底辺１・高さ２の直角三角形の角度を計算しよう〈中学受験生向け〉

　久々の更新（こうしん）。今回は普段（ふだん）より易しめ、かつ短めの記事である。小学生（中学受験算数レベルの知識があるとよい）にも読まれることを想定し、小学校で習わない漢字・読みにはふりがなを付けている。

問題

　下の問題について考えよう。なお、$\theta$はギリシャ文字の1つで、「シータ」と読む。

　三角形$XYZ$は$XZ=2$、$YZ=1$、角$Z={90}^{\circ }$の直角三角形である。角$Y=\theta$としたとき、${63}^{\circ }<\theta <{64}^{\circ }$を示しなさい。

解説

　最初に、「三角形$XYZ$」を「$\mathrm{△}XYZ$」、「角$X$」を「$\mathrm{\angle }X$」のように表す旨（むね）をことわっておく。

準備

　まずは、$3:4:5$の直角三角形を描（か）いてみる（この三角形が直角三角形となることは中学受験算数の常識である）。
　$AB=5,$$BC=4,$$AC=3$である直角三角形$ABC$を用意して、$\mathrm{\angle }A$の二等分線と$BC$が交わる点を$D$とする。同様に、$\mathrm{\angle }B$の二等分線と$AC$が交わる点を$E$とする。
　すると、$AD$は$\mathrm{\angle }A$の二等分線なので、$AB:AC=BD:DC$となる（この性質も最近は有名である）。
　$BD+DC=BC=4$を用いて$DC$の長さを求めると、
$$\begin{array}{rl}AB:AC& =(BC-DC):DC\\ 5:3& =(4-DC):DC\\ 5\times DC& =3\times (4-DC)\\ 5\times DC& =12-3\times DC\\ 8\times DC& =12\\ DC& ={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$である（ここからは、こういった計算の多くを省略する）。同様にして、$CE={\displaystyle \frac{4}{3}}$も分かる。

　いま、$DC:AC={\displaystyle \frac{3}{2}}:3=1:2$であるから、$\mathrm{△}ADC$と$\mathrm{△}XYZ$は相似の関係にある。つまり、$\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }Y=\theta$が成り立っている。
　$\theta$を利用して$\mathrm{\angle }DAC,$$\mathrm{\angle }EBC$の大きさを計算すると、
$$\mathrm{\angle }DAC={90}^{\circ }-\theta ,\mathrm{\angle }EBC=\theta -{45}^{\circ }$$が得られる。
　以降、$\mathrm{△}ADC$と$\mathrm{△}BEC$に注目していく。

$\theta >{63}^{\circ }$を示す

　$\mathrm{△}BEC$を$9$倍に拡大し、$\mathrm{△}FGH$を作る。$\mathrm{\angle }GFH$$=\mathrm{\angle }GFK$$=\mathrm{\angle }KFI$$=\mathrm{\angle }HFL$$=\mathrm{\angle }LFJ$をみたすように、上の図を参考にして直線$GH$上の4点$I,J,K,L$をとる。
　相似比から$FH=36,$$GH=12$である。また、角度に注目すると$\mathrm{△}ABC$と$\mathrm{△}KFH$の相似が分かるので、
$$\begin{array}{rl}& KG=KH-GH=FH\times {\displaystyle \frac{AC}{BC}}-GH=36\times {\displaystyle \frac{3}{4}}-12=15\\ & FJ=FK=FH\times {\displaystyle \frac{AB}{BC}}=36\times {\displaystyle \frac{5}{4}}=45\end{array}$$となる。
　$G$と$L$、$K$と$J$は点$H$に関してそれぞれ対称（たいしょう）な位置にあり、$HL=12,$$LJ=15$が分かる。
　ここで$IK$の長さを求めよう。$FK$が$\mathrm{\angle }IFG$の、$FG$が$\mathrm{\angle }IFL$の、それぞれ二等分線となっているから、
$$\begin{array}{rl}FI:FG& =IK:KG=IK:15\\ FI:FL& =IG:GL=(IK+15):24\end{array}$$である。いま、$FG=FL$が簡単に分かるので、
$$\begin{array}{rl}IK:15& =(IK+15):24\end{array}$$となって、結局$IK=25$が導かれる。

　$IJ$の長さは
$$IJ=25+15+12+12+15=79$$なので、辺$IJ$上に$MJ=75$となる点$M$をとることができる。$\mathrm{△}ABC$と$\mathrm{△}JMF$に注目すると、
$$\begin{array}{rl}& JM:JF=75:45=5:3\\ & \mathrm{\angle }MJF=\mathrm{\angle }FKH=\mathrm{\angle }BAC\end{array}$$より、この2つは相似である。つまり、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }MFJ& =\mathrm{\angle }BCA={90}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }IFJ& =\mathrm{\angle }IFM+\mathrm{\angle }MFJ=\mathrm{\angle }IFM+{90}^{\circ }\end{array}$$から、$\mathrm{\angle }IFJ>{90}^{\circ }$を得る。したがって、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }IFJ& =\mathrm{\angle }GFH\times 5=\mathrm{\angle }EBC\times 5=\theta \times 5-{225}^{\circ }\\ {90}^{\circ }& <\theta \times 5-{225}^{\circ }\end{array}$$という式を立てられて、$\theta >{63}^{\circ }$を証明できる。やっと半分である。

$\theta <{64}^{\circ }$を示す

　$\mathrm{△}ADC$を$10$倍に拡大し、$\mathrm{△}NOP$を作る。$\mathrm{\angle }ONP$$=\mathrm{\angle }ONQ$$=\mathrm{\angle }PNS$$=\mathrm{\angle }SNR$をみたすように、上の図を参考にして直線$OP$上の3点$Q,R,S$をとる。
　相似比から$QP=RP=40,$$NQ=NR=50$である。また、角度に注目すると$\mathrm{△}ABC$と$\mathrm{△}NQP$の相似が分かるので、
$$\mathrm{\angle }QNR=\mathrm{\angle }ONP\times 4=\mathrm{\angle }DAC\times 4={360}^{\circ }-\theta \times 4$$といえる。
　さて、直線$NQ$上に$\mathrm{\angle }QTR={90}^{\circ }$をみたす点$T$をとる。角度に注目すると$\mathrm{△}ABC$と$\mathrm{△}RQT$の相似が分かるので、
$$\begin{array}{rl}& NT=QT-QN=QR\times {\displaystyle \frac{BC}{AB}}-QN=80\times {\displaystyle \frac{4}{5}}-50=14\\ & RT=QR\times {\displaystyle \frac{AC}{AB}}=80\times {\displaystyle \frac{3}{5}}=48\\ & \mathrm{\angle }NRT=\mathrm{\angle }QNR-\mathrm{\angle }NTR={270}^{\circ }-\theta \times 4\end{array}$$となる。ゆえに、$\mathrm{△}NTR$の面積は${\displaystyle \frac{14\times 48}{2}}=$$336$である。

　点$T$に関して$N$と対称（たいしょう）な位置にある点を$U$とし、直線$RU$に関して$N$と対称（たいしょう）な位置にある点を$V$とする（図を参考にすること）。
　四角形$NUVR$の面積を$★$とし、$NV$の長さを求めよう。
　いま、$UR=NR$であり、$NV$と$UR$は垂直に交わっているので、
$$★={\displaystyle \frac{NV\times UR}{2}}=NV\times {\displaystyle \frac{NR}{2}}=NV\times 25$$が成立する。
　一方で、四角形$NUVR$の面積は明らかに$\mathrm{△}NTR$の面積の$4$倍であるから、
$$★=336\times 4=1344$$と求められる。これらを用いると、
$$NV\times 25=1344$$
となって、結局$NV=53.76$が導かれる。

　いよいよ仕上げである。$\mathrm{△}NVR$の各辺の長さは
$$RN=RV=50,NV=53.76$$
であるから、1辺の長さが$53.76$の正三角形と比較（ひかく）することで、$\mathrm{\angle }NRV>{60}^{\circ }$と判明する。したがって、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }NRV& =\mathrm{\angle }NRT\times 4={1080}^{\circ }-\theta \times 16\\ {60}^{\circ }& <{1080}^{\circ }-\theta \times 16\end{array}$$という式を立てられて、$\theta <{63.75}^{\circ }<{64}^{\circ }$を証明できる。

あとがき

　この記事で紹介（しょうかい）した証明方法は、 ポテト一郎 （ Twitter ）氏との共同研究で見つけたものである。
　2019年の6月半ばに、筆者である 匿(Tock) （ Twitter ）が本問を持ちかけた。それぞれで解法を用意し、お互（たが）いの解法を改良しあって、同月下旬（げじゅん）に完成したのが上の証明、ということになる。
　2人ともかなりの算数愛好家で、それゆえに議論も熱のこもったものとなった。この場を借りて、有意義なやりとりをしてくださったポテト一郎氏への感謝を申し上げる。あと記事の完成が遅（おく）れてしまってすみませんでした。今後は再発防止に努める所存です。