級数で相反公式を一般化する

はじめに

ベータ関数は相反公式
$$\begin{array}{rl}B(s,1-s)& =\frac{\pi }{\sin \pi s}\end{array}$$
を満たしますが、この等式を級数の観点から考えます。両辺を二乗すると
$$\begin{array}{rl}B(s,1-s{)}^2& =\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2\pi s}=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+s{)}^2}\end{array}$$
となります。実は一般に

が成立するので、これを級数変形で示していきます。

ベータ関数

さて、級数変形で示すと言ったので、ベータ関数も級数で書く必要があります。この記事ではベータ関数を以下で定義します。

積分による定義との整合性を確認しましょう。
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt& ={\int }_0^1(1-(1-t){)}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt\\ & =\sum _{0\le m,n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{y-1}{n})(-1{)}^{m+n}{\int }_0^1(1-t{)}^m{t}^{n}dt\\ & =\sum _{0\le m,n}\frac{(1-x{)}_m(1-y{)}_n}{m!n!}\frac{m!n!}{(m+n+1)!}\\ & =B(x,y)\end{array}$$
以降$\int$には退場してもらいます。
定義から明らかに$B(x,y)=B(y,x)$です。また、$B(x,y)$は以下の一重級数表示を持ちます。

同様にして,$\mathrm{Re}(x)>0$のとき
$$\begin{array}{r}B(x,1)=\frac{1}{x},\sum _{0\le n}\frac{(-x{)}_n}{n!}=0\end{array}$$
が成り立ちます。

したがって、$n$を正整数として
$$\begin{array}{rl}B(x,n+1)& =\frac{n}{x}B(x+1,n)\\ & =\frac{n\cdots 1}{x\cdots (x+n-1)}B(x+n,1)\\ & =\frac{n!}{(x{)}_{n+1}}\end{array}$$
となります。これは$n=0$のときも成り立ちます。

本題

明らかに$C(m,n;s)=C(n,m;1-s)$です。

これで目標の命題が示せます。

$x,y$に$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4}$などを入れると面白い級数が計算できたりしますね。以上です。