H_P^0({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})\to H^0({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})\to H^0({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})\\ & \to H_P^1({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})\to H^1({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})\to H^1({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})\\ & \to H_P^2({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})\to H^2({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})\to H^2({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})\\ & \to 0.\end{array}$$
ここで、$H^i({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})=0$($i>0$)、 $H_P^i({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})=0$ ($i>2$)であり、
ハルトークスの定理から$H^0({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})\stackrel{\sim }{\to }{H}^0({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})$ である。よって
$$H^i({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{H}^0({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O}),(i=0),\\ H_P^2({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O}),(i=1),\\ 0,(i>1).\end{array}\end{array}$$

$H^1({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})$について詳しく調べる。
$U_1:={\mathbb{C}}^2\setminus \{z_1=0\}=\{z_1\ne 0\}$、 $U_2:={\mathbb{C}}^2\setminus \{z_2=0\}=\{z_2\ne 0\}$とおく。
$U_1\cup U_2={\mathbb{C}}^2\setminus P$、$U_1\cap U_2\simeq {\mathbb{C}}^{\ast }\times {\mathbb{C}}^{\ast }$、$U_1\simeq U_2\simeq \mathbb{C}\times {\mathbb{C}}^{\ast }$なので
$i>0$について$H^i(U_1,\mathcal{O})=0$、$H^i(U_2,\mathcal{O})=0$、$H^i(U_1\cap U_2,\mathcal{O})=0$。
つまり$\mathcal{U}:=\{U_1,U_2\}$ はacyclic cover であり、$H^i({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})\simeq H^i(\mathcal{U},\mathcal{O})$。

今、1-cochain、つまり$C^1(\mathcal{U},\mathcal{O})=\mathcal{O}(U_1\cap U_2)$の元は
$$f(z_1,z_2)=\sum _{m,n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_{m,n}{z}_1^m{z}_2^n$$
と表せる。
また、$\mathcal{O}(U_1)$の元は $f(z_1,z_2)=\sum _{n\ge 0}{b}_{m,n}{z}_1^m{z}_2^n$、$\mathcal{O}(U_2)$の元は$f(z_1,z_2)=\sum _{m\ge 0}{z}_1^m{z}_2^n$と表せる。よって
$$\delta ({\mathcal{C}}^0(\mathcal{U},\mathcal{O}))=\mathcal{O}(U_1)+\mathcal{O}(U_2).$$

以上から、$H^1({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})$は$z_1^m{z}_2^n$$(m,n<0)$で張られる無限次元ベクトル空間である(${\dim }_{\mathbb{C}}{H}^1({\mathbb{C}}^2\setminus P,\mathcal{O})=\mathrm{\infty }$)。

ここで、${\mathfrak{m}}_P$ を、$P$に対応する$A:=\mathbb{C}[z_1,z_2]$の極大イデアルとする。
${\mathbb{C}}^2=\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[z_1,z_2])=\mathrm{Spec}(A)$であり、
$$\begin{array}{rl}{H}_P^2({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})& \simeq H_{{\mathfrak{m}}_P}^2(A)\\ & \simeq \underset{k}{\underrightarrow{\lim }}{\mathrm{Ext}}^2(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^k,\mathcal{O})\\ & \simeq \underset{k}{\underrightarrow{\lim }}{H}^0(P,\mathcal{E}x{t}^2(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^k,\mathcal{O})).\end{array}$$

次の層単完全系列を考える。
$$0\to {\mathfrak{m}}_P^k/{\mathfrak{m}}_P^{k+1}\to \mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^{k+1}\to \mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^k\to 0.$$
また、${\mathfrak{m}}_P^k/{\mathfrak{m}}_P^{k+1}\simeq {\mathrm{Sym}}^k({\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2)$である。これより、次の長完全系列を得る。
$$\begin{array}{rl}0& \to \mathcal{E}x{t}^0(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^k,\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^0(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^{k+1},\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^0({\mathrm{Sym}}^k({\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2),\mathcal{O})\\ & \to \mathcal{E}x{t}^1(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^k,\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^1(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^{k+1},\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^1({\mathrm{Sym}}^k({\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2),\mathcal{O})\\ & \to \mathcal{E}x{t}^2(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^k,\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^2(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^{k+1},\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^2({\mathrm{Sym}}^k({\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2),\mathcal{O})\\ & \to 0.\end{array}$$
${\mathrm{codim}}_P({\mathbb{C}}^2)=2$ より、
$$0\to \mathcal{E}x{t}^2(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^k,\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^2(\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}_P^{k+1},\mathcal{O})\to \mathcal{E}x{t}^2({\mathrm{Sym}}^k({\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2),\mathcal{O})\to 0.$$
よって、$H_P^2({\mathbb{C}}^2,\mathcal{O})$には、フィルトレーション$\{H^0(P,\mathcal{E}x{t}^2({\mathrm{Sym}}^k({\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2),\mathcal{O})){\}}_k$がある。
(ひとつひとつは$⟨z_1^m{z}_2^n{⟩}_{m+n=-k,m,n<0}$に対応すると思うが、まだ確認していない)