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大学数学基礎議論
文献あり

有限次元ベクトル空間の圏の骨格

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「圏論の基礎」IV.4 "圏の同値"において骨格的という概念が導入され、有限集合の例が載っているが、有限次元ベクトル空間の例を考えてみる。

圏の骨格

圏、函手、自然変換については既知とする。

圏の同値

函手S:ACが圏の同値であるとは、逆向きの函手T:CAについて、恒等函手IA及びICへの自然同型STIC:CC及びTSIA:AAが存在すること

圏の同型では左右の逆函手であることST=IC, TS=IAを要求するのに対して、同値ではここが自然同型であればいいので条件が緩くなる。

骨格

Cとその充満部分圏Aについて、Cの各対象がAの唯一の対象とCにおいて同型である時、ACの骨格と呼ぶ

これは圏の同値の例になっている

圏はそれ自身の任意の一つの骨格と同値である

Cに対してその充満部分圏Aが骨格であるとする。包含函手S:ACが同値であることを見ればいいので、逆向きの函手T:CAを次の様に構成する

  • 各対象cCに対して骨格の定義からaAが唯一存在するので、これをTcとする
  • Cの射f:ccについては、骨格の定義における同型射θc:cTcを使ってTf=θcfθc1と定める
    cθcTcfTfcθcTc
    この定義によって、特にaACの対象でもありaa自身と同型なので、a=Taになり、その合成TSは恒等函手IA:AAに一致する。一方ST:CCについては上の可換図からθc:cSTcをコンポーネントとする自然同型θ:ICSTが構成できる。これによりSは圏の同値となる。
有限集合の圏の骨格

全ての有限集合からなる圏は全ての有限な順序数を対象に持つ充満部分圏を骨格として持つ

有限集合Sを一つとり、その元の個数をnとする。有限集合は常に整列できるので、その順序に応じて各元に番号を振ることで順序数[n]={0,1,,n1}と1対1対応を構成でき、これは集合の圏における同型である。

有限次元ベクトル空間の圏

K上のベクトル空間の圏、つまり対象をベクトル空間とし射をその間の線型写像とした圏をVctKと書き、特に有限次元の線型空間のみに限定した充満部分圏をFinVctKと書く。また正の整数nに対して数ベクトル空間Knが自然に次元nの有限次元ベクトル空間とみなせることから、FinVctKの充満部分圏として数ベクトル空間の圏をVKと書く。

数ベクトル空間の圏VKは有限次元ベクトル空間の圏FinVctKの骨格となる

有限次元ベクトル空間Vを一つとる。n=dimVとするとき基底を一つ固定する事で、各基底に対する成分を取る数ベクトル空間との線形な全単射ψ:VKnが構成できる。

上で一般に議論した圏同値の議論をこの例に合わせて読み替えておこう。

VFinVctKに対して数ベクトル空間Knを対応させる操作(ただしn=dimV)は函手T:FinVctKVKとしてかける。射f:VWVの基底viを移したベクトルf(vi)Wの基底wjにおける成分f(vi)=jfijwjを表示した行列Tf=(fij):KnKmとしてかける(ただしn=dimV,m=dimW)。函手Tを定める事は全ての有限次元ベクトル空間に対して基底を一つ選択する事に対応する。

特にTKn=Knなので、包含函手S:VKFinVctKに対してTS=1:VKVKがなりたち、TSの左逆函手になる。また上の証明で使った基底の成分を取ることによる同型射ψは自然同型ST1:FinVctKFinVctKを定める。つまりFinVctKにおける次の図式が可換になる
VψVSTV=KnfSTf=TfWψWSTW=Km
これにより包含函手Sは圏の同値になる。

感想

有限次元ベクトル空間において数ベクトル空間は特別な存在で、例えば数値計算を行うときに抽象的な線型空間の議論を計算機で扱いやすい数ベクトル空間に常に翻訳できる(実際にはさらに実数を浮動小数点数に変換する)という認識は昔からありましたが、この直観を圏の同値として書き下せるのは面白いなと思いました(´・ω・`)

参考文献

[1]
S. マックレーン(三好博之・高木理 訳), 圏論の基礎
投稿日:20221216
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