ζ関数とΩ関数を含んだ等式

はじめに

少し前にこんな等式を見つけたので、どのようにしてこれを発見したかを書いていこうと思います。$\zeta (s)$はゼータ関数、$\mathrm{\Omega }(n)$はnの重複を含めた素因数の個数を与える関数です。つまり、
$\mathrm{\Omega }(1)=0$
$\mathrm{\Omega }(2)=1$
$\mathrm{\Omega }(57)=2(3,19)$
$\mathrm{\Omega }(100)=4(2,2,5,5)$
といった感じです。では、やっていきましょう(/・ω・)/

本題

まず次のような関数$f(x)$を考えてみます。
$$f(x)=\prod _{p:prime}\frac{1}{1-\frac{x}{p^s}}$$
$$(0<x\le 1,1<s)$$
無限等比級数の和の公式から
$$f(x)=\prod _{p:prime}(1+\frac{x}{p}+\frac{x^2}{p^2}+\frac{x^3}{p^3}\cdots )$$
となるので、素因数分解の一意性を踏まえてこれを展開すると
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}{x}^{\mathrm{\Omega }(n)}$$
となります。したがって、
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}{x}^{\mathrm{\Omega }(n)}=\prod _{p:prime}\frac{1}{1-\frac{x}{p^s}}\cdots (★)$$
(★)の両辺を対数微分してx=1を代入してみましょう。

(左辺)
$$\frac{d}{dx}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}{x}^{\mathrm{\Omega }(n)}\right)$$
$$=\frac{d}{dx}\ln (1+\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^s}{x}^{\mathrm{\Omega }(n)})$$
$$=\frac{\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\mathrm{\Omega }(n)}{n^s}{x}^{\mathrm{\Omega }(n)-1}}{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}{x}^{\mathrm{\Omega }(n)}}$$
ここでx=1を代入すると
$$\frac{\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\mathrm{\Omega }(n)}{n^s}}{\zeta (s)}\cdots \mathrm{①}$$

(右辺)
$$\frac{d}{dx}\ln \left(\prod _{p:prime}\frac{1}{1-\frac{x}{p^s}}\right)$$
$$=\frac{d}{dx}\sum _{p:prime}-\ln (1-\frac{x}{p^s})$$
$$=\sum _{p:prime}\frac{\frac{1}{p^s}}{1-\frac{x}{p^s}}$$
$$=\sum _{p:prime}\frac{1}{p^s-x}$$
x=1を代入すると
$$\sum _{p:prime}\frac{1}{p^s-1}\cdots \mathrm{②}$$

以上①②より
$$\frac{\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\mathrm{\Omega }(n)}{n^s}}{\zeta (s)}=\sum _{p:prime}\frac{1}{p^s-1}$$
$$\therefore \underset{―}{\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\mathrm{\Omega }(n)}{n^s}=\zeta (s)\sum _{p:prime}\frac{1}{p^s-1}}$$

終わりに

今回導出した式が英語版のWikipediaに記載されていたようなのでリンクを貼っておきます。
→結構下のほうに記載されています

ここまで読んでいただきありがとうございました(^_-)-☆