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大学数学基礎解説
文献あり

素イデアル定理と選択公理

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 この記事は Math Advent Calender 2022 の18日目の記事です.17日目は 赤べこぬーぴーさん ,19日目は 圏論のあか☆ねこ さんです.
 今回の記事はサボりにサボって,去年 学内向けに書いたノート [5]からの抜粋です.すいません.こちらのノートも読んでいただけるとありがたいです.

極大イデアルの存在とTychonoffの定理

 この記事を通して,環といえば1を持つ可換環のこととします.Noether性は断らない限り課しません.

イデアル,極大イデアル

Aを環とする.Aの空でない部分集合であって,スカラー倍と加法で閉じているものをAイデアル(ideal)という.AのイデアルIであって,IAであるものをAの真のイデアルという.Aの真のイデアル全体の集合のなかの極大元をA極大イデアル(maximal ideal)という.

 極大イデアルの存在については次の定理が超有名です.

Krullの極大イデアル存在定理

A0を環とする.Aは少なくとも1つの極大イデアルmを持つ.

 Aの真のイデアルなす集合は包含関係によって帰納的順序集合をなし,Zornの補題より極大元を持つ.

 この証明からも分かる通り本質はZornの補題です.Zornの補題が選択公理と同値であることも非常に有名な話で,内田先生のテキスト[6]などに順序数などを使わない平易な証明が載っているので,それはそちらを見てください.
 実は,Krullの極大イデアル存在定理は選択公理と(ZF上)同値です.ZFの詳細については拙稿[5]をみてください.

次はZF上同値である.
(1) 選択公理.
(2) Krullの極大イデアル存在定理.

 alg-dさんのテキスト[1]の第8章では環に可環性も1の存在も課さずに証明しています.また別証明として可換環についてのErné[3]の証明を解説しています.拙稿[5, 定理7.1]ではBanaschewski[2]による証明の概略を掲載しています.
 ところで,alg-dさんのテキスト[1]や HP(壱大整域) を見ればわかるように,選択公理には同値な形が山ほどあります.Tychonoffの定理もその1つです.

次はZF上同値である.
(1) 選択公理.
(2) コンパクト空間の直積はコンパクトである(Tychonoffの定理).

 すなわち,ZF上で;
ACTychonoffの定理Krullの極大イデアル存在定理
が成り立っているわけです.これらの条件を弱めることを考えてみましょう.そのためにTychonoffの定理と選択公理の同値性を証明してみます.

Tychonoffの定理と選択公理の同値性

 選択公理がTychonoffの定理を導くことは内田,松坂両先生のテキストにも載っていますが,ここではフィルターを用いた証明を与えましょう.

フィルター

Xを集合とする.FP(X)に対して,以下の条件;
(F1) XF,F.
(F2) 任意のF1,F2Fに対してF1F2Fである.
(F3) 任意のFF,GP(X)に対して,FGならばGFである.
をすべて満たすとき,FXフィルター(filter)という.

X上のフィルターF,Gに対して,FGであるとき,GF細分 (refinement)であるという.また,フィルターFが自分自身以外の細分を持たないとき,F超フィルター(ultrafilter)という.

 Xを位相空間とするとき,点xXの全近傍系をNxで表すことにすると,これはXのフィルターの例になっています.また有限交叉性を持つ集合族からフィルターを作ることができます.すなわち,TP(X)が有限交叉性を持つならば;
T={GP(X)|あるF1,,FnTが存在して,F1FnGとなる.}
はフィルターをなします.これをFが生成するフィルターということにします.

Fを集合X上の超フィルターとする.任意のYXに対して,YFまたはXYFのいずれかが成り立つ.

 YFと仮定する.もし任意のZFに対してYZならばF{Y}Fとなるので,Fの極大性に矛盾する.よってあるZFであってYZ=すなわちZXYとなるものが存在する.よって(F3)からXYFである.

フィルターの収束

Xを位相空間とする.XのフィルターFxXに対して,FNxの細分になるとき,Fx収束(converge)するという.

Xを位相空間とし,xX,FX上の超フィルターとする.Fxに収束することと,任意のYFに対してxYであることは同値である(YYの閉包を表す).

()
 任意のYFをとる.任意のxの開近傍Uに対して,Fxの収束するのでUFとなる.よってYUであるのでxYである.
()
 任意のNNxに対して,ある開集合Uが存在してxUNである.ここでxXUなのでXUFである.よって補題4からUFとなり,NFである.

 選択公理からTychonoffの定理を導く際に1つの鍵となるのが次の命題です.

位相空間Xがコンパクトならば任意の超フィルターはある点に収束する.

 Fを超フィルターとすると,{Y|YF}は有限交叉性を持つ閉集合族なのでYFYである.よってxYがとれ,命題5によりFxに収束する.

 選択公理を仮定すると,有限交叉性を持つ集合族Fについて,それが生成するフィルターを考えることで,Zornの補題によりそれを含む超フィルターが存在することがわかります.これにより選択公理下で命題6の逆を示せます.

Xを位相空間とする.選択公理を仮定する.任意のXの超フィルターがある点に収束するならば,Xはコンパクトである.

 対偶を示す.Xがコンパクトでないとすると,有限交叉性を持つ閉集合族AであってAAA=となるものがある.するとAを含む超フィルターFをとると;
YFYAAA=
となりFはどの点にも収束しない.

ACとTychonoffの定理の同値性

次はZF上同値である.
(1) 選択公理.
(2) コンパクト空間の直積はコンパクトである.

(i) (ii)
Step 0.
 {Xλ}λΛをコンパクト空間の族とする.あるλについてXλ=ならば直積は空なので,示すべきことはない.よって任意のλについてXλとしてよい.
Step 1.
 FX=λΛXλの超フィルターとする.このとき自然な射影πλについて;
Fλ={YP(Xλ)|πλ1(Y)F}
Xλの超フィルターをなす.
Step 2.
 命題6により,各λについてxλXが存在してFλxλに収束する.x=(xλ)λΛXとする.すると任意のNNxに対して,直積位相の定義からあるλ1,,λnΛxλiの開近傍Uiがとれて;
1inπλi1(Ui)N
となる.いまFλxλに収束するからUiFλiなのでπ1(Ui)Fであり,フィルターの定義からNFである.よってFxに収束する.
Step 3.
 命題7によりXはコンパクトである.
(ii) (i)
 Xとする.xXxに含まれない集合として,各xXについてyx=x{}とおく.各xについてyx{,yx,{}}を開集合とする位相を定める.このときyxはコンパクトであり,仮定からxXyxもコンパクトである.いまxyxは閉集合なのでπx1(x)も閉であり,これは空ではない.なぜなら適当なzxを選べば;
fx:{yx|xX}{yx|xX};x{zif x=x.else.
が(選択公理によらずに)定まるからである.このとき{πx1(x)}が有限交叉性を持つことが容易に確かめられ,xXπx1(x)=xXxである.

 この証明の選択公理ポイントを考えてみましょう.(i) (ii)において,Step 1では選択公理は使っていません.選択公理と非空集合族の直積が非空であることの同値性はよく知られた事実ですが,Tychonoffの定理においてはX=λΛXλが空ならば自明にコンパクトであるので,これが空であるか否かは問題となりません.また直積からの自然な射影を考えていますが,これは選択公理がなくても問題ありません.直積の集合論的な構成;
λΛXλ={fMap(Λ,λΛXλ)|λΛ,f(λ)Xλ.}
を思い出しましょう.直積が空ならばπλ=とすればよいですし,そうでないならばπλ:ff(λ)とすればよいです.
 Step 2ではx=(xλ)λΛを構成する際に選択公理を使っています.またStep 3.でも命題7を使っているので選択公理を用いています.

Hausdorff空間の直積とSpec(A)

 さきの証明でTychonoffの定理から選択公理を導く際にx{}の直積を考えましたが,これはHausdorffではありません(xの元は分離できません).よって,次の命題「コンパクトHausdorff空間の直積はコンパクトである」を認めたとき,この命題が選択公理を導くかどうかは上の証明からはわかりません.じつはこの命題は選択公理より真に弱いことが知られています([4, Theorem 7.1]).この命題は弱いTychonoffの定理と見なせるわけですが,Tychonoffの定理と同値であったKrullの極大イデアル存在定理にも対応する弱い形が存在します.

素イデアル

Aを環とする.Aの真のイデアルPであって,任意のa,bAに対してa,bPならばabPが成り立つものをA素イデアル(prime ideal)という.環Aの素イデアル全体の集合をSpec(A)で表し,Aスペクトラム(spectrum)という.

 命題「任意の0でない環は少なくとも1つの素イデアルを持つ(Spec(A)である)」はPIT(Prime Ideal Theorem)と呼ばれ,Krullの極大イデアル存在定理の弱い形です.本稿の目的は,次の定理の証明を紹介することです.

ZF上で次は同値である.
(1) 任意の環A0に対してSpec(A)である(PIT).
(2) コンパクトHausdorff空間の直積はコンパクトである.

 本節では,(2)が(1)を導くことを証明しましょう.集合{0,1}に離散位相を入れると,これはHausdorff空間です.集合XについてxX{0,1}=Map(X,{0,1})に直積位相を定めたものを{0,1}Xで表すことにします.

A0を環とする.{0,1}AがコンパクトならばSpec(A)である.

 各SP(A)に対して,特性関数;
χS:A{0,1};a{1if aS.0else.
を定めることで,自然な全単射P(A){0,1}Aがある.このときf{0,1}Aが真のイデアルIに対応することと,次の条件;
(i) f(0)=1.
(ii) f(1)=0.
(iii) 任意のa1,a2,b1,b2Aに対して,f(a1)=0またはf(a2)=0またはf(a1b1+a2b2)=1が成り立つ.
をすべて満たすことは同値である.I={χI|I:Aのイデアル}とおく.また各a,bAに対して;
Fa,b={fI|f(a)=1またはf(b)=1またはf(ab)=0である.}
とおく.この定義からfFa,bに対応するP(A)の点f1({1})は,abf1({1})ならばaf1({1})またはbf1({1})を満たすようなAのイデアルである.よって;
a,bAFa,b
であれば,その元がAの素イデアルとなる.これを示すには{Fa,b}a,bAが有限交叉性を持つ閉集合族であればよい.まずFa,b{0,1}Aの閉集合をなすことを示そう.Fa,bcf{0,1}Aであって,あるa1,a2,b1,b2Aが存在して,f(0)=0またはf(1)=1またはf(a1)=1,f(a2)=1,f(a1b1+a2b2)=0またはf(a)=0,f(b)=0,f(ab)=1を満たすもの全体の集合である.直積位相の定義から{f{0,1}A|f(0)=0}={0}×{0,1}A{0}は開集合であり,1,a1,a2,a1b1+a2b2についても同様なのでFa,bcはこれらの有限共通部分の和となり開集合である. 
 次に有限交叉性を持つことを示せば証明が終了する.有限個のAの元の組(a1,b1),,(an,bn)をとる.S={a1,b1,,an,bn}とおき,部分集合TSが生成するAのイデアルをTと表すことにすると{T|TS,TA}は空でない(=(0)となる).また有限集合なので,包含関係についての極大元T0がとれる.任意の1inについてχT0Fai,biであることを示す.Fa,bの定義よりaiT0またはbiT0ならばχT0Fai,biである.ai,biT0とする.このとき{ai}T0Sであって,T0の極大性から{ai}T0=AなのであるrAcT0が存在して1=rai+cとかける.よってraibi+bic=biT0だからaibiT0でなければならず,このときもχT0Fai,biとなる.よってχT0Fai,biとなり有限交叉性を持つ.

 だいぶテクい証明でしたが,これによって目的の半分は証明できました.次の節では逆を証明するためにBoole代数と,そこにおけるフィルターを導入しましょう.

Bool代数とフィルター

 まずは束を定義しましょう.

順序集合(L,)とその部分集合Sに対して,aLSの上界の中で最小であるときa=Sと書いてaS結び(join)といい,Sの下界で最大のものを交わり(meet)という.特に2元集合{a,b}Lに対して{a,b}=ab,{a,b}=abと表す.

順序集合(L,)について,Lの任意の有限部分集合が結びと交わりを持つときL束(lattice)という.

 Lを束とするとき,S=について考えることでSLの最小元,SLの最大元となり,これを0,1で表します.任意のa,bLについて;
a(ab)=a,a(ab)=a
が成り立ちます.これを吸収律(absorption law)といいます.
 束Lについて,任意のa,b,cLに対して;
a(bc)=(ab)(ac),a(bc)=(ab)(ac)
が成り立つときL分配束(distributive lattice)といいます.
 またaLに対して,¬aLa(¬a)=0,a(¬a)=1を満たすものが存在するとき¬aa補元(complement)といいます.

任意の元が補元を持つような分配束をBoole束(Boolean lattice)という.

 Boole束は,を演算と思うことで代数構造とみなすことができます.すなわち,Boole束は次に定義するBoole代数の例になります.

Bool代数

集合B上に可換で結合的な二項演算,が定まっており,次の条件;
(B1) 任意のa,bBに対してa(ab)=a,a(ab)=aが成り立つ(吸収律).
(B2) 任意のa,b,cBに対してa(bc)=(ab)(ac),a(bc)=(ab)(ac)が成り立つ(分配律).
(B3) ある0,1Bが存在して,任意のaBに対してa0=a,a1=aが成り立つ.
(B4) 任意のaBに対してある¬aBが存在してa(¬a)=1,a(¬a)=0が成り立つ.
をすべて満たすとき,代数構造(B,,)Boole代数(Boolean algebra)という.

 BをBool代数とすると,簡単な計算から補元は一意的であり,¬(¬a)=a(二重否定除去)が成り立つことがわかります.
 Bool束はBool代数ですが,実は逆も成り立ちます.BをBoole代数とすると;
abab=a
と定めることで(B,)は順序集合になり,Boole束になります.このように順序集合としての定義と代数構造としての定義を行き来できるわけです.さらに可換環として定義することもできます.

Boole環

Bを(可換)環とする.任意のaBに対してa2=aが成り立つときBBoole環(Boolean ring)という.

 BをBoole環とすると任意のaBに対してa=a2=(a)2=aなので,a+a=0が成り立ちます.特にBの標数は2になります.
 Boole環Bに対して;
ab=a+b+ab,ab=ab
と定めればBはBoole代数をなします.逆にBをBoole代数とすると;
a+b=(a(¬b))(b(¬a)),ab=ab
とすればBはBoole環をなします.よってBoole環とBoole代数は論理的に等価な概念です.
 以後,これまで見てきたBoole束,代数,環としての構造を特に断りなく行き来することにします.
 Boole代数Bにおいて,aの補元¬aを考えるとa+¬a=1,a(¬a)=0となることが確かめられ,そこで¬a=1aであり,任意のaBに対してa(1a)=0となることがわかります.すると次の命題が証明できます.

BをBoole代数とすると,真のイデアルPについてPSpecBであることと,任意のaBに対してaPまたは¬aPであることが同値である.

 PSpecBならば,任意のaBに対してaPまたは¬aPであることは明らか.逆を示そう.aPとすると,¬a=1aPであるので,a+P=1+PとなってA/PF2がわかり,PSpecBである.

 いま選択公理を仮定していないので環は素イデアルを持つとは限りませんが,次の系が成り立ちます.

BをBoole代数とすると,すべての素イデアルは極大である.

次にBoole環の(非自明な)イデアルがBoole代数,束の部分集合とどう対応していくかを見ていきましょう.Boole代数Bの部分集合Iについて,次の条件;
(IA1) 0I,1I.
(IA2) 任意のa,bIに対してabIである.
(IA3) 任意のaI,bBに対してabIである.
をすべて満たすことと,次の条件;
(IL1) IB.
(IL2) 任意のa,bIに対して,あるcIが存在してac,bcである.
(IL3) 任意のaI,bBに対してbaならばbIである.
を満たすことが同値です.またこれはBoole環としてIがイデアルをなすこととも同値であり,これら同値な条件を満たすものをBoole代数のイデアルといいます.
 次に,Boole代数についてフィルターを導入しましょう.集合Xに対してP(X)に包含関係で順序を入れると,Y,ZP(X)に対しYZ=YZ,YZ=YZとなり¬Y=XYによってP(X)はBoole代数になります.集合Xについて定義したフィルターはP(X)の部分集合であったこと,P(X)がBoole束になることに着目して,フィルターの概念をBoole代数に一般化しましょう.

BをBoole代数とする.部分集合FBに対して,次の条件;
(FB1) FB.
(FB2) 任意のa,bFに対して,あるcFが存在してca,cbである.
(FB3) 任意のaF,bBに対してabならばbFである.
をすべて満たすとき,FBのフィルターという.

 同値な書き換えとして;
(FA1) 0F,1F.
(FA2) 任意のa,bFに対してabFである.
(FA3) 任意のaF,bBに対してabFである.
をすべて満たすもの,と言い換えることもできます.
 定義をみればわかるように,Boole代数においてイデアルとフィルターは等価な概念で,次のように移り合います.

BをBoole代数とすると,Bのイデアル全体とフィルター全体の間には;
II={aB|¬aI}
で与えられる包含関係を保つ全単射がある.

 BのフィルターFに対して;
F={aB|¬aF}
と定めるとこれはBのイデアルをなし,I=I,F=Fとなるので1対1の対応を与える.

 Boole代数の素イデアルは必ず極大なことから,素イデアルに対応するフィルターは超フィルターです.
 また,次の命題により定理8のStep 2. での選択公理の使用をHausdorff空間上では回避できることがわかります.

位相空間Xについて,XがHausdorffであることと,任意のフィルターFについてFが収束するならば収束先が一意に定まることは同値である.

()
 FXのフィルターとし,Nx,NyFとする.もしxyならば,開集合xU,yVが存在してUV=である.このときU,VFなので=UVFとなって矛盾する.よってx=yである.
()
 対偶を示そう.XがHausdorffでないと仮定する.するとあるxyXが存在して,任意のYNx,ZNyに対してYZである.このときNxNyは有限交叉性を持ち,NxNyx,yに収束するフィルターである.

 これらの準備によって,本稿の目的であった定理9が証明できます.

ZF上で次は同値である.
(1) 任意の環A0に対してSpecAである(PIT).
(2) 任意のBoole代数B0に対してSpecBである(BPIT).
(3) 任意の集合Xに対して,有限交叉性を持つ集合族FP(X)はある超フィルターに含まれる.
(4) コンパクトHausdorff空間の直積はコンパクトである.

(1)(2)
 明らか.
(2)(3)
 Fを有限交叉性を持つ集合族とすると,FP(X)のフィルターである.P(X)のイデアルFを考えると,剰余環P(X)/FもBoole代数であるので素イデアルを持つ.それをP(X)の素イデアルに引き戻したものはFを含み,対応する超フィルターはFを含む.
(3)(4)
 {Xλ}をコンパクトHausdorff空間の族とし,X=Xλとする.X=のときは示すことはない.Xとする.AXの有限交叉性を持つ閉集合族とする.仮定からAを含むXの超フィルターFがある.このとき,定理8の証明と全く同様に;
Fλ={YP(Xλ)|πλ1(Y)F}
Xλの超フィルターをなす.ここで命題6により各λΛに対してFλは収束し,命題13により収束先は一意に定まるからそれをxλとするとx=(xλ)XNxλFλとなるようにとれる.するとFxに収束する.よって任意のAAに対してxAとなり,AAAであるのでXはコンパクトである.
(4)(1) 定理10.

この証明の本質は,命題7の証明には有限交叉性を持つ集合を含む超フィルターの存在だけで十分だった,というところにあります.

参考文献

[1]
内田伏一, 集合と位相(増補新装版), 数学シリーズ, 裳華房, 2020
[2]
alg-d, 選択公理 同値な命題とその証明
[3]
T. Jech, The Axiom of Choice, North-Holland, 1973
[4]
M. Erné, A primrose path from Krull to Zorn, Comment. Math. Univ. Carolin., 1995, 123--126.
[5]
安藤遼哉, ZFC+Uのおはなし, 2021 年度 東京理科大学理工学部数学科 大橋研究室卒業論文集(https://ryoya9826.github.io/files/note/ZFC+U.pdf), 2022, 101--158.
[6]
B. Banaschewski, A New Proof that “Krull implies Zorn”, Mathematical Logic Quarterly, 1994, 478--480
投稿日:20221217
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RyoyaANDO
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可換環論専攻のD1です. 松村,Hartshorne, Atiyah-Macdonald,Bruns-Herzogなどの有名所の教科書に書いてない話をまとめています. I am a doctoral student, studying Commutative Algebra. I am summarising a slightly different perspective on this site from the existing famous textbooks (in Japanese).

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  1. 極大イデアルの存在とTychonoffの定理
  2. Tychonoffの定理と選択公理の同値性
  3. Hausdorff空間の直積とSpec(A)
  4. Bool代数とフィルター
  5. 参考文献