「圏論の基礎」IV.4 "圏の同値"において骨格的という概念が導入され、有限集合の例が載っているが、有限次元ベクトル空間の例を考えてみる。
圏の骨格
圏、函手、自然変換については既知とする。
圏の同値
函手が圏の同値であるとは、逆向きの函手について、恒等函手及びへの自然同型及びが存在すること
圏の同型では左右の逆函手であること, を要求するのに対して、同値ではここが自然同型であればいいので条件が緩くなる。
骨格
圏とその充満部分圏について、の各対象がの唯一の対象とにおいて同型である時、をの骨格と呼ぶ
これは圏の同値の例になっている
圏に対してその充満部分圏が骨格であるとする。包含函手が同値であることを見ればいいので、逆向きの函手を次の様に構成する
- 各対象に対して骨格の定義からが唯一存在するので、これをとする
- の射については、骨格の定義における同型射を使ってと定める
この定義によって、特にはの対象でもありは自身と同型なので、になり、その合成は恒等函手に一致する。一方については上の可換図からをコンポーネントとする自然同型が構成できる。これによりは圏の同値となる。
有限集合の圏の骨格
全ての有限集合からなる圏は全ての有限な順序数を対象に持つ充満部分圏を骨格として持つ
有限集合を一つとり、その元の個数をとする。有限集合は常に整列できるので、その順序に応じて各元に番号を振ることで順序数と1対1対応を構成でき、これは集合の圏における同型である。
有限次元ベクトル空間の圏
体上のベクトル空間の圏、つまり対象をベクトル空間とし射をその間の線型写像とした圏をと書き、特に有限次元の線型空間のみに限定した充満部分圏をと書く。また正の整数に対して数ベクトル空間が自然に次元の有限次元ベクトル空間とみなせることから、の充満部分圏として数ベクトル空間の圏をと書く。
数ベクトル空間の圏は有限次元ベクトル空間の圏の骨格となる
有限次元ベクトル空間を一つとる。とするとき基底を一つ固定する事で、各基底に対する成分を取る数ベクトル空間との線形な全単射が構成できる。
上で一般に議論した圏同値の議論をこの例に合わせて読み替えておこう。
各に対して数ベクトル空間を対応させる操作(ただし)は函手としてかける。射はの基底を移したベクトルのの基底における成分を表示した行列としてかける(ただし)。函手を定める事は全ての有限次元ベクトル空間に対して基底を一つ選択する事に対応する。
特になので、包含函手に対してがなりたち、はの左逆函手になる。また上の証明で使った基底の成分を取ることによる同型射は自然同型を定める。つまりにおける次の図式が可換になる
これにより包含函手は圏の同値になる。
感想
有限次元ベクトル空間において数ベクトル空間は特別な存在で、例えば数値計算を行うときに抽象的な線型空間の議論を計算機で扱いやすい数ベクトル空間に常に翻訳できる(実際にはさらに実数を浮動小数点数に変換する)という認識は昔からありましたが、この直観を圏の同値として書き下せるのは面白いなと思いました(´・ω・`)