素イデアル定理と選択公理

　$A$の真のイデアルなす集合は包含関係によって帰納的順序集合をなし，Zornの補題より極大元を持つ．

　$Y\not\in\mathscr{F}$と仮定する．もし任意の$Z\in\mathscr{F}$に対して$Y\cap Z\neq\emptyset$ならば$\mathscr{F}\subsetneq\spanned{\{Y\}\cup\mathscr{F}}$となるので，$\mathscr{F}$の極大性に矛盾する．よってある$Z\in\mathscr{F}$であって$Y\cap Z = \emptyset$すなわち$Z\subset X\setminus Y$となるものが存在する．よって(F3)から$X\setminus Y\in\mathscr{F}$である．

($\Longrightarrow$)
　任意の$Y\in\mathscr{F}$をとる．任意の$x$の開近傍$U$に対して，$\mathscr{F}$が$x$の収束するので$U\in\mathscr{F}$となる．よって$Y\cap U\neq\emptyset$であるので$x\in\overline{Y}$である．
($\Longleftarrow$)
　任意の$N\in\mathcal{N}_x$に対して，ある開集合$U$が存在して$x\in U\subset N$である．ここで$x\not\in X\setminus U$なので$X\setminus U\not\in\mathscr{F}$である．よって補題4から$U\in\mathscr{F}$となり，$N\in\mathscr{F}$である．

　$\mathscr{F}$を超フィルターとすると，$\mkset{\overline{Y}}{Y\in\mathscr{F}}$は有限交叉性を持つ閉集合族なので$\bigcap_{Y\in\mathscr{F}}\overline{Y}\neq\emptyset$である．よって$x\in\bigcap\overline{Y}$がとれ，命題5により$\mathscr{F}$は$x$に収束する．

　対偶を示す．$X$がコンパクトでないとすると，有限交叉性を持つ閉集合族$\mathscr{A}$であって$\bigcap_{A\in\mathscr{A}}A =\emptyset$となるものがある．すると$\spanned{\mathscr{A}}$を含む超フィルター$\mathscr{F}$をとると；
$$\bigcap_{Y\in\mathscr{F}}\overline{Y}\subset \bigcap_{A\in\mathscr{A}}A =\emptyset$$
となり$\mathscr{F}$はどの点にも収束しない．

(i) $\Longrightarrow$ (ii)
Step 0.
　$\{X_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$をコンパクト空間の族とする．ある$\lambda$について$X_\lambda = \emptyset$ならば直積は空なので，示すべきことはない．よって任意の$\lambda$について$X_\lambda\neq\emptyset$としてよい．
Step 1.
　$\mathscr{F}$を$X=\prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$の超フィルターとする．このとき自然な射影$\pi_\lambda$について；
$$\mathscr{F}_\lambda = \mkset{Y\in\mathfrak{P}(X_\lambda)}{\pi^{-1}_\lambda(Y)\in\mathscr{F}}$$
は$X_\lambda$の超フィルターをなす．
Step 2.
　命題6により，各$\lambda$について$x_\lambda\in X$が存在して$\mathscr{F}_\lambda$は$x_\lambda$に収束する．$x = (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\in X$とする．すると任意の$N\in\mathcal{N}_x$に対して，直積位相の定義からある$\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\Lambda$と$x_{\lambda_i}$の開近傍$U_i$がとれて；
$$ \bigcap_{1\leq i\leq n}\pi^{-1}_{\lambda_i}(U_i)\subset N$$
となる．いま$\mathscr{F}_\lambda$は$x_\lambda$に収束するから$U_i\in\mathscr{F}_{\lambda_i}$なので$\pi^{-1}(U_i)\in\mathscr{F}$であり，フィルターの定義から$N\in\mathscr{F}$である．よって$\mathscr{F}$は$x$に収束する．
Step 3.
　命題7により$X$はコンパクトである．
(ii) $\Longrightarrow$ (i)
　$\emptyset\not\in X$とする．$\infty$を$\bigcup_{x\in X}x$に含まれない集合として，各$x\in X$について$y_x = x\cup\{\infty\}$とおく．各$x$について$y_x$に$\{\emptyset,y_x,\{\infty\}\}$を開集合とする位相を定める．このとき$y_x$はコンパクトであり，仮定から$\prod_{x\in X}y_x$もコンパクトである．いま$x\subset y_x$は閉集合なので$\pi^{-1}_x(x)$も閉であり，これは空ではない．なぜなら適当な$z\in x$を選べば；
$$ f_x:\mkset{y_{x'}}{x'\in X}\to\bigcup\mkset{y_{x'}}{x'\in X};x\mapsto\begin{cases}z &\text{if $x=x'$.}\\ \infty &\text{else.}\end{cases}$$
が（選択公理によらずに）定まるからである．このとき$\{\pi^{-1}_x(x)\}$が有限交叉性を持つことが容易に確かめられ，$\bigcap_{x\in X}\pi^{-1}_x(x) =\prod_{x\in X} x \neq\emptyset$である．

　各$S\in\mathfrak{P}(A)$に対して，特性関数；
$$ \chi_S:A\to\{0,1\};a\mapsto\begin{cases}1 &\text{if $a\in S$.}\\ 0 &\text{else.}\end{cases}$$
を定めることで，自然な全単射$\mathfrak{P}(A)\to\{0,1\}^A$がある．このとき$f\in\{0,1\}^A$が真のイデアル$I$に対応することと，次の条件；
(i) $f(0) = 1.$
(ii) $f(1) = 0.$
(iii) 任意の$a_1,a_2,b_1,b_2\in A$に対して，$f(a_1)=0$または$f(a_2)=0$または$f(a_1b_1+a_2b_2)=1$が成り立つ．
をすべて満たすことは同値である．$\mathcal{I}=\mkset{\chi_I}{I:\text{$A$のイデアル}}$とおく．また各$a,b\in A$に対して；
$$ F_{a,b}=\mkset{f\in\mathcal{I}}{\text{$f(a)=1$または$f(b)=1$または$f(ab)=0$である．}}$$
とおく．この定義から$f\in F_{a,b}$に対応する$\mathfrak{P}(A)$の点$f^{-1}(\{1\})$は，$ab\in f^{-1}(\{1\})$ならば$a\in f^{-1}(\{1\})$または$b\in f^{-1}(\{1\})$を満たすような$A$のイデアルである．よって；
$$\bigcap_{a,b\in A}F_{a,b}\neq\emptyset$$
であれば，その元が$A$の素イデアルとなる．これを示すには$\{F_{a,b}\}_{a,b\in A}$が有限交叉性を持つ閉集合族であればよい．まず$F_{a,b}$は$\{0,1\}^A$の閉集合をなすことを示そう．${F_{a,b}}^c$は$f\in\{0,1\}^A$であって，ある$a_1,a_2,b_1,b_2\in A$が存在して，$f(0)=0$または$f(1)=1$または$f(a_1)=1, f(a_2)=1, f(a_1b_1+a_2b_2)=0$または$f(a)=0, f(b)=0, f(ab)=1$を満たすもの全体の集合である．直積位相の定義から$\mkset{f\in\{0,1\}^A}{f(0)=0}=\{0\}\times\{0,1\}^{A\setminus\{0\}}$は開集合であり，$1,a_1,a_2,a_1b_1+a_2b_2$についても同様なので$F_{a,b}^c$はこれらの有限共通部分の和となり開集合である．　
　次に有限交叉性を持つことを示せば証明が終了する．有限個の$A$の元の組$(a_1,b_1),\dots,(a_n,b_n)$をとる．$S=\{a_1,b_1,\dots,a_n,b_n\}$とおき，部分集合$T\subset S$が生成する$A$のイデアルを$\spanned{T}$と表すことにすると$\mkset{\spanned{T}}{T\subset S, \spanned{T}\neq A}$は空でない（$\spanned{\emptyset}=(0)$となる）．また有限集合なので，包含関係についての極大元$\spanned{T_0}$がとれる．任意の$1\leq i\leq n$について$\chi_{\spanned{T_0}}\in F_{a_i,b_i}$であることを示す．$F_{a,b}$の定義より$a_i\in \spanned{T_0}$または$b_i\in \spanned{T_0}$ならば$\chi_{\spanned{T_0}}\in F_{a_i, b_i}$である．$a_i,b_i\not\in\spanned{T_0}$とする．このとき$\{a_i\}\cup T_0\subset S$であって，$\spanned{T_0}$の極大性から$\spanned{\{a_i\}\cup T_0}=A$なのである$r\in A$と$c\in\spanned{T_0}$が存在して$1=ra_i+c$とかける．よって$ra_ib_i+b_ic=b_i\not\in\spanned{T_0}$だから$a_ib_i\not\in\spanned{T_0}$でなければならず，このときも$\chi_{\spanned{T_0}}\in F_{a_i,b_i}$となる．よって$\chi_{\spanned{T_0}}\in\bigcap F_{a_i,b_i}$となり有限交叉性を持つ．

　$P\in\spec B$ならば，任意の$a\in B$に対して$a\in P$または$\lnot a\in P$であることは明らか．逆を示そう．$a\not\in P$とすると，$\lnot a=1-a\in P$であるので，$a+P=1+P$となって$A/P\cong\mathbf{F}_2$がわかり，$P\in\spec B$である．

　$B$のフィルター$F$に対して；
$$F^\ast=\mkset{a\in B}{\lnot a\in F}$$
と定めるとこれは$B$のイデアルをなし，$I^{\ast\ast}=I, F^{\ast\ast}=F$となるので１対１の対応を与える．

$(\Longrightarrow$)
　$\mathscr{F}$を$X$のフィルターとし，$\mathcal{N}_x,\mathcal{N}_y\subset\mathscr{F}$とする．もし$x\neq y$ならば，開集合$x\in U, y\in V$が存在して$U\cap V=\emptyset$である．このとき$U, V\in\mathscr{F}$なので$\emptyset=U\cap V\in\mathscr{F}$となって矛盾する．よって$x=y$である．
$(\Longleftarrow)$
　対偶を示そう．$X$がHausdorffでないと仮定する．するとある$x\neq y\in X$が存在して，任意の$Y\in\mathcal{N}_x, Z\in\mathcal{N}_y$に対して$Y\cap Z\neq\emptyset$である．このとき$\mathcal{N}_x\cup\mathcal{N}_y$は有限交叉性を持ち，$\spanned{\mathcal{N}_x\cup\mathcal{N}_y}$は$x, y$に収束するフィルターである．

(1)$\Longrightarrow$(2)
　明らか．
(2)$\Longrightarrow$(3)
　$\mathscr{F}$を有限交叉性を持つ集合族とすると，$\spanned{\mathscr{F}}$は$\mathfrak{P}(X)$のフィルターである．$\mathfrak{P}(X)$のイデアル${\spanned{\mathscr{F}}}^\ast$を考えると，剰余環$\mathfrak{P}(X)/{\spanned{\mathscr{F}}}^\ast$もBoole代数であるので素イデアルを持つ．それを$\mathfrak{P}(X)$の素イデアルに引き戻したものは${\spanned{\mathscr{F}}}^\ast$を含み，対応する超フィルターは$\spanned{\mathscr{F}}$を含む．
(3)$\Longrightarrow$(4)
　$\{X_\lambda\}$をコンパクトHausdorff空間の族とし，$X=\prod X_\lambda$とする．$X=\emptyset$のときは示すことはない．$X\neq\emptyset$とする．$\mathscr{A}$を$X$の有限交叉性を持つ閉集合族とする．仮定から$\mathscr{A}$を含む$X$の超フィルター$\mathscr{F}$がある．このとき，定理8の証明と全く同様に；
$$\mathscr{F}_\lambda=\mkset{Y\in\mathfrak{P}(X_\lambda)}{\pi^{-1}_{\lambda}(Y)\in\mathscr{F}}$$
は$X_\lambda$の超フィルターをなす．ここで命題6により各$\lambda\in\Lambda$に対して$\mathscr{F}_\lambda$は収束し，命題13により収束先は一意に定まるからそれを$x_\lambda$とすると$x=(x_\lambda)\in X$を$\mathcal{N}_{x_\lambda}\subset\mathscr{F}_\lambda$となるようにとれる．すると$\mathscr{F}$は$x$に収束する．よって任意の$A\in\mathscr{A}$に対して$x\in A$となり，$\bigcap_{A\in\mathscr{A}}A\neq\emptyset$であるので$X$はコンパクトである．
(4)$\Longrightarrow$(1) 定理10．