Set圏におけるκ-limitとκ-filtered colimitの可換性は量化子の交換である
ご挨拶
こんにちは、 Μίττον, ου, τό です。今回は、 圏論 Advent Calendar 2022 第5日目の記事として、表題の内容を扱います。ぼぼ前提知識はないはずなので最後までおつきあいください。
定義と主張
この節では「Set圏におけるκ-limitとκ-filtered colimitの可換性」を正確な命題の形で述べます。まず、次の有名な定義から始めましょう：
$\mathbb{I}$, $\mathbb{J}$を小圏、$\mathscr{C}$を$\mathbb{I}$型極限と$\mathbb{J}$型余極限をもつ圏とし、函手$F: \mathbb{I} \times \mathbb{J} \rightarrow \mathscr{C}$を固定する。
このときカノニカルな射 $\mathrm{can}_{F}: \mathrm{Colim}_\mathbb{J} \mathrm{Lim}_\mathbb{I} F \rightarrow \mathrm{Lim}_\mathbb{I} \mathrm{Colim}_\mathbb{J} F$とは次のように決まる$\mathscr{C}$の射である：
- $\mathscr{C}$は$\mathbb{J}$型余極限をもつので、函手圏$[\mathbb{I}, \mathscr{C}]$は各点計算できる$\mathbb{J}$型余極限をもつ。
- 特に$F: \mathbb{I} \times \mathbb{J} \rightarrow \mathscr{C}$に対応する函手$\hat{F}: \mathbb{J} \rightarrow [\mathbb{I}, \mathscr{C}]$は$\mathbb{J}$型余極限$\{ \alpha_J: F(-, J) \Rightarrow \mathrm{Colim}_\mathbb{J} F \}_{J \in \mathbb{J}}$をもつ。
- $\alpha_J$と函手$\mathrm{Lim}_\mathbb{I}: [\mathbb{I}, \mathscr{C}] \rightarrow \mathscr{C}$の水平合成$\mathrm{Lim}_\mathbb{I} \star \alpha_J: \mathrm{Lim}_\mathbb{I} F(-, J) \Rightarrow \mathrm{Lim}_\mathbb{I} \mathrm{Colim}_\mathbb{J} F$に対し、$\{ \mathrm{Lim}_\mathbb{I} \star \alpha_J \}_{J \in \mathbb{J}}$は$\mathscr{C}$における$\mathbb{J}$型の余錐である。
- $\{\mathrm{Lim}_\mathbb{I} \star \alpha_J \}_{J \in \mathbb{J}}$から定まる普遍的な射を$\mathrm{can}_{F}$とする。
また、集合の圏$\mathrm{Set}$での極限と余極限の公式を用いれば、次がわかります：
小圏$\mathbb{I}$, $\mathbb{J}$と函手$F: \mathbb{I} \times \mathbb{J} \rightarrow \mathrm{Set}$を固定する。このとき、次の表示が得られる：
- 集合$D_0 := \coprod\limits_{J \in \mathbb{J}} \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} F(I, J)$上の一項関係$R_1$を、$R_1((a_{I, J})_I) \iff \forall i: I \rightarrow I'\ \mathrm{in}\ \mathbb{I}, F(i, J)(a_{I, J}) = a_{I', J}$とする。
- 集合$D_1 := \{ d \in D_0 \mid R_1(d) \}$上の二項関係$R_2$を、$(a_{I, J})_I R_2 (a_{I, J'})_I \iff \exists J \xrightarrow{j} \bullet \xleftarrow{j'} J', F(I, j)((a_{I, J})_I)=F(I, j')((a_{I, J'})_I)$として定義する。
- 集合$D_1$を$R_2$で生成された同値関係で割った集合$D_2 := D_1/R_2$は$\mathrm{Colim}_\mathbb{J} \mathrm{Lim}_\mathbb{I} F$である。
- 各$I \in \mathbb{I}$に対し、集合$C_0^I := \coprod \limits_{J \in \mathbb{J}}F(I, J)$上の二項関係$S_0^I$を、
$(J, a) S_0^I (J', a') \iff \exists J \xrightarrow{j} \bullet \xleftarrow{j'} J', F(I, j)(a)=F(I, j')(a')$として定める。 - 集合$C_1^I$を$C_1^I := D_0^I/S_0^I$と定め、$\mathbb{I}$の射$i: I \rightarrow I'$に対し、写像$C_1^i: C_1^I \rightarrow C_1^{I'}$を、$C_1^i((J, a)/S_0^I) := (J, F(i, J)(a))/S_0^{I'}$とする。
- 積集合$C_2 := \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} C_1^I$上の一項関係$S_1$を、$S_1((a_{I})_I) \iff \forall i: I \rightarrow I'\ \mathrm{in}\ \mathbb{I}, C_1^i(a_I) = a_{I'}$と定義する。
- 部分集合 $C_3 := \{ c \in C_2 \mid S_1(c) \}$は$\mathrm{Lim}_\mathbb{I} \mathrm{Colim}_\mathbb{J} F$である。
- 写像$f_F: D_2 \rightarrow C_3$を$f_F((a_{I, J})_I/R_2) := ((J, a_{I, J})/S_0^I)_I$とすると、これは$\mathrm{can}_F$である。
次に小圏のクラスを定義します：
正則基数$\kappa$をとる。小圏$\mathbb{J}$が$\kappa$-filteredであるとは、$\mathbb{J}$における任意のサイズ（射全体の集合の濃度）$\kappa$未満のquiverが余錐をもつことである。
以上の準備のもとで今回証明を観察したい主張は次のように書けます：
任意の正則基数$\kappa$、サイズ$\kappa$未満の圏$\mathbb{I}$、$\kappa$-filtered category $\mathbb{J}$、函手$F: \mathbb{I} \times \mathbb{J} \rightarrow \mathrm{Set}$に対し、カノニカルな射$\mathrm{can}_{F}: \mathrm{Colim}_\mathbb{J} \mathrm{Lim}_\mathbb{I} F \rightarrow \mathrm{Lim}_\mathbb{I} \mathrm{Colim}_\mathbb{J} F$は同型である。
定理2の証明
では実際に定理2を証明していきましょう。ゴールは補題1の写像$f_F$が全単射であることです。
まずは有用な性質に注意しましょう：
ある正則基数$\kappa$に対し$\mathbb{J}$が$\kappa$-filteredなら、補題1の二項関係$R_2$と$S_0^I$は同値関係である。
ある正則基数$\kappa$に対し$\mathbb{J}$が$\kappa$-filteredなら、次の2つは同値：
R1. $f_F$は単射である。
R2. 任意の$J \in \mathbb{J}$と$(a_{I, J})_I, (a'_{I, J})_I \in \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} F(I, J)$に対し、$R_1((a_{I, J})_I), R_1((a'_{I, J})_I)$であれば、$\forall I \in \mathbb{I}, a_{I, J} S_0^I a'_{I, J}$は$(a_{I, J})_I R_2 (a'_{I, J})_I$を導く。
ある正則基数$\kappa$に対し$\mathbb{J}$が$\kappa$-filteredなら、次の2つは同値：
R1. $f_F$は全射である。
R2. 任意の$(J_I, a_{I, J_I})_I \in \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} \coprod \limits_{J \in \mathbb{J}} F(I, J)$に対し、$S_1(((J_I, a_{I, J_I})/S_0^I)_I)$であれば、ある$(b_{I, J})_I \in \coprod \limits_{J \in \mathbb{J}} \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} F(I, J)$があって、$R_1((b_{I, J})_I)$かつ$\forall I \in \mathbb{I},\ (J, b_{I, J}) S_0^I (J_I, a_{I, J_I})$である。
これらはκ-filtered categoryの定義から直ちに従います。
任意の正則基数$\kappa$、サイズ$\kappa$未満の圏$\mathbb{I}$、$\kappa$-filtered category $\mathbb{J}$、函手$F: \mathbb{I} \times \mathbb{J} \rightarrow \mathrm{Set}$に対し、カノニカルな射$f_F: D_2 \rightarrow C_3$は単射である。
$J \in \mathbb{J}$と$(a_{I, J})_I, (a'_{I, J})_I \in \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} F(I, J)$であって$R_1((a_{I, J})_I), R_1((a'_{I, J})_I)$であるものを固定します。このとき$\forall I \in \mathbb{I}, a_{I, J} S_0^I a'_{I, J}$から$(a_{I, J})_I R_2 (a'_{I, J})_I$を導けば主張が従います。
まず、$S_0^I$の定義より、$I \in \mathbb{I}$ごとに$\mathbb{J}$の平行射$j_I, j'_I: J \rightrightarrows K_I$があって$F(I, j_I)(a_{I, J}) = F(I, j'_I)(a'_{I, J})$となります。すると、$\mathbb{I}$のサイズは$\kappa$未満なので、$j_I, j'_I$らによるquiverは余錐を持ちます。特に、ある$K \in \mathbb{J}$があって、$I \in \mathbb{I}$ごとに$k_I, k'_I: J \rightrightarrows K$であって、$F(I, k_I)(a_{I, J}) = F(I, k'_I)(a'_{I, J})$となるものがあります。（量化子の交換！）
この$k_I, k'_I$はまさに$(a_{I, J})_I R_2 (a'_{I, J})_I$の証拠です。
任意の正則基数$\kappa$、サイズ$\kappa$未満の圏$\mathbb{I}$、$\kappa$-filtered category $\mathbb{J}$、函手$F: \mathbb{I} \times \mathbb{J} \rightarrow \mathrm{Set}$に対し、カノニカルな射$f_F: D_2 \rightarrow C_3$は全射である。
$(J_I, a_{I, J_I})_I \in \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} \coprod \limits_{J \in \mathbb{J}} F(I, J)$であって$S_1(((J_I, a_{I, J_I})/S_0^I)_I)$であるものを固定します。このとき、$(b_{I, K})_I \in \coprod \limits_{J \in \mathbb{J}} \prod \limits_{I \in \mathbb{I}} F(I, J)$で$R_1((b_{I, K})_I)$かつ$\forall I \in \mathbb{I},\ (K, b_{I, K}) S_0^I (J_I, a_{I, J_I})$であるものをとれば主張が従います。
まず、$S_1(((J_I, a_{I, J_I})/S_0^I)_I)$という仮定は、$\forall i: I \rightarrow I'\ \mathrm{in}\ \mathbb{I},\ (J_I, F(i, J_I)(a_{I, J_I})) S_0^{I'} (J_{I'}, a_{I', J_{I'}})$と同値です。更に$(J_I, F(i, J_I)(a_{I, J_I})) S_0^{I'} (J_{I'}, a_{I', J_{I'}})$のとき、$\mathbb{J}$の図式$J_I \xrightarrow{j_i} K_i \xleftarrow{j'_i} J_{I'}$があって、$F(i, j_i)(a_{I, J_I}) = F(I', j'_i)(a_{I', J_{I'}})$となります。すると、再び$\mathbb{I}$のサイズは$\kappa$未満なので、$j_i, j'_i$らによるquiverは余錐を持ちます。特に、ある$K \in \mathbb{J}$があって、$I \in \mathbb{I}$ごとに$k_I: J_I \rightarrow K$であって、各$i: I \rightarrow I'$ごとに$F(i, k_I)(a_{I, J_I}) = F(I', k_{I'})(a_{I', J_{I'}})$となるものがあります。（再び量化子の交換！）
ここで$b_{I, K} := F(I, k_I)(a_{I, J_I})$とすれば、これは要件を満たします。
まとめ
このように、Set圏におけるκ-limitとκ-filtered colimitの可換性は量化子の交換によるものだと捉えることができます。この主張自体は非常に有名ですが、わざわざ量化子の交換を強調しながら示すことはそうそうないはずなので、この記事も一発ネタくらいには使えるかなと思います。ここまで読んでくださった方には、ぜひ明日の雑談のネタにでもしていただければ幸いです。