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MZVと多重ポリログのちょっとした関係式

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$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{dep}[0]{{\rm dep}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{Li}[0]{{\rm Li}} \newcommand{mi}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}} \newcommand{n}[0]{\varnothing} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{R}[0]{{\cal R}} \newcommand{sh}[0]{ш} $$

$n$を正の整数とする。
$$\zeta(k_1,\cdots,k_r)=n^{{\rm{wt}}(\bm k)-r}\sum_{z_1^n=\cdots=z_r^n=1}\Li_{\bm k}(z_1,\cdots,z_r)$$

$\ds\delta_n(k)=\frac1n\sum_{m=1}^k\zeta_n^{km}$と定めると、
$$ \delta_n(k)= \left\{ \begin{array}{l} 1 & (n|k)\\ 0 & ({\rm{otherwise}}) \end{array} \right.$$
であるから、
\begin{align} \zeta(k_1,\cdots,k_r)&=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \\ &=n^{{\rm{wt}}(\bm k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{(n\cdot m_1)^{k_1}\cdots(n\cdot m_r)^{k_r}} \\ &=n^{{\rm{wt}}(\bm k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r,n|m_i}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \\ &=n^{{\rm{wt}}(\bm k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{\delta_n(m_1)\cdots\delta_n(m_r)}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \\ &=n^{{\rm{wt}}(\bm k)-r}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\prod_{i=1}^r\sum_{j=1}^{m_i}\zeta_n^{m_ij} \\ &=n^{{\rm{wt}}(\bm k)-r}\sum_{z_1^n=\cdots=z_r^n=1}\Li_{\bm k}(z_1,\cdots,z_r) \end{align}
である。

$\bm k=(1,2),n=2$とすると、関係式$\zeta(1,2)=2(\zeta(1,2)+\zeta(\ol1,2)+\zeta(1,\ol2)+\zeta(\ol1,\ol2))$が得られる。$\zeta(1,2)$について整理して双対性を用いれば、$-\zeta(3)=2(\zeta(\ol1,2)+\zeta(1,\ol2)+\zeta(\ol1,\ol2))$がわかる。

投稿日:20221210
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Ιδέα
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