文献あり

二項係数の逆数の無限級数が収束する事を証明する

命題

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\binom{2 n}{n})}^{- 1}$
が収束する。

証明

まず、
${(\binom{2 n}{n})}^{- 1} > 0 (\forall n \in N)$
であるので級数(有限和)は単調増加するため上に有界であることを示せばよい。
次に、
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$
は収束する事が分かっている（バーゼル問題より）。そのため、
$\forall n \in N で {(\binom{2 n}{n})}^{- 1} < \frac{1}{n^{2}}$
が示せれば求める無限級数が上に有界であることが示せる。
このことからそれぞれの逆数をとり次の命題を証明する。

$(\binom{2 n}{n}) > n^{2} (\forall n \in N)$

数学的帰納法で解く。
まずn=1のとき
$(\binom{2}{1}) = 2 > 1^{2} = 1 よって成立。次に n = k （ k \in N ）のとき成立すると仮定。つまり (\binom{2 k}{k}) > k^{2} このとき (\binom{2 (k + 1)}{k + 1}) > (k + 1)^{2} となることを示せばよい。左辺を展開すると (\binom{2 k + 2}{k + 1}) = \frac{(2 k + 2)!}{((k + 1)!)^{2}} = \frac{(2 k + 2) (2 k + 1)}{(k + 1)^{2}} \cdot \frac{(2 k)!}{(k!)^{2}} \frac{(2 k)!}{(k!)^{2}} = (\binom{2 k}{k}) より = \frac{(2 k + 2) (2 k + 1)}{(k + 1)^{2}} (\binom{2 k}{k}) 仮定より (\binom{2 k + 2}{k + 1}) > \frac{2 k^{2} (2 k + 1)}{k + 1} つまり \frac{2 k^{2} (2 k + 1)}{k + 1} > (k + 1)^{2} 2 k^{2} (2 k + 1) > (k + 1)^{3} が示せればよい。$

$f (x) = (x + 1)^{3} g (x) = 2 x^{2} (2 x + 1) が \forall x \geq \exists α （ > 0 ）で g (x) > f (x) を満たす。$

$h (x) = g (x) - f (x) とすると = 2 x^{3} + 2 x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 1 = 3 x^{3} - x^{2} - 3 x - 1 関数の増減を調べる。 h^{'} (x) = 9 x^{2} - 2 x - 3 = (x - \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{9}) (x - \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{9}) 電卓などを用いて値を計算すると - 1 < \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{9} < 0 < \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{9} < 1 が分かる。よって h^{'} (x) > 0 （ \forall x \geq 1 ）であり、 \forall x \geq 1 において h (x) は単調増加。さらに h (1) = 3 - 1 - 3 - 1 < 0 だが h (2) = 3 \cdot 8 - 4 - 6 - 1 > 0 となるので \forall x \geq 2 で h (x) > 0 となる。これで 2 x^{3} (2 x + 1) > (x + 1)^{3} （ \forall x \geq 2 ）が成り立つため全ての命題が導けた。$