ベータ関数の無限級数の値を求める

本題

解答

$$\begin{gathered} \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}B(n,n) \\ =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1{t}^{n-1}(1-t{)}^{n-1}dt \\ ={\int }_0^1(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(t-t^2{)}^{n-1})dt \\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n-1}=\frac{1}{1-a}(|a|<1)より \\ ={\int }_0^1\frac{dt}{1-t+t^2} \\ t=x+\frac{1}{2}で置換するとx^2=t^2-t+\frac{1}{4}より \\ ={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^2+\frac{3}{4}} \\ x=\frac{\sqrt{3}}{2}tan(\theta ) とおくと\frac{dx}{d\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2co{s}^2(\theta )}より \\ ={\int }_{arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})}^{arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2co{s}^2(\theta )}}{\frac{3}{4}ta{n}^2(\theta )+\frac{3}{4}}d\theta \\ 1+ta{n}^2(\theta )=\frac{1}{co{s}^2(\theta )}より \\ ={\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}\frac{2\sqrt{3}}{3}d\theta \\ =\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi \end{gathered}$$

ついでに

前回の記事 より、
$$\begin{gathered} \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2n+1)B(n+1,n+1)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \\ なので、 \\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2n+1)B(n+1,n+1)+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}B(n+1,n+1)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{27}\pi +\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi \\ 2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+1)B(n+1,n+1)=\frac{4}{3}+\frac{8\sqrt{3}}{27}\pi \\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}nB(n,n)=\frac{2}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi \end{gathered}$$

あとがき

という事で 前回の記事 の派生？でした。
実は、
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}nB(n,n)$$
については当初上記のようなベータ関数を定義の積分に展開した方法でも解いたのですが、そのとき既に
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^{-1}$$
の値とベータ関数による解法が分かっていたので
なぜあの時私はそんな回りくどい事をしたんだろうと思いながらこの記事を書きました。
なお収束については省略。（手抜き）