ζ関数とΩ関数を含んだ等式

はじめに

少し前にこんな等式を見つけたので、どのようにしてこれを発見したかを書いていこうと思います。$\zeta (s)$はゼータ関数、$\Omega (n)$はnの重複を含めた素因数の個数を与える関数です。つまり、
$\Omega (1)=0$
$\Omega (2)=1$
$\Omega (57)=2 \quad (3,19)$
$\Omega (100)=4\quad(2,2,5,5)$
といった感じです。では、やっていきましょう(/・ω・)/

本題

まず次のような関数$f(x)$を考えてみます。
$$f(x)=\prod_{p:prime} \frac{1}{1- \frac{x}{p^s} } $$
$$(0 \lt x \leq 1, 1 \lt s) $$
無限等比級数の和の公式から
$$f(x)= \prod_{p:prime} ( 1+\frac{x}{p} + \frac{x^2}{p^2} +\frac{x^3}{p^3} \cdots )$$
となるので、素因数分解の一意性を踏まえてこれを展開すると
$$f(x) =\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^s}x^{ \Omega (n)} $$
となります。したがって、
$$\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^s}x^{ \Omega (n)}=\prod_{p:prime} \frac{1}{1- \frac{x}{p^s} } \cdots(★)$$
(★)の両辺を対数微分してx=1を代入してみましょう。

(左辺)
$$\frac{d}{dx}\ln(\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^s}x^{ \Omega (n)})$$
$$=\frac{d}{dx}\ln(1+\sum_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^s}x^{ \Omega (n)})$$
$$=\frac{\sum_{n=2}^{∞} \frac{\Omega (n)}{n^s}x^{ \Omega (n)-1}}{\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^s}x^{ \Omega (n)}} $$
ここでx=1を代入すると
$$\frac{\sum_{n=2}^{∞} \frac{\Omega (n)}{n^s}} {\zeta (s)} \cdots①$$

(右辺)
$$\frac{d}{dx}\ln(\prod_{p:prime} \frac{1}{1- \frac{x}{p^s} })$$
$$=\frac{d}{dx}\sum_{p:prime} -\ln{(1- \frac{x}{p^s}) }$$
$$=\sum_{p:prime} \frac{ \frac{1}{p^s}} {1- \frac{x}{p^s}} $$
$$=\sum_{p:prime} \frac{1}{p^s-x}$$
x=1を代入すると
$$\sum_{p:prime} \frac{1}{p^s-1} \cdots②$$

以上①②より
$$\frac{\sum_{n=2}^{∞} \frac{\Omega (n)}{n^s}} {\zeta (s)}=\sum_{p:prime} \frac{1}{p^s-1}$$
$$ \therefore \underline{\sum_{n=2}^{∞} \frac{\Omega (n)}{n^s}=\zeta (s)\sum_{p:prime} \frac{1}{p^s-1} } $$

終わりに

今回導出した式が英語版のWikipediaに記載されていたようなのでリンクを貼っておきます。
→結構下のほうに記載されています

ここまで読んでいただきありがとうございました(^_-)-☆