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大学数学基礎解説
文献あり

ベータ関数の無限級数の値を求める

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本題

$$ \sum_{n=1}^{\infty}B(n,n) \\ $$
の値を求めたい。

解答

$$ \sum_{n=1}^{\infty}B(n,n) \\ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}dt \\ = \int_{0}^{1}(\sum_{n=1}^{\infty}(t-t^2)^{n-1})dt \\ \sum_{n=1}^{\infty}a^{n-1} = \frac{1}{1-a} \; (|a|<1) \; より \\ = \int_{0}^{1}\frac{dt}{1-t+t^2} \\ t = x + \tfrac{1}{2} \; で置換すると \; x^2 = t^2-t+\tfrac{1}{4} \; より \\ = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^2+\frac{3}{4}} \\ x=\frac{\sqrt3}{2}tan(θ) \; とおくと \; \frac{dx}{dθ} = \frac{\sqrt3}{2cos^2(θ)} \; より \\ = \int_{arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})}^{arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})}\frac{\frac{\sqrt3}{2cos^2(θ)}}{\frac{3}{4}tan^2(θ)+\frac{3}{4}}dθ \\ 1+tan^2(θ) = \tfrac{1}{cos^2(θ)} \; より \\ = \int_{-\frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}\frac{2\sqrt{3}}{3}dθ \\ = \frac{2\sqrt3}{9}π $$

ついでに

前回の記事 より、
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)B(n+1, n+1) = \frac{4}{3}+\frac{2\sqrt3}{27}π \\ なので、 \\ \sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)B(n+1, n+1) + \sum_{n=0}^{\infty}B(n+1,n+1) = \frac{4}{3}+\frac{2\sqrt3}{27}π + \frac{2\sqrt3}{9}π \\ 2\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)B(n+1, n+1) = \frac{4}{3}+\frac{8\sqrt3}{27}π \\ \sum_{n=1}^{\infty}nB(n,n)= \frac{2}{3}+\frac{4\sqrt3}{27}π $$

あとがき

という事で 前回の記事 の派生?でした。
実は、
$$\sum_{n=1}^{\infty}nB(n,n)$$
については当初上記のようなベータ関数を定義の積分に展開した方法でも解いたのですが、そのとき既に
$$\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}^{-1}$$
の値とベータ関数による解法が分かっていたので
なぜあの時私はそんな回りくどい事をしたんだろうと思いながらこの記事を書きました。
なお収束については省略。(手抜き)

参考文献

投稿日:2022124

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