$\mathbb{C}^2 \setminus \{0 \}$上の正則関数のなす層$\mathcal{O}$のコホモロジーを計算する。
① $P := \{0 \}$とおく。局所コホモロジー論により、次の長完全系列が得られる。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
0 &\rightarrow H^0_P(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \rightarrow H^0(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \rightarrow H^0(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O})\\
&\rightarrow H_P^1(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \rightarrow H^1(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \rightarrow H^1(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O})\\
&\rightarrow H_P^2(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \rightarrow H^2(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \rightarrow H^2(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O})\\
&\rightarrow 0.
\end{split}
\end{equation}
$$
ここで、$H^i(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) = 0 $($i > 0$)、 $H^i_P(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) = 0$ ($i > 2$)であり、
ハルトークスの定理から$H^0(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \xrightarrow{\sim} H^0(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O})$ である。よって
$$ H^i(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O}) =
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H^0(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}),\ (i = 0), \\
H^2_P(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}), \ (i = 1),\\
0, \ (i > 1).
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
② $H^1(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O})$について詳しく調べる。
$U_1 := \mathbb{C}^2 \setminus \{z_1 = 0 \} = \{z_1 \neq 0 \}$、 $U_2 := \mathbb{C}^2 \setminus \{z_2 = 0 \} = \{z_2 \neq 0 \}$とおく。
$U_1 \cup U_2 = \mathbb{C}^2 \setminus P$、$U_1 \cap U_2 \simeq \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$、$U_1 \simeq U_2 \simeq \mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$なので
$i > 0$について$H^i(U_1,\mathcal{O}) = 0$、$H^i(U_2, \mathcal{O})=0$、$H^i(U_1 \cap U_2, \mathcal{O}) = 0$。
つまり$\mathcal{U} := \{U_1, U_2 \}$ はacyclic cover であり、$H^i(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O}) \simeq H^i(\mathcal{U}, \mathcal{O})$。
今、1-cochain、つまり$C^1(\mathcal{U}, \mathcal{O}) = \mathcal{O}(U_1 \cap U_2)$の元は
$$f(z_1, z_2) = \sum_{m, n = -\infty}^{\infty} a_{m, n} z_1^m z_2^n
$$
と表せる。
また、$\mathcal{O}(U_1)$の元は $f(z_1, z_2) = \sum_{n \geq 0} b_{m, n}z_1^m z_2^n$、$\mathcal{O}(U_2)$の元は$f(z_1, z_2) = \sum_{m \geq 0} z_1^mz_2^n$と表せる。よって
$$\delta(\mathcal{C}^0(\mathcal{U}, \mathcal{O})) = \mathcal{O}(U_1) + \mathcal{O}(U_2).
$$
以上から、$H^1(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O})$は$z_1^mz_2^n$$(m, n < 0)$で張られる無限次元ベクトル空間である($\dim_{\mathbb{C}} H^1(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O}) = \infty$)。
③ ここで、$\mathfrak{m}_P$ を、$P$に対応する$A := \mathbb{C}[z_1, z_2]$の極大イデアルとする。
$\mathbb{C}^2 = \mathop{\rm Spec}\nolimits (\mathbb{C}[z_1, z_2]) = \mathop{\rm Spec}\nolimits(A)$であり、
$$
\begin{equation}
\begin{split}
H_P^2(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) &\simeq H_{\mathfrak{m}_P}^2(A)\\
&\simeq \varinjlim_{k} \mathop{\rm Ext}\nolimits^2(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^k, \mathcal{O})\\
&\simeq \varinjlim_kH^0(P, \mathcal{E}xt^2(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^k, \mathcal{O})).
\end{split}
\end{equation}
$$
次の層単完全系列を考える。
$$
\begin{equation}
0 \rightarrow \mathfrak{m}_P^k/\mathfrak{m}_P^{k + 1} \rightarrow \mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k + 1} \rightarrow \mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^k \rightarrow 0.
\end{equation}
$$
また、$ \mathfrak{m}_P^k/\mathfrak{m}_P^{k + 1} \simeq (\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k$である。これより、次の長完全系列を得る。
$$
\begin{equation}
\begin{split}
0 &\rightarrow \mathcal{E}xt^0(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^0(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k+1}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^0((\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k, \mathcal{O})\\
&\rightarrow \mathcal{E}xt^1(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^1(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k+1}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^1((\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k, \mathcal{O})\\
&\rightarrow \mathcal{E}xt^2(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^2(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k+1}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^2((\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k, \mathcal{O})\\
&\rightarrow 0.
\end{split}
\end{equation}
$$
$\mathop{\rm codim}\nolimits_P(\mathbb{C}^2) = 2$ より、
$$
\begin{equation}
0 \rightarrow \mathcal{E}xt^2(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^2(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^{k+1}, \mathcal{O}) \rightarrow \mathcal{E}xt^2((\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k, \mathcal{O}) \rightarrow 0.
\end{equation}
$$
よって、$H_P^2(\mathbb{C}^2, \mathcal{O})$には、フィルトレーション$\{H^0(P, \mathcal{E}xt^2((\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k, \mathcal{O})) \}_k$がある。
(ひとつひとつは$\langle z_1^mz_2^n\rangle_{m + n =-k,\ m, n <0} $に対応すると思うが、まだ確認していない)
[2020/11/13 追記]
ワヘイヘイさん(@waheyhey)に $\mathbb{C}^2$ の $P:= \{0 \}$ におけるブローアップを考えることで $H^i(\mathbb{C}^2 \setminus P, \mathcal{O}) $ を計算する方法を教えて頂いたので追記します。
$X$ を $\mathbb{C}^2$の $P$ におけるブローアップ、$E$ をブローアップにおける例外曲線、$ U := \mathbb{C}^2 \setminus P$、$j : U \hookrightarrow X$ を開埋め込みとする。
このとき、層の短完全系列
$$
\begin{equation}0 \rightarrow \mathcal{O}_{X} \rightarrow j_*\mathcal{O}_U \rightarrow \bigoplus_{k = 1}^{\infty} \mathcal{O}_E(-k)\rightarrow 0 \end{equation}
$$
があり、これにより次のコホモロジー長完全系列を得る：
$$\begin{equation}\begin{split} 0 &\rightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X) \rightarrow H^0(X, j_*\mathcal{O}_U) \rightarrow H^0(E, \oplus_{k = 1}^{\infty} \mathcal{O}_E(-k))\\
&\rightarrow H^1(X, \mathcal{O}_X) \rightarrow H^1(X, j_*\mathcal{O}_U) \rightarrow H^1(E, \oplus_{k = 1}^{\infty} \mathcal{O}_E(-k))\\
&\rightarrow H^2(X, \mathcal{O}_X) \rightarrow H^2(X, j_*\mathcal{O}_U) \rightarrow 0.
\end{split}\end{equation}$$
ここで $H^i(X, \mathcal{O}_X) \simeq H^i(\mathbb{C}^2, \mathcal{O})$であり、また $j$ はアフィン射なので $H^i(X, j_*\mathcal{O}_U) \simeq H^i(U, \mathcal{O}_U)$ であることも分かる。
ゆえに、長完全系列から
$$H^1(U, \mathcal{O}_U) \simeq \bigoplus_{k = 1}^{\infty} H^1(E, \mathcal{O}_E(-k))$$
を得る。
①③での議論により、
$$ H_P^2(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \simeq\varinjlim_kH^0(P, \mathcal{E}xt^2(\mathcal{O}/\mathfrak{m}_P^k, \mathcal{O})) \simeq \bigoplus_{k = 1}^{\infty} H^1(E, \mathcal{O}_E(-k))$$
である。
③におけるフィルトレーション$\{H^0(P, \mathcal{E}xt^2((\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k, \mathcal{O})) \}_k$の構造から、同型
$$ H^0(P, \mathcal{E}xt^2((\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2)^k, \mathcal{O})) \simeq H^1(E, \mathcal{O}_E(-k))$$
が予想される(まだ示せていないので、分かる方は教えて下さい)。