級数で相反公式を一般化する
はじめに
ベータ関数は相反公式
$$
\begin {aligned}
B(s,1-s)&=\frac {\pi }{\sin \pi s}
\end {aligned}
$$
を満たしますが、この等式を級数の観点から考えます。両辺を二乗すると
$$
\begin {aligned}
B(s,1-s)^2&=\frac {\pi ^{2}}{\sin ^2\pi s}=\sum_{n \in \mathbb Z}\frac {1}{(n+s)^{2}}
\end {aligned}
$$
となります。実は一般に
$$ \begin {aligned} B(x,1-y)B(y,1-x)&=\sum_{n \in \mathbb Z}\frac {1}{(n+x)(n+y)} \end {aligned} $$
が成立するので、これを級数変形で示していきます。
ベータ関数
さて、級数変形で示すと言ったので、ベータ関数も級数で書く必要があります。この記事ではベータ関数を以下で定義します。
$\Re(x),\Re(y)>0$において
$$
\begin {aligned}
B(x,y)&:=\sum _{0\leq m,n}\frac {(1-x)_m(1-y)_n}{(m+n+1)!}
\end {aligned}
$$
積分による定義との整合性を確認しましょう。
$$
\begin {aligned}
\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt
&=\int _{0}^{1}(1-(1-t))^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\\
&=\sum _{0\leq m,n}\binom {x-1}m\binom {y-1}n(-1)^{m+n}\int _{0}^{1}(1-t)^{m}t^ndt\\
&=\sum _{0\leq m,n}\frac {(1-x)_m(1-y)_n}{m!n!}\frac {m!n!}{(m+n+1)!}\\
&=B(x,y)
\end {aligned}
$$
以降$\int$には退場してもらいます。
定義から明らかに$B(x,y)=B(y,x)$です。また、$B(x,y)$は以下の一重級数表示を持ちます。
$$ \begin {aligned} B(x,y)&=\sum _{0\leq n}\frac {(1-x)_n}{n!(n+y)} \end {aligned} $$
$$
\begin {aligned}
\sum _{0\leq n}\frac {(1-x)_n}{(m+n+1)!}
&=\sum _{0\leq n}\frac {1}{m+x}\left (\frac {(1-x)_n}{(m+n)!}-\frac {(1-x)_{n+1}}{(m+n+1)!}\right )\\
&=\frac {1}{m!(m+x)}
\end {aligned}
$$
より従う.
同様にして,$\Re (x)>0$のとき
$$
\begin {aligned}
B(x,1)=\frac 1x,\quad
\sum _{0\leq n}\frac {(-x)_n}{n!}=0
\end {aligned}
$$
が成り立ちます。
$$ x B(x,1+y)=yB(y,1+x) $$
$$
\begin {aligned}
-xB(x,1+y)&=\sum _{0\leq m,n}\frac {-x(1-x)_m(-y)_n}{(m+n+1)!}\\
&=\sum _{0\leq m,n}\frac {(-x)_{m+1}(-y)_n}{(m+n+1)!}\\
&=\sum _{0< m,0\leq n}\frac {(-x)_m(-y)_n}{(m+n)!}\\
&=\sum _{0< m,n}\frac {(-x)_m(-y)_n}{(m+n)!}
\end {aligned}
$$
なので, 対称性より示された.
したがって、$n$を正整数として
$$
\begin {aligned}
B(x,n+1)&=\frac {n}{x}B(x+1,n)\\
&=\frac {n\cdots 1}{x\cdots (x+n-1)}B(x+n,1)\\
&=\frac {n!}{(x)_{n+1}}
\end {aligned}
$$
となります。これは$n=0$のときも成り立ちます。
本題
$$ \begin {aligned} C(m,n;s):=\frac {(s)_m(1-s)_n}{m!n!} \end {aligned} $$
明らかに$C(m,n;s)=C(n,m;1-s)$です。
$\Re(s)<1$のとき
$$
\begin {aligned}
\sum _{0\leq n}\frac {C(m,n;s)}{m+n+1}&=\frac {1}{m+s}
\end {aligned}
$$
$$ \begin {aligned} \sum _{0\leq n}\frac {C(m,n;s)}{m+n+1}&=\frac {(s)_m}{m!}\sum _{0\leq n}\frac {(1-s)_n}{n!(n+m+1)}\\ &=\frac {(s)_m}{m!}B(1-s,m+1)\\ &=\frac {(s)_m}{m!}\frac {m!}{(s)_{m+1}}\\ &=\frac {1}{s+m} \end {aligned} $$
これで目標の命題が示せます。
$$ \begin {aligned} B(x,1-y)B(y,1-x)&=\sum_{n \in \mathbb Z}\frac {1}{(n+x)(n+y)} \end {aligned} $$
$$ \begin {aligned} B(x,1-y)B(y,1-x) &=B(x,1-y)B(1-x,y)\\ &=\sum _{0\leq m}\frac {(1-x)_m}{m!(m+1-y)}\sum _{0\leq n}\frac {(x)_n}{n!(n+y)}\\ &=\sum _{0\leq m,n}\frac {C(m,n;1-x)}{(m+1-y)(n+y)}\\ &=\sum _{0\leq m,n}\frac {C(m,n;1-x)}{m+n+1}\left (\frac {1}{m+1-y}+\frac {1}{n+y}\right )\\ &=\sum _{0\leq m}\frac {1}{(m+1-x)(m+1-y)}+\sum _{0\leq n}\frac {1}{(n+x)(n+y)}\\ &=\sum_{n \in \mathbb Z}\frac {1}{(n+x)(n+y)} \end {aligned} $$
$x,y$に$\frac 12,\frac 14,\frac 34$などを入れると面白い級数が計算できたりしますね。以上です。