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整数 (3) 余りの等しい数の集合

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

 こんにちは,龍孫江です.「はじめての可換環」第3回の問題はこちらです.

整数 (3) 余りの等しい数の集合

正整数$z > 0$を固定する.整数$a, b, c, d$に対し,$a$$b$$z$で割った余り,および$c$$d$$z$で割った余りがそれぞれ等しいとする.このとき,$a+c$$b + d$$z$で割った余り,$ac$$bd$$z$で割った余りがそれぞれ等しいことを証明せよ.

 第2回に除法の原理を紹介しました.再掲します.

除法の原理

正整数$z > 0$を固定する.任意の整数 $x$ に対して

$x = qz + r$ かつ $0 \le r < z$

を充たす整数$q$, $r$一意的に存在する.この$r$を,$x$$z$で割った余り(剰余)という.

 この事実のポイントは,$z$ で割った余りとなりうる値を$z$未満の非負整数のみに制限したことで,これによって迷うことなく「$x$$z$で割った余り」を考えられます.これはまた,単に表記揺れを気にせずに済むことのみならず,余りの集合に標準的なラベリングが自然に与えられることを示しています.つまり,次が成り立ちます:

正の整数$z > 0$を固定する.このとき,総ての整数は$z$個の集合

$z$ で割った余りが $r$ である整数全体

(ここで$0 \le r < z$)の1つ,かつただ1つのみに含まれる.

 第1回で述べたように,この「はじめての可換環」のテーマのひとつは

ある性質をもつ「もの」を集めて集合をつくる操作

を道具として活用することです.この命題に現れた$z$個の集合にも手頃な表示を与えておきましょう.
 第1回では,$z$の倍数全体の集合を$z \mathbb{Z}$と表しました.$z$の倍数は $z$ で割った余りが $0$ である数 とも言い換えられるので,これに倣う形で記号が作りたいところです.

 整数 $x$$z$ で割った余りの求め方を思い出しましょう.$x$から始めて,

  • $x \ge z$ ならば $z$ を引く;
  • $x < 0$ ならば $z$ を足す;

を繰り返して$z$未満の非負整数$r$に帰着し,この得られた値$r$を余りと定めたのでした.逆に,$z$で割った余りが$r$である数は$r$$z$を何回か足したり引いたりして得られるので,列挙すると

$$\ldots, r-3z, r-2z, r-z, r, r+z, r+2z, r+3z, \ldots$$

となります.さらに言えば,$z$ で割って $r$ になる整数とは $r$$z$の倍数を足した数に他なりませんから,これを

$$ r + z\mathbb{Z} $$

と表すことにしましょう.
 この表記は珍しい記号ではありませんが,その都度 $z\mathbb{Z}$ と記すのはいささか面倒なので,$\bar{r}$ などのより簡単な記号をその場その場で採用することがあります.

 この集合$r + z \mathbb{Z}$を,$r$が代表する剰余類と言います.「類」という語は英単語 class の訳語で,ものの集まりを意味します.$z$で割った余りを共有する整数の集まりなので「剰余類」と呼ぶわけです.

 この記号を踏まえて問題を捉え直します.整数$a$$z$で割った余りを$r$とすると,ある整数$a'$によって$a = r + a'z$と表されます.仮定「$a$$b$$z$で割った余りが等しい」が成り立つとき,$b$$z$で割った余りも$r$であり,ある整数$b'$によって$b = r + b'z$と表せます.
 さて,ここまでに誤りはないのですが,$a$$b$ を表すのに $r$ の他 $a'$, $b'$ と3つも文字を増やすのには微かに抵抗を感じます.文字が増えるのを過度に恐れるのも困りものですが,増やし過ぎれば収拾がつきません(ぼくはこの状況を「記号の渦に飲み込まれる」と呼んでいます).御しきれる程度のスリムな言い換えが欲しいところです.そのために,剰余類の特徴づけを見返してみましょう.

 剰余類$r + z \mathbb{Z}$$z$で割った余りが$r$である整数の全体として導入されました.ところで,その要素を観察すると$r + z \mathbb{Z}$$r$$z$ の倍数を加えて得られる数の全体でもあったわけです.前者では「余り」という語が入っていますから,厳格に運用するならば$r$としては$z$未満の非負整数しか取れません.しかし,後者の言い方なら$r$に大きさの制約を課す必要性は減ります.すなわち,任意の整数$a$に対して

$$ a + z \mathbb{Z} = \{ a + kz \mid k \in \mathbb{Z} \}$$

と定め,濫用の気配がなくはないものの,これらも剰余類と呼ぶと定めましょう.このとき

$$a = a + 0 \cdot z \in a + z \mathbb{Z}$$

なので,$a + z \mathbb{Z}$のことを「$a$を含む剰余類」とか「$a$が代表する剰余類」と呼びます.

 $a$$z$で割った余りを$r$とするとき,余りの作り方を思い出せば $a \in r + z \mathbb{Z}$,すなわち$a = qz + r$となる整数$q$が存在します.ここで

  1. $a + kz = (r + qz) + kz = r + (q+k)z \in r + z\mathbb{Z}$,すなわち$a + z \mathbb{Z} \subset r + z \mathbb{Z}$

  2. $r = a - qz \in a + z \mathbb{Z}$,特に (1) と同様 $r + z \mathbb{Z} \subset a + z \mathbb{Z}$

が成り立ち,これは

$a$$z$で割った余りが$r$である $\iff$ $a + z \mathbb{Z} = r + z \mathbb{Z}$

とまとめられます.同様に,$b$$z$で割った余りも$r$であったならば,$b + z \mathbb{Z} = r + z \mathbb{Z}$ を通して

$a$$b$ とを $z$ で割った余りが等しい $\iff$ $a + z \mathbb{Z} = b + z \mathbb{Z}$

と言い換えられました.先ほど$r$のほか$a'$, $b'$と2つも文字を使って表した関係が,見事に$a$, $b$$z$だけで記述できました.

 この集合の等式 $a + z \mathbb{Z} = b + z \mathbb{Z}$$a$$b$ の関係に落としましょう.今 $a \in b + z \mathbb{Z}$ なので,ある整数 $k$ により $a = b + kz$ と表せます.すなわち,$a - b = kz$$z$ の倍数です.ここから次が成り立ちます.

正整数 $z > 0$ を固定する.整数 $a$, $b$ に対し,以下は同値である:

  • $a$ および $b$$z$ で割った余りが等しい;

  • $a-b \in z \mathbb{Z}$,すなわち $a-b$$z$ の倍数である.

 余計な文字を増やさずに済む言い換えが得られたところで,問題の証明に進みましょう.

条件に上の言い換えを適用して,$a-b \in z \mathbb{Z}$ および$c-d \in z\mathbb{Z}$.ここから
$$ (a+c) - (b+d) = (a-b) + (c-d) \in z \mathbb{Z} $$ なので,$a+c$および$b+d$$z$で割った余りは等しい.同様に
$$ ac - bd = a (c-d) + (a-b)d \in z\mathbb{Z} $$ なので,$ac$$bd$$z$ で割った余りも等しい.

投稿日:2022123

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龍孫江
龍孫江
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代数学(群論・環論・体論)の問題を解説するYouTubeチャンネル「龍孫江の数学日誌」を運営しております(リンクからどうぞ).YouTubeでは扱いきれないまとまった記事を書いていきたいと思います.どうぞご贔屓に.

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