MZVと多重ポリログのちょっとした関係式
$n$を正の整数とする。
$$\zeta(k_1,\cdots,k_r)=n^{{\rm{wt}}(\bm k)-r}\sum_{z_1^n=\cdots=z_r^n=1}\Li_{\bm k}(z_1,\cdots,z_r)$$
$\ds\delta_n(k)=\frac1n\sum_{m=1}^k\zeta_n^{km}$と定めると、
$$
\delta_n(k)=
\left\{
\begin{array}{l}
1 & (n|k)\\
0 & ({\rm{otherwise}})
\end{array}
\right.$$
であるから、
\begin{align}
\zeta(k_1,\cdots,k_r)&=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \\
&=n^{{\rm{wt}}(\bm k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{(n\cdot m_1)^{k_1}\cdots(n\cdot m_r)^{k_r}} \\
&=n^{{\rm{wt}}(\bm k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r,n|m_i}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \\
&=n^{{\rm{wt}}(\bm k)}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{\delta_n(m_1)\cdots\delta_n(m_r)}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} \\
&=n^{{\rm{wt}}(\bm k)-r}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}}\prod_{i=1}^r\sum_{j=1}^{m_i}\zeta_n^{m_ij} \\
&=n^{{\rm{wt}}(\bm k)-r}\sum_{z_1^n=\cdots=z_r^n=1}\Li_{\bm k}(z_1,\cdots,z_r)
\end{align}
である。
$\bm k=(1,2),n=2$とすると、関係式$\zeta(1,2)=2(\zeta(1,2)+\zeta(\ol1,2)+\zeta(1,\ol2)+\zeta(\ol1,\ol2))$が得られる。$\zeta(1,2)$について整理して双対性を用いれば、$-\zeta(3)=2(\zeta(\ol1,2)+\zeta(1,\ol2)+\zeta(\ol1,\ol2))$がわかる。
