この記事は CEED Advent Calendar 2022 の19日目の記事である.
パンルヴェ方程式論は,ある程度,楕円函数論のマネをして進む.そのことは,パンルヴェ方程式を勉強している人にとっては当たり前のことのようにも思われるが,パンルヴェ方程式を良く知らない人にとっては,必ずしもわかりやすく無い.そこで,パンルヴェ第一方程式(正確には超越函数)は,ペー函数に似てるねという話をして,そのことをわかってもらおうと思う.
複素解析をあまりよく知らない人などは,ラティスとか,ローラン展開とかいった用語はあまり気にせずに,(むしろ,言葉をとばして式だけ追って!)読んで欲しい.そもそも,厳密性は全然気にしないで書いている.
三角函数は周期を持つ函数である.たとえば,
このような函数が楕円函数である.もう少し,正確に述べると次のようになる.
複素数平面上の有理型函数
ここで注目してほしいのは,有理型函数であるという事である.周期が一つの場合は,
一方,正則函数のほうが,有理型函数よりはるかに扱いやすいわけであるから,正則函数が欲しいとも思う.そこで二重周期の方を緩めて擬周期性を課したものを考える.それがテータ函数である.
テータ函数の定義は,Langの著書(参考文献3)に従った.その為,
テータ函数と楕円函数は,密接に関係している.この後に述べる話もその一例である.
周期を
周期を
次に
まず
両辺を微分し,
ぺー函数の満たすの方程式において
次にテータ函数を定義し,楕円函数との関係について述べる.楕円函数とテータとの関係は基本的であり,その類似としてパンルヴェ超越函数(パンルヴェ方程式の解)とタウ函数の関係がある.
で定める.
を満たす.
実際,
これをマネて(PI)のタウ函数
この先はもう少し,テータ函数とかパンルヴェ方程式について勉強しないと書けないのでこのあたりで終わる.
武部尚志,楕円積分と楕円関数 おとぎの国の歩き方
野海正俊,パンルヴェ方程式–対称性からの入門–
Serge Lang, Elliptic Function Second Edition
岡本和夫,パンルヴェ方程式
1.はペー函数の基本的なことが書いてある.面白い本ではあるが,読みやすい本ではない.前半のほうが面倒くさいのでいい加減に読んで,ペー函数のところくらいからまじめに読むのでちょうどよい気がする.それならこの本はパラパラするだけにして,まじめに勉強するには別の本をという方が無難かもしれない.
2.はペー函数の満たす微分方程式のハミルトニアンがのっている.広田微分についても載っている.パンルヴェ第二,第四方程式の対称性を生かした話が書いてあり,タウ函数が活躍する.
3.は
4.はパンルヴェ方程式の本で最良の本だと思う.必ずしも読みやすい本ではないが,読んでいて面白い.4年の講究はだいたいこの本を読んでいる.今回の話は1章に書いてあるのだが,セミナーでは一章を飛ばして2章から読み始め,現在5章である.今年度中に読み終えることができればとてもうれしいが,行間の空き方がすさまじくなってきているので簡単ではなさそうである.